1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007

Asignatura: FÍSICA APLICADA Y FÍSICO-QUÍMICA

GUÍAS DE ESTUDIO

TEMA II. MECÁNICA DE FLUIDOS

ÍNDICE

SÓLIDOS Y FLUIDOS

Sólidos, líquidos y gases

Fuerzas intermoleculares

Temperatura

Densidad

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Presión: concepto y unidades

Compresibilidad

Dilatación térmica

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Ley fundamental de la Hidrostática

Principio de Pascal

Principio de Arquímedes

DINÁMICA DE FLUIDOS IDEALES

Flujo

Ecuación de continuidad

Ecuación de Bernouilli.

Aplicaciones

DINÁMICA DE FLUIDOS REALES

Viscosidad

Ecuación de Poiseuille

Turbulencia. Número de Reynolds

Movimiento de sólidos en fluidos

CUESTIONES Y PROBLEMAS

Objetivos

Distinguir entre sólidos y fluidos revisando los conceptos de temperatura y densidad.

Estudiar los efectos de las presiones y cambios de temperatura en fluidos.

Estudiar la variación de presión en el seno de fluidos en reposo. Describir dispositivos para la medida de presiones.

Introducir el concepto de flujo y estudiar la dinámica de los fluidos en ausencia de fuerzas de rozamiento.

Introducir el concepto de viscosidad en los fluidos reales y destacar su importancia en la circulación de fluidos en conducciones y en el movimiento de sólidos en el seno de fluidos.

Aplicar a sistemas biológicos los conceptos físicos de hidrostática e hidrodinámica.

Contenido de las clases

Sólidos y fluidos.

Propiedades de los fluidos

y 4. Estática de fluidos.

y 6. Clases de problemas

y 8. Dinámica de fluidos ideales.

y 10. Dinámica de fluidos reales.

y 12. Clases de problemas

Bibliografía

Física (4ª ed. Vol. 1. Cap.13 ) - P. Tipler - Reverté 1999

Física (Cap. 4,5,6 y 10)- M. Ortuño, - Crítica-Grijalbo 1996

Física (Cap. 8,13,14 y 15) - J. W. Kane y M. M. Sternheim - Reverté 1998

SÓLIDOS Y FLUIDOS

Sólidos, líquidos y gases

Los cuerpos, atendiendo al estado de la materia que los constituye, se clasifican en sólidos, líquidos y gases. Se distinguen macroscópicamente porque los sólidos tienden a mantener su volumen y su forma definidos, los líquidos mantienen definido el volumen pero adoptan la forma del recipiente que los contiene y los gases no mantienen ni el uno ni la otra expandiéndose todo lo posible hasta adquirir el volumen y la forma del recipiente que los contiene.

A pesar de las diferencias, los líquidos y los gases se agrupan bajo el término fluidos por la característica común que tienen ambos de fluir por una conducción.

Estos comportamientos son consecuencia de su estructura interna: A escala microscópica, la materia es discontinua, siendo las moléculas las unidades más pequeñas que diferencian unas substancias de las otras. Las moléculas a su vez están constituidas por uno o varios átomos y éstos por una serie de partículas comunes a todos los átomos que son los protones, neutrones y electrones.

Fuerzas intermoleculares

Entre cada par de moléculas aparecen fuerzas de origen eléctrico (Van der Waals y enlace de hidrógeno) cuya intensidad depende de la distancia intermolecular que, en último término, determina el estado de la materia. Si la distancia es muy pequeña (≈ 0,3 nm), las fuerzas son muy intensas y los cuerpos son sólidos. En los líquidos la distancia es algo mayor, las fuerzas no son tan intensas y las moléculas pueden resbalar unas sobre las otras. En los gases la distancia es aún mayor (> 0,5 nm) y apenas si hay interacción entre las distintas moléculas (figuras 1 y 2). Los sólidos junto con los líquidos conforman lo que se denomina materia condensada, con una densidad de ∼1028 moléculas/m3, mientras que en los gases es de ∼1025 moléculas/m3, lo que implica sólo una pequeña interacción molecular. En la aproximación que corresponde a lo que se llama gas ideal se desprecia esta interacción.

Fig. 1. La distancia intermolecular determina el estado de la materia

FIG. 2. Las fuerzas intermoleculares y distancia entre moléculas

Temperatura

Las moléculas no están en reposo sino que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. La temperatura es la magnitud que a nivel microscópico está relacionada con el grado de agitación molecular. Cuando se calienta un cuerpo la energía cinética de las moléculas y su amplitud de vibración aumentan.

