1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007

Asignatura: FÍSICA APLICADA Y FÍSICO-QUÍMICA

GUÍAS DE ESTUDIO

TEMA I. LAS MAGNITUDES FÍSICAS

ÍNDICE

MAGNITUDES FÍSICAS Y UNIDADES DE MEDIDA

Magnitudes físicas

Ecuaciones y leyes físicas

Dimensiones.

Sistemas de unidades.

Análisis dimensional

INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS

Clasificación de las causas de error

Medidas directas e indirectas

Formas de expresión de resultados. Cifras significativas

Error de medidas directas

Error de medidas indirectas

Exactitud y precisión

Conceptos básicos de Estadística

Interpolación

TRATAMIENTO Y PRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES

Obtención de datos experimentales

Elaboración de resultados: representaciones gráficas; regresión lineal

Memorias de laboratorio

CUESTIONES Y PROBLEMAS

Objetivos

Explicar la necesidad y utilidad del empleo de unidades en Física. Sistema Internacional.

Destacar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones y leyes físicas.

Introducir aspectos generales sobre la exactitud y precisión de las medidas como preparación a las clases en el laboratorio.

Representar los resultados experimentales en forma gráfica.

Bibliografía

Apuntes División Física Aplicada

Física (Cap.1) - P. Tipler - Reverté - 1999

1. MAGNITUDES FÍSICAS Y UNIDADES DE MEDIDA.

Magnitudes físicas

La Física estudia el comportamiento de los cuerpos en situaciones naturales o artificiales ensayadas en el laboratorio. El estudio, basado en la observación, conduce a observables y para cada conjunto de observables de características similares se define una magnitud.

Por ejemplo, de un libro, son observables el ancho de sus hojas, su masa,.... Por otra parte, a los observables: ancho de las hojas de un libro, altura de un edificio, radio de la Tierra,..., se les asigna la magnitud escalar longitud (L).

Las magnitudes pueden ser de dos tipos: escalares y vectoriales.

Si se observa la posición de un cuerpo respecto a otro, para expresarla se necesita además de la distancia su orientación relativa respecto a una dirección y sentido elegidos como referencia, tratándose entonces de la magnitud vectorial longitud .

Ecuaciones y leyes físicas

La mayoría de los fenómenos físicos (oscilación de un péndulo, transmisión de la luz por una lente,...) son muy complicados. En su estudio se suponen fenómenos más simples (ideales) proponiendo modelos que representan una cierta aproximación de la realidad y, con ayuda del lenguaje matemático, se establecen las leyes de comportamiento. En Física se formulan, como sistematización de los resultados experimentales, un número reducido de leyes básicas (de Newton, de Coulomb...) y numerosas leyes empíricas (de Hooke, de Ohm...).

La simplicidad que le aporta a la Física el lenguaje matemático tiene el riesgo de su lectura incorrecta. El trasfondo de las leyes físicas es la identificación de los símbolos que en ellas aparecen y la clarificación de sus condiciones de validez.

Dimensiones

El área se halla multiplicando una longitud por otra. Decimos que tiene dimensiones L2. Fourier amplió esta idea a otras magnitudes no geométricas, calculando sus dimensiones a partir del principio de homogeneidad dimensional de las ecuaciones y de las leyes físicas.

Para algunas magnitudes (longitud, masa tiempo,...) su dimensión se introduce de forma independiente y por esta razón se denominan fundamentales. Las dimensiones de las magnitudes derivadas se expresan, empleando su definición o una ley en la que aparezca como un producto de potencias de las dimensiones de las magnitudes fundamentales.

Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones L T-1; las de la fuerza , de la segunda ley de Newton F = m a , son M L T-2

Sistema de unidades

Las magnitudes físicas se valoran por comparación con un patrón o unidad de medida. La proliferación de patrones diferentes para una misma magnitud provocó una complicación en el trabajo científico y técnico hasta que tras un largo proceso se consiguió alcanzar (1960) un acuerdo internacional para establecer un sistema único. Este sistema se conoce como Sistema Internacional (SI) de unidades y en España se adoptó legalmente en 1967.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Magnitudes fundamentales

Magnitud Dimensión Unidad Símbolo

Longitud L metro m

Masa M kilogramo kg

Tiempo T segundo s

Intensidad de corriente eléctrica I amperio A

Temperatura θ kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Magnitudes suplementarias

Angulo plano radián rad

Angulo sólido estereoradián sr

Magnitudes derivadas con nombre especial

Frecuencia T-1 hercio Hz

Fuerza L M T-2 newton N

Presión L-1 M T-2 pascal Pa

Trabajo (energía) L2 M T-2 julio J

Potencia L2 M T-3 vatio W

Carga eléctrica T I culombio C

Potencial eléctrico L2 M T-3 I-1 voltio V

Resistencia L2 M T-3 I-2 ohmio Ω

Capacidad L-2 M-1 T4 I2 faradio F

Campo magnético M T-2 I-1 tesla T

Flujo magnético L2 M T-2 I-1 weber Wb

Inductancia L2 M T-2 I-2 henrio H

Para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas, comparadas con la unidad correspondiente, se emplean múltiplos o submúltiplos a los que también se asigna un símbolo que se utiliza como prefijo de la unidad:

Múltiplos

Factor 1012 109 106 103

Nombre tera giga mega kilo

Símbolo T G M k

Submúltiplos

Factor 10-12 10-9 10-6 10-3

Nombre pico nano micro mili

Símbolo p n μ m

Hay que destacar que para expresar una medida es necesario indicar la unidad de medida. La excepción son las magnitudes adimensionales (magnitudes relativas) cuya especificación se limita a un número. Por otra parte, sólo las magnitudes escalares quedan definidas por un único número y su unidad; para las vectoriales se necesitan tres números (componentes).

2. INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

La Física, como toda ciencia experimental, está basada en leyes matemáticas que relacionan entre sí magnitudes que pueden ser medidas en el laboratorio. Para construir o verificar tales leyes, es necesario recurrir a la experimentación. Sin embargo, el proceso de medida está siempre sometido a un conjunto de circunstancias, denominadas causas de error, que provocan una desviación de los valores medidos con respecto al “verdadero valor”.

Un experimentador debe tener presente que el “verdadero valor” de una magnitud física es una cantidad que nunca podrá conocer con una exactitud y seguridad absolutas. Por ello, el error de una medida (diferencia entre el valor verdadero y el valor medido) es también una cantidad desconocida. Para extraer conclusiones fiables de un experimento, es imprescindible determinar el grado en que las medidas pueden estar afectadas por las diversas causas de error. En otras palabras, debemos dar alguna indicación que nos diga la probabilidad de que el resultado experimental obtenido se encuentre cerca del verdadero valor. Es posible estimar una cota superior del valor absoluto del error, que se denomina incertidumbre de la medida.

Para calcular la incertidumbre en una medida experimental es conveniente clasificar tanto el tipo de medidas efectuadas como el tipo de causas de error que pueden afectar el resultado de estas medidas.

2.1 Clasificación de las causas de error: causas sistemáticas y accidentales

1. Errores sistemáticos y accidentales

Errores sistemáticos

Son aquellos que afectan a la medida siempre en la misma cuantía. Suelen ser debidas a una mala construcción o calibración de los aparatos de medida, a su utilización en condiciones distintas de las debidas (por ejemplo, utilizarlos a una temperatura diferente de la de su calibrado), o por empleo erróneo del procedimiento de medida por parte del observador. En general, los errores introducidos por todas estas causas pueden ser evitados cambiando el aparato (corrigiendo el error de cero) o el método de medida.

Errores accidentales

Son aquellas que afectan de manera aleatoria e imprevisible a la medida, tomando ésta valores ligeramente distintos aunque se repita en condiciones aparentemente idénticas. Tales causas suelen ser debidas a múltiples factores que actúan simultáneamente: defectos en la apreciación del valor por parte del observador, pequeñas fluctuaciones en las condiciones de medida, etc. En muchos casos es difícil determinar el origen de estas causas de error, por lo que su eliminación es prácticamente imposible. Afortunadamente, el carácter aleatorio de los errores accidentales permite que éstos puedan ser evaluados mediante procedimientos estadísticos (realizaremos muchas veces la misma medida y tomaremos como valor de la magnitud la media). Evidentemente, tales métodos no son aplicables a los errores sistemáticos, que son potencialmente los más peligrosos.