La distancia intermolecular también aumenta con la temperatura de forma que calentando un cuerpo se producen cambios de estado, de sólido a líquido y de líquido a gas. Precisamente la medida de la temperatura con los termómetros convencionales de mercurio o alcohol está basada en la proporcionalidad entre el volumen de un líquido y su temperatura. Para calibrar la escala de un termómetro se toman dos temperaturas de referencia y se divide el intervalo entre ambas en un cierto número de divisiones iguales.

En el Sistema Internacional, la temperatura se mide en Kelvin (K) y en la práctica se utilizan también los grados centígrados o Celsius (ºC) que resultan de dividir el intervalo entre las temperaturas de congelación (0ºC) y ebullición (100ºC) del agua en 100 partes iguales. La relación entre ambas temperaturas es:

T (K) = T (ºC) + 273,15 (1)

Densidad

Una de las magnitudes principales que se usa para caracterizar un material es la densidad de masa ρm definida como su masa m por unidad de volumen V

(2)

En el Sistema Internacional de unidades esta densidad se mide en kg./m3. En la tabla 1 donde se indican las densidades de masa de diversos materiales se puede observar que las densidades de los sólidos y los líquidos son unas 103 veces mayores que las de los gases.

Esta densidad es una magnitud macroscópica que depende de la densidad molecular ρmolecular definida como el número de moléculas N por unidad de volumen

(3)

Ambas se relacionan de la forma siguiente

(4)

En la segunda columna de la tabla 1 se incluye la densidad molecular.

Tabla 1. Densidades de masa y densidades moleculares típicas de los sólidos, líquidos y gases

	ρm (kg/m3)	Densidad molecular (moléculas/m3)
Aluminio	2,7·103	6,0·1028
Agua	1,0·103	3,3·1028
Aire	1,3	2,7·1025

A veces se toma la densidad ρ0 de un material como referencia, el agua para los sólidos y líquidos y el aire para los gases, y se utilizan valores relativos

(5)

que no tienen unidades.

Cuando el sistema se puede tratar como si tuviera una o dos dimensiones se utilizan la densidad lineal  o superficial σ, respectivamente

; (6)

También usaremos en este curso el peso específico, Pe, definido como el peso del cuerpo por unidad de volumen. Se relaciona con la densidad como se muestra en la ecuación siguiente. El peso específico relativo es equivalente a la densidad relativa para la misma sustancia de referencia.

; (7)

Tabla 2. Resumen comparado de las características de sólidos, líquidos y gases

	Fuerzas Intermolecular	Volumen	Forma	Densidad	Compresibilidad	Concentración
Sólidos rígidos	+ Fuertes	Fijo	Fija	~ Cte. ၲႹ f(P,T)	∼Nula	∼1028 mole/m3
Sólidos elásticos	- Fuertes	Fijo	Variable	~ Cte. ၲ Ⴙ f(P,T)	∼Nula	∼1028 mole/m3
Líquidos	Moderadas	Fijo	Indefinida	~ Cte. ၲ Ⴙ f(P,T)	Muy pequeña	∼1028 mole/m3
Gases	Débiles ó muy débiles	Variable	Informe	Variable ၲ = f(P,T)	Grande	∼1025 mole/m3

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Presión: concepto y unidades

Los fluidos se caracterizan porque presentan una resistencia pequeña, a veces despreciable, a las tensiones de corte (ver figura 3). En los líquidos esta pequeña resistencia al deslizamiento de unas capas sobre otras se representa por la viscosidad que estudiaremos al final del tema. La resistencia a las deformaciones por tracción y compresión, en cambio, es considerablemente mayor.

FIG. 3. La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo puede ser a) perpendicular [tracción y compresión] y b) paralela [tensión de corte o cizalla] a la superficie sobre la que actúa.

Las tensiones en los fluidos, que como consecuencia de lo dicho en el párrafo previo corresponden a fuerzas que actúan perpendicularmente a las superficies, se llaman presiones, p

(8)

y en el Sistema Internacional de unidades se miden en pascales (Pa = N/m2).

Tabla 3. Equivalencia entre unidades de presión

Unidad	1 Bar	1 Baria	1 milibar	1 mm Hg	1 Atm
S.I.: Pascal Pa (N/m2)	105	0,1	102	1,33 · 102	1,013 · 105

Hay que señalar que la presión es una magnitud escalar. En la definición anterior, como la fuerza es un vector, la superficie se representa por un vector perpendicular a dicha superficie y de módulo su valor en m2.

Compresibilidad

En el interior de un líquido, cada porción está sometida a las fuerzas correspondientes a la presión del líquido que le rodea (figura 4). Como consecuencia, se comprime disminuyendo su volumen. Se cumple

(9)

donde B se llama módulo de compresibilidad. El signo menos se debe a que un aumento de la presión supone una disminución de volumen. Si un cuerpo sólido se sumerge en un fluido también está sometido a fuerzas de este tipo que producen una disminución de su volumen. En la tabla 4 se indican los módulos de compresibilidad de algunos materiales sólidos y líquidos.

Fig. 4. En el interior de un líquido cada porción está comprimida por las fuerzas ejercidas por el líquido que le rodea. Lo mismo sucede cuando se introduce un sólido en un líquido

Tabla 4. Módulos de compresibilidad

	B (1010 N/m2)
Acero	16
Aluminio	7,0
Agua	0,20

Los sólidos son muy poco compresibles y los líquidos lo son unas 10 veces más. Para los gases, sin embargo, se encuentra experimentalmente

(10)

donde la constante de proporcionalidad depende del tipo de gas y de la rapidez con que se efectúa la compresión. Como consecuencia un gas, por ejemplo el aire contenido en un neumático, se comprime fácilmente al principio pero la compresibilidad disminuye a medida que aumenta la presión.

Dilatación térmica

Las dimensiones de un cuerpo también dependen de la temperatura (apartado 1.3). En un cuerpo sólido la variación de su tamaño con la temperatura es consecuencia de que las moléculas se separan o juntan variando su distancia media y resultando a nivel macroscópico un alargamiento o un acortamiento de sus dimensiones. En el caso lineal, la deformación relativa de la longitud del cuerpo es directamente proporcional a la variación de su temperatura:

(11)

donde  es el coeficiente de dilatación lineal.

Si se considera el volumen del cuerpo, sea sólido o líquido, la ley se expresa por

(12)

donde  es el coeficiente de dilatación cúbica. El signo es positivo porque un aumento de temperatura supone, en general, un aumento de volumen. El agua entre 0 y 4ºC es una excepción a esta regla ya que en este intervalo el coeficiente de dilatación es negativo. Como consecuencia, su densidad es máxima a 4ºC (1,00·103 kg/m3)

Para caracterizar los cuerpos sólidos se suele utilizar el coeficiente  mientras que si se trata de líquidos se utiliza  (tabla 5) Entre ambos se cumple la relación

(13)

Tabla 5. Coeficientes de dilatación térmica

	 (10-6 K-1)		 (10-3 K-1)
Acero	11	Agua (20ºC)	0,21
Aluminio	24	Alcohol	1,1
Vidrio	9	Mercurio	0,18

Aparte del termómetro, otros instrumentos basados en la dilatación térmica son el microtomo y el termostato. En el microtomo, aparato que proporciona cortes de tejidos muy delgados para la observación con el microscopio, la muestra se monta en el extremo de una varilla metálica que mediante calor se dilata a un ritmo constante y muy lento (puede llegar a ser del orden de 1 m/min). En el termostato se sueldan longitudinalmente dos tiras metálicas de diferente coeficiente  Cuando se calienta, la diferente dilatación hace que las tiras se doblen, lo que sirve para abrir o cerrar un circuito eléctrico.

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Ley fundamental de la Hidrostática

La presión en un punto de un líquido en reposo depende de su profundidad respecto a la superficie libre del líquido. Cada porción de líquido soporta el peso de la columna de líquido que tiene encima (la zona rayada en la figura 5). Si la presión en la superficie es p0, a una profundidad h se tiene

(14)

y en general, la diferencia de presión entre dos puntos cualquiera del seno de un líquido,

(15)

expresión que se conoce como ley fundamental de la Hidrostática.

Fig. 5. Variación de la presión con la profundidad.

La ecuación anterior es válida para líquidos ideales, es decir incompresibles, en los que la densidad no varía con la presión y, por tanto, es la misma a cualquier profundidad. En los líquidos reales (ρ ≠ cte.) la expresión de la ley de la Hidrostática tiene en cuenta la variación de la densidad con la profundidad, h, resultando

(16)

En los gases ideales a temperatura constante la ecuación es un poco más compleja pues la densidad se relaciona con la presión a través de la ecuación de los gases perfectos tomando la forma

(17)

Aplicaciones prácticas de la Ley fundamental de la Hidrostática

Para medir la presión se puede utilizar el resultado de que la presión es proporcional a la profundidad. En el manómetro de tubo abierto de la figura 6a, un extremo se encuentra a la presión que se quiere medir y el otro a la presión atmosférica. En el aparato para medir la presión atmosférica llamado barómetro (figura 6b) un extremo se encuentra a la presión atmosférica y el otro, que está cerrado y sometido al vacío, a una presión igual a cero. En el primer caso,

(18)

siendo ph la presión manométrica. En el segundo caso,

(19)

Fig. 6. Esquemas de aparatos para medir la presión:

a) manómetro de tubo abierto,

b) barómetro

En ambos aparatos para que la altura de las columnas sea pequeña se utiliza mercurio cuya densidad (13,6·103 kg/m3) es muy grande.