2. Error instrumental

Existe, además, una causa de error que siempre está presente en todo experimento. Se trata de la limitación instrumental, o causa instrumental, debida al hecho de que no existen instrumentos con una precisión infinita. Así, una regla graduada en milímetros será incapaz de detectar diferencias de longitud inferior al milímetro; un cronómetro digital que marca hasta las centésimas de segundo será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.

3. Error absoluto y error relativo

Error absoluto

El error absoluto ε(x) de una medida se define como el intervalo de valores, alrededor del valor medido, dentro del cual debe encontrarse el valor verdadero. Se calcula como la diferencia entre el valor medido y el valor representativo.

ε(x) = a - x (1)

Error relativo

Para saber si el error cometido es importante en comparación con el valor de la medida, puede indicarse el error relativo, definido como el cociente entre el error absoluto y el valor representativo (medio):

(2)

Multiplicado εr por 100, el error relativo representa el tanto por ciento de incertidumbre en el resultado.

2.2 Clasificación del tipo de medidas: Medidas directas e indirectas

Las medidas que se realizan en el laboratorio pueden ser clasificadas de dos tipos: directas o indirectas.

Medidas directas

Son aquellas que han sido obtenidas directamente con ayuda de un instrumento de medida. Así, al usar una regla (o una cinta métrica) para medir el valor de una longitud, estamos efectuando una medida directa de la longitud. Del mismo modo, usando una balanza efectuamos medidas directas de la masa de un objeto.

Medidas indirectas

Son aquellas en las que han sido obtenidas a partir de una expresión matemática que la relaciona con otras magnitudes. Por ejemplo, si usamos la fórmula V = (/6)D3 para determinar el volumen de una esfera a partir de la medida directa de su diámetro, estaremos efectuando una medida indirecta de V.

2.3. Forma de expresar el resultado de una medida

De acuerdo con lo anterior, el resultado x de una medida no proporciona el valor exacto de la cantidad que deseamos determinar. Por ello, es necesario indicar de algún modo la confianza que tenemos en que el valor medido se encuentre próximo al verdadero valor. Expresaremos el resultado de la medida de la forma:

x ± ε(x) , (3)

con sus unidades correspondientes. Aunque a ε(x) lo nombraremos como error de la medida, debe tenerse bien en cuenta, sin embargo, que se refiere a incertidumbre.

Al expresar un resultado mediante la ecuación (3) suele ocurrir que tanto el valor medido x como su error absoluto ε(x) presentan un gran número de cifras decimales. Debido a la dificultad de evaluar el error con precisión, es evidente que no tiene sentido emplear un gran número de cifras para expresarlo. Del mismo modo, tampoco tiene sentido expresar el resultado de la medida con cifras que impliquen una precisión mayor que la del error. Por ello, para expresar el resultado y el error de una medida, debemos emplear los siguientes criterios:

El error sólo puede tener una cifra significativa distinta de cero, a no ser que ésta sea 1, en cuyo caso, opcionalmente, pueden emplearse dos cifras para expresar el error.

A la hora de eliminar cifras, aplicaremos el siguiente criterio de redondeo:

Si la primera cifra que se suprime es mayor o igual que 5, la última cifra conservada debe aumentarse en 1.

Si la primera cifra que se suprime es menor que 5, la última cifra conservada no varía.

Así, por ejemplo, ε(x)=0.291 debe escribirse como ε(x)=0.3 (sólo el 3 es distinto de cero), ε(x)=237 debe escribirse como ε(x)=200 (sólo el 2 es distinto de cero) y ε(x)=117 debe escribirse como ε(x)=120 (por tratarse de un uno).

La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud que su error absoluto. Así, por ejemplo, si el error es 0.3 (décimas), el resultado 5.21, debe escribirse 5.2 (su última cifra es del orden de las décimas).