Principio de Pascal

De la ley fundamental de la Hidrostática se deduce que la presión correspondiente a todos los puntos que se encuentren al mismo nivel (altura o profundidad) en el seno de un fluido es la misma. La ecuación fundamental aplicada a los puntos a, b, c de la figura 7 nos da

;; (20)

como están los tres a la misma profundidad, los segundos términos de cada una de las igualdades son idénticos y resulta que las presiones en los tres puntos son iguales.

Una consecuencia práctica de lo anterior es que cuando sobre la superficie o cualquier otro punto de un líquido incompresible se ejerce una cierta presión, ésta se transmite por igual a todos los puntos de su masa líquida. Este postulado se conoce como el Principio de Pascal.

FIG.7. Principio de Pascal

Aplicaciones: Prensa Hidráulica

En la prensa hidráulica (figura 8) se utiliza la transmisión de las variaciones de presión en el seno de un líquido para amplificar una fuerza relativamente pequeña. Consiste básicamente en dos cilindros de secciones muy diferentes (S1 << S2) que comunican entre sí; el conjunto está lleno de líquido. La fuerza F1 que se ejerce sobre el émbolo 1 se convierte en la fuerza F2 sobre el émbolo 2. Por el Pº de Pascal: P1 = P2 ⇒ ⇒

FIG.8. Prensa hidráulica

Principio de Arquímedes

Cuando un cuerpo sólido se sumerge en un líquido la presión en la parte inferior es algo mayor que la de la parte superior que está a menor profundidad por lo que resulta una fuerza neta vertical y hacia arriba que se llama empuje. Considerando la figura 9 se tiene

(21)

donde mlíquido es la masa de líquido que desaloja el cuerpo sólido. Este resultado se conoce como principio de Arquímedes: un cuerpo sólido sumergido, total o parcialmente, en un líquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen de líquido que desaloja.

Fig. 9. Principio de Arquímedes

Las consideraciones anteriores se aplican también a los gases aunque al ser sus densidades 103 veces menores que las de los líquidos se necesitan columnas de gas 103 veces mayores para producir los mismos efectos. La presión atmosférica es la correspondiente al aire que rodea la Tierra. Obviamente, la presión atmosférica disminuye con la altura respecto al nivel del mar donde a 0ºC es pat =1,01·105 Pa. Los valores de los empujes que experimentan los cuerpos sólidos en los gases son también unas 103 veces menores que en los líquidos.

Flotabilidad

El Pº de Arquímedes permite determinar la flotabilidad de cuerpos en fluidos. Para ello se compara el peso del cuerpo con el empuje que experimenta cuando se sumerge en el fluido. Así, encontramos tres situaciones posibles:

Ahora bien, sólo el volumen sumergido contribuye al empuje, de manera que si un cuerpo flota, el peso de todo el cuerpo estará compensado (será igual) al empuje correspondiente al volumen de la parte del cuerpo sumergido, esto es al volumen desalojado por el cuerpo. Entonces podemos escribir

Empuje = Peso fluido desalojado por el cuerpo = m fluido d. c. · g = ၲ fluido ·V fluido d. c. · g

Peso cuerpo = m cuerpo · g = ၲcuerpo · Vcuerpo · g

(22)

En el caso particular en que todo el cuerpo esté sumergido, Vcuerpo = V fluido desalojado , entonces

(23)

y en ese caso:

a) Si ၲfluido > ၲcuerpo პ flota

b) Si ၲfluido = ၲcuerpo პ en equilibrio

c) Si ၲfluido < ၲcuerpo პ se hunde

DINÁMICA DE FLUIDOS IDEALES

Flujo

Para cuantificar la cantidad de fluido que circula por un conducto se define la magnitud física llamada flujo de masa, Im, como la masa que circula a través de una sección transversal del tubo por unidad de tiempo

(24)

que se mide en kg/s

Cuando la densidad del fluido permanece constante, se suele utilizar el flujo de volumen o caudal IV ó Q

(25)

que se mide en m3/s. El caudal se puede expresar en función de la velocidad con que se desplaza el líquido por el conducto. Con ayuda de la figura 10 se deduce que el volumen del líquido de densidad constante que atraviesa una sección del conducto en la unidad de tiempo es igual al producto del área de la sección S por la velocidad v

(26)

Fig. 10. El volumen de líquido incompresible que circula por unidad de tiempo por una conducción es igual al producto del área del conducto por la velocidad del líquido.

Ecuación de continuidad

Suponemos que el fluido se mueve en régimen estacionario lo que significa que la velocidad del fluido en cada punto de la conducción no varía con el tiempo (aunque puede ser distinta en distintos puntos).

La ley física de conservación de la masa exige en régimen estacionario que el flujo de masa sea el mismo en toda la conducción y si la densidad permanece constante, lo que se cumple muy bien en los líquidos, que el caudal también permanezca constante. Considerando la figura 11 y la ecuación 26, se escribe

(27)

Fig. 11. La conservación de la masa de fluido determina que el producto de la sección de la tubería por la velocidad se mantenga constante

Esta ley de conservación expresada de esta manera se llama ecuación de continuidad. Consecuencia de la ley es que si la conducción se bifurca en dos como se muestra en la figura 12 el caudal de entrada es la suma de los caudales de salida

(28)

Fig. 12. En una bifurcación el caudal de entrada es la suma de los caudales de salida

Ecuación de Bernouilli

La segunda ley física que determina el movimiento de un fluido por una conducción es la de la conservación de la energía.

En la figura 13a se muestra una porción de fluido limitada por las secciones (1) y (2). Sobre estas secciones actúan las fuerzas F1 y F2 (F1>F2) que representan los efectos del resto del fluido. Transcurrido un corto intervalo de tiempo esta porción de fluido pasa a estar limitada por las secciones (1´) y (2´) como se muestra en la figura 13b. El análisis se realiza considerando que lo que ha ocurrido desde el punto de vista energético es equivalente a que la porción de fluido comprendida entre las secciones (1) y (1´) se ha trasladado hasta ocupar la porción de tubería comprendida entre las secciones (2) y (2´).

Fig. 13. El movimiento de la porción de fluido comprendido entre las secciones (1) y (2) de la figura a) hasta situarse entre las secciones (1') y (2´) de la figura b) equivale a trasladar la porción comprendida entre (1) y (1') a la posición comprendida entre (2) y (2')

Si el fluido no presenta ninguna resistencia a las tensiones de corte, es decir, si se desprecia el rozamiento entre las moléculas al moverse por la tubería, el trabajo de las fuerzas que impulsan una porción de líquido a través de la conducción,

(29)

es igual a la suma de las variaciones de energía cinética y potencial gravitatoria de este trozo de fluido.

(30)

(31)

Por tanto:

(32)

ó, reordenando los términos:

(33)

Es decir, en el movimiento de un fluido incompresible y sin rozamiento a través de una conducción, la suma de la presión hidrostática y la debida a la velocidad (presión cinética) es constante en todos los puntos de la corriente fluida. Esta ley de conservación expresada de esta manera (ec. 33) se llama Ecuación o Teorema de Bernoulli.

Aplicaciones

A) La ecuación fundamental de la Hidrostática (ec. 15) es el Tª de Bernouilli (ec. 33) cuando v = 0 ó v = cte. (líquido en reposo o que se mueve con velocidad constante)

(34)

B) Si se puede despreciar la variación de energía potencial (movimiento horizontal) la ecuación de Bernouilli se convierte en

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En términos prácticos, cuando un líquido (o un gas) aumenta su velocidad sin variar de nivel, su presión disminuye. Es el conocido Efecto Venturi en que se basan multitud de dispositivos. Por ejemplo, el pulverizador (figura 14a) y la trompa de vacío (figura 14b).

Fig. 14. a) Pulverizador y b) trompa de vacío

C) Venturímetro o tubo de Venturi. Es un dispositivo que permite medir velocidades de fluidos que circulan por conductos horizontales. Se basa en intercalar un pequeño tramo angosto en la conducción. En el ejemplo de la figura 15, se muestra un venturímetro para determinar velocidades de líquidos. En él observamos adosados dos tubos verticales, sección normal y estrechamiento, que funcionan como manómetros y señalan la presión estática en los puntos 1 y 2.

FIG. 15. Venturímetro para la determinación de velocidades de líquidos

Aplicando el Tª de Bernouilli entre los puntos 1 y 2 se obtiene ;

como también se cumple la ecuación de continuidad, , se puede escribir que

(36)

lo que permite calcular la velocidad en el punto 1 conociendo las secciones de la conducción y la diferencia de presión estática en los puntos 1 y 2. Ésta última se obtiene de la lectura de la diferencia de alturas entre los dos tubos verticales:

D) Fórmula de Torricelli

Para calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en la pared del recipiente que lo contiene, consideremos la figura 16. Podemos ahora aplicar el Tª de Bernouilli entre un punto de la superficie, A, y el orificio de salida, B. Tendremos en cuenta que en ambos puntos actúa la Patm y que, si el recipiente es suficientemente ancho con respecto al orificio de salida, la velocidad de las partículas líquidas en la superficie es prácticamente nula: SA>> SB ; SA· vA = SB· vB ; vA = (SB/SA) vB ≈ 0

FIG 16.Teorema de Torricelli

Llamando h a la diferencia de alturas entre los puntos A y B y vB a la velocidad de salida del líquido por el orificio B, el Tª de Bernouilli puede escribirse como

(37)

con lo que

(38)

es decir, el líquido sale con una velocidad que es igual a la que tendría un cuerpo que cayese libremente desde la altura h. Este es el Tª de Torricelli.

DINÁMICA DE FLUIDOS REALES

Viscosidad

En el movimiento de un fluido real, siempre se produce un pequeño rozamiento entre las distintas capas de fluido y especialmente entre éstas y las paredes de la conducción. Las pérdidas por rozamiento se traducen en una pérdida de presión a lo largo de una tubería (horizontal) como se muestra en la figura 17.

Fig. 17. El movimiento del líquido produce una pérdida de presión, constante si el fluido es ideal y que aumenta linealmente a lo largo de la tubería si el fluido es real.

En el llamado régimen laminar (velocidades bajas) las capas de fluido se deslizan unas sobre las otras sin entremezclarse. Para hacer cálculos se supone que las moléculas próximas a las paredes permanecen en reposo y la velocidad es máxima en el centro de la tubería (figura 18). La velocidad media que se calcula para un fluido que circula por una tubería cilíndrica de radio R y longitud L es

(39)

donde p representa la diferencia de presión en los extremos de la tubería y  es un coeficiente característico del fluido llamado viscosidad. La unidad en el S.I. es el Pa·s (Decapoise) (1poise = dina/s2). La viscosidad del agua, que se toma muchas veces como referencia, es

ηagua = 1 centipoise = 10-3 Pa·s

Fig. 18. Como consecuencia del rozamiento entre las moléculas cada capa cilíndrica de fluido avanza con distinta velocidad

Ecuación de Poiseuille

La magnitud de interés es el caudal. Puede deducirse que para un fluido en régimen de circulación laminar viscoso (figura 15), el caudal total se puede calcular como

(40)

Esta fórmula llamada Ley de Poiseuille es similar a la ley de Ohm correspondiente a la circulación de cargas por un conductor eléctrico. La diferencia de presión y la viscosidad juegan aquí un papel similar al de la diferencia de potencial y resistividad, respectivamente, en electricidad (ΔV=I·R ⇔ Δp = Q·Rh ). La resistencia hidrodinámica puede expresarse como

(41)

En la tabla 6 se agrupan las viscosidades de algunos fluidos. La viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura ya que al separarse las moléculas su interacción es menor. En cambio, la de los gases aumenta. Esta dependencia es considerable por lo que es necesario especificar la temperatura a la que se ha medido la viscosidad. En el laboratorio la viscosidad relativa se mide con un aparato llamado viscosímetro a partir del tiempo que tarda en atravesar un capilar un mismo volumen de un líquido problema y de agua que se toma como referencia.

Tabla 6. Viscosidades de algunos fluidos

	T (ºC)	 (mPa·s)
	0	1,79
Agua	20	1,00
	60	0,47
Sangre	37	2,08
Glicerina	20	1410
Aire	20	0,0181

Turbulencia

Si se aumenta la diferencia de presión en los extremos de la conducción la velocidad del fluido aumenta. Por encima de un cierto valor las capas del fluido se entremezclan formándose remolinos (régimen turbulento), las pérdidas de energía aumentan y el caudal es menor que el predicho por la ley de Poiseuille (figura 19)

Fig. 19. Cuando el régimen es turbulento el caudal es menor que el predicho por la ley de Poiseuille

Existe una magnitud adimensional denominada Número de Reynolds, Re, que sirve para caracterizar el tipo de flujo. Su expresión matemática es:

(42)

donde D es el diámetro de la conducción. Una vez calculado el número de Reynolds se compara con un valor crítico empírico (2400) para determinar el régimen de circulación, según se muestra en la tabla 7.

Tabla 7. Número de Reynolds y tipo de flujo

Re < 2400	Régimen laminar
Re > 2400	Régimen turbulento

Movimiento de sólidos en fluidos

El movimiento de sólidos en fluidos es, en general, complicado. Sin embargo, cuando el régimen del fluido es laminar se obtiene que la fuerza de rozamiento (resistencia al avance del sólido en el fluido) es proporcional a la velocidad relativa del sólido en el fluido. Para una esfera de radio R se cumple la ley de Stokes

(43)

Para una esfera que cae en el campo gravitatorio esta fuerza de rozamiento más el empuje igualan pronto su peso cuando éste es pequeño y desde ese instante el cuerpo cae con una velocidad constante llamada velocidad límite. La caída de las gotas de lluvia y la de las pequeñas partículas en una disolución (precipitación) se comportan de esta manera. En el laboratorio determinamos la viscosidad de un líquido a partir de la medida de la velocidad límite de caída de una bolita en dicho líquido.

6. CUESTIONES Y PROBLEMAS

1. Una pieza de cobre cuya masa es 84,3 g se introduce en una probeta que marca 60 mL de agua. La nueva lectura es 69 mL. a) Calcular la densidad del cobre y comprobar que el cuerpo se hunde. b) Calcular el error cometido al determinar la densidad.

Sol: 9 g/cm3

2. Suponiendo que el aire contiene el 20% de oxígeno y el 80% de nitrógeno y que ambos tienen moléculas con dos átomos cada una, calcula en condiciones normales de presión y temperatura a) la densidad del aire, b) la masa de una molécula de aire y c) el número de moléculas en un litro de aire.

	Oxígeno	Nitrógeno
Densidad (kg/m3)	1,43	1,25
Masa atómica (uma)*	16,0	14,0

Datos del oxígeno y nitrógeno en condiciones normales:

* 1 uma = 1,66·10−27 kg

Sol: a) 1,29 kg/m3, b) 4,8·10−26 kg, c) 2,7·1022 moléculas

3. A profundidades oceánicas de unos 10 km, la presión se eleva, aproximadamente a 108 Pa. a) Calcula la variación relativa de densidad de un trozo de acero hundido a esa profundidad. b) ¿Cuál es la densidad del agua del mar a esa profundidad si en la superficie es 1,04 g/cm3? Datos: los módulos de compresibilidad del acero y del agua son 16·1010 y 0,20·1010 Pa, respectivamente.

Sol: a) 0,06 % b) 1,1 g/cm3

4. Un bloque de un material desconocido pesa 5,00 N en el aire y 4,55 N si está sumergido en el agua. Calcula su densidad.

Sol: 11,1 g/cm3

5. Estima la corrección que es necesario hacer al pesar con una balanza un bloque de madera de 20 g a causa del empuje del aire. Supón que las pesas son de latón de densidad 8,7 g/cm3, que la densidad de la madera es de 0,40 g/cm3 y la del aire 1,3·10­­−3 g/cm3. Sol: Δm = 0,06 g.

6. Dos líquidos no miscibles, aceite y agua, se vierten en un tubo en forma de U como se indica en la figura. Calcula la densidad del aceite si el nivel del agua está por debajo del nivel del aceite de forma que h1 = 24 cm y h2 = 19 cm. Sol: 0,79·103 kg/m3

7. Una corriente de agua con un caudal de 2,8 L/s fluye a través de una tubería de sección circular de 2,0 cm de diámetro. a) ¿Cuál es la velocidad de la corriente de agua?. Si la tubería se estrecha hasta que su diámetro se reduce a la mitad, b) ¿cuánto ha variado su velocidad?

Sol: a) 8,9 m/s, b) se ha hecho 4 veces mayor

8. Por una tubería inclinada 30º respecto a la horizontal circula agua en sentido ascendente. La tubería presenta dos secciones de doble diámetr4o la primera que la segunda. Calcular la variación de la velocidad del agua al pasar de la primera a la segunda sección si un manómetro señala una diferencia de presión de 10 cm de Hg entre dos puntos situados 1m antes y después del estrechamiento.

Sol: 11,8 m/s

9. a) Obtener las dimensiones de la viscosidad. b) Comprobar que el número de Reynolds es adimensional.

Sol: a) L−1 M T−1

10. La sangre tarda aproximadamente 1 s en fluir por un capilar del sistema circulatorio humano de 1 mm de longitud. Si el diámetro del capilar es de 7 m y la caída de presión 2,6 kPa, estima la viscosidad de la sangre.

Sol: 4·10−3 Pa·s

11. Los pulmones pueden ejercer una presión negativa máxima de 80 mmHg cuando absorben. ¿Desde qué altura, por encima de la superficie de un líquido, puede absorberse éste con una caña?

Sol: h = 1,045⋅104/ρ m.

12. Una aorta posee un radio de 0,9 cm y la velocidad media de la sangre que la atraviesa es de 0,23 m/s. Después, la sangre se distribuye por 100 arteriolas similares de 3 mm de radio. Calcular: a) el caudal total; b) la velocidad de la sangre en las arteriolas; c) la diferencia de presión debida al término cinético entre la aorta y las arteriolas. Sol: a) 5,85⋅10-5 m3/s; b) 0,02 m/s; c) 26,3 Pa.

Un anemómetro como el de la figura muestra una diferencia de altura entre el líquido de los conductos de 1,5 cm. El fluido que lo atraviesa es un plasma con una densidad de 1,03 kg/L. El radio de la parte ancha es de 1 cm y el de la parte estrecha de 0,4 cm. ¿Cuál es la velocidad del plasma? Sol: v­­2 = 0,6 m/s; v1 = 0,1 m/s.

Una plataforma flotante de área A, espesor h y masa 600 kg flota en agua tranquila con una inmersión de 7 cm. Cuando una persona sube a la plataforma, la inmersión es de 8,4 cm. ¿Cuál es la masa de esta persona?

Sol.: 120 kg.

Una fuente diseñada para lanzar una columna vertical de agua de 12 m de altura sobre el nivel del suelo, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del nivel del suelo. La tubería que conecta la bomba a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe suministrar la bomba.

Sol.: 241 kPa.

Suponiendo que la presión sanguínea del corazón es ~100 mmHg, a) ¿cuál será la presión en el cerebro de una persona si la distancia de la cabeza al corazón es de unos 50 cm? b) ¿Cuál será la presión en los pies si la distancia al corazón es de aproximadamente 100 cm? c) La altura del corazón a la cabeza de las jirafas es de 340 cm, ¿cuál será la presión media del corazón en las jirafas para bombear sangre hasta esa altura?

Sol.: a) 8184 Pa b) 23619 Pa c) 7⋅104 Pa.

De un depósito muy grande A sale agua continuamente a través de otro depósito menor B el cual, a su vez, desagua por un orificio lateral, C.

El nivel del agua en A se supone cte. y a una altura H = 12 m; la altura del orificio C de h = 1,2 m. Las secciones del orificio C y del depósito B son respectivamente 225 cm2 y 450 cm2.

Calcular:

la velocidad del agua y la presión absoluta en el depósito B.

El caudal que circula en L/s.

Sol.: a) 7,25 m/s. b) 326,3 L/s.

Se tiene un vaso sanguíneo de radio R1 que se ramifica en n vasos iguales de radio R2. Calcular el valor de R2 en función de R1 y n para que la caída de presión por unidad de longitud antes y después de la ramificación (en cualquiera de los n vasos ) sea la misma.

Sol.:

Una esferita de acero de r = 3 mm parte del reposo y cae en un depósito de glicerina. ¿Cuál es la velocidad límite de la esferita en ese líquido? Datos: ρacero = 8 ⋅103 kg/m3; ρglicerina = 1300 kg/m3; glicerina = 830 cp. Sol.: 0,16 m/s.

Sobre un tubo capilar de 10 cm de largo y 0,6 mm de diámetro interno se aplica una diferencia de presión de 75 mm Hg para mover agua en su interior. a) ¿Qué volumen de agua saldrá del tubo en 20 s? b) Comprobar que el régimen de movimiento es laminar. Sol.: 8⋅10-6 m3; Re = 1048 < 2400.

Departamento de Física y ATC

DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA

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Versión 20/07/2011

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FAFQ. Tema II. Mecánica de Fluidos

División de Física Aplicada

Versión 20/07/2011

Hundimiento

Empuje < Pesocuerpo

Equilibrio

Empuje = Pesocuerpo

c

h

a

h

2

F

1

F

b)

a)

at

p

0

p =

p

0

p

b

h

at

p

x

p

h

Q

1

Q3

2

Q

v3

v2

v1

R

L

p

1

p

2

v

max

v

min

= 0

v

media

=

v

max

/2

Q

1·



p

Régimen turbulento

Régimen laminar

·

2

·

2

h

S

S2

S1

F2

1

2

F1

líquido

Flotabilidad

Empuje > Pesocuerpo

B

Patm

SA

h

A

SB

Patm

0

C

A

B