2.4. Error de una magnitud medida directamente

2.4.1 Error cometido al realizar una sola medida

Como antes hemos comentado, cuando usamos un aparato para medir el valor de una magnitud física, x, la precisión del resultado siempre está limitada por la división mínima en la escala del aparato de medida, o error instrumental. Recordemos: una regla graduada en milímetros será incapaz de detectar diferencias de longitud inferior al milímetro; un cronómetro digital que marca hasta las centésimas de segundo será incapaz de distinguir dos intervalos de tiempo inferiores a 0.01 segundo, etc.

Cuando la medida se realiza con un instrumento de poca sensibilidad, al repetir la medida varias veces, encontraremos siempre el mismo resultado. En este caso, nos bastará con realizar una única medida, siendo su error el error instrumental.

ε(x) = división mínima del aparato de medida

2.4.2 Error cometido al realizar N medidas directas de una misma magnitud

Si la sensibilidad del aparato de medida es grande, podemos encontrarnos que al repetir la medida, obtengamos valores ligeramente diferentes. En este caso se deberán realizar varias medidas.

Supongamos que hemos efectuado un conjunto de medidas de una misma cantidad. Por ejemplo, supongamos que hemos dejado caer una esfera desde un metro de altura y hemos medido el tiempo empleado por ésta en llegar al suelo. Repitiendo la experiencia varias veces, obtendremos un conjunto de medidas directas del tiempo de caída: t1, t2, t3,...tN que no serán idénticas, viéndose afectadas por errores accidentales que introducen una incertidumbre en el valor obtenido.

Realizaremos varias medidas, y tomaremos como valor más representativo de la magnitud que estamos midiendo, el valor medio:

(4)

Siendo N el número de medidas efectuadas

El criterio que tomaremos para saber el número de medidas que debemos realizar es el siguiente:

Se realizan inicialmente 3 medidas: x1, x2, x3 y se calcula el valor medio de las mismas .

Se calcula el porcentaje de dispersión definido como:

(5)

Si D<2 % nos bastan las tres medidas realizadas.

2%≤D<8% Tendremos que realizar tres medidas más (total 6).

8%≤D≤15% Realizaremos hasta un total de 15 medidas.

D>15% Tendremos que realizar un total de 50 medidas.

Cuando el proceso experimental sea largo o difícil, es preferible intentar descubrir la causa de que la dispersión sea grande e intentar reducirla o cambiar de procedimiento de medida, en lugar de realizar muchas medidas.

El error que asignaremos al valor medio será el mayor de los tres errores siguientes:

Error instrumental: división mínima del aparato de medida.

Error de dispersión: (6)

Desviación típica N-1: (7)

Estos métodos de tipo estadístico para reducir los errores no son aplicables a los errores sistemáticos, sino sólo a los errores accidentales.

2.5. Error de una magnitud medida indirectamente

Con frecuencia se está interesado en conocer magnitudes que no se pueden medir directamente en el laboratorio, sino que se deben evaluar a partir de sus relaciones matemáticas con otras magnitudes que sí se pueden medir directamente.

Por ejemplo, si disponemos de un nonius y una balanza y deseamos conocer el volumen V y la densidad ρ de un sólido esférico, mediremos el diámetro D y la masa M de dicho sólido, y utilizaremos las expresiones siguientes

(8)

para hallar, respectivamente, el volumen y la densidad del cuerpo. Es evidente que el volumen y la densidad son magnitudes indirectas, mientras que el diámetro y la masa del cuerpo son magnitudes directas.

Consideremos el caso más sencillo, de una magnitud indirecta que sea función sólo de una variable, z = f(x). Tal y como se puede observar en la figura, si suponemos que el intervalo (x2,x1) que corresponde a dos veces el error absoluto de la magnitud directa x, 2ε(x) = x2 - x1, es suficientemente pequeño para poder representar en ese intervalo la función f(x) por una recta, z = mx + b, y si tenemos en cuenta que el error absoluto correspondiente a la magnitud indirecta, según la figura 1, cumple la relación 2ε(z) = z2 - z1 = f(x2) - f(x1), por simple análisis matemático, se obtiene:

(9)

es decir, 2ε(z) = m 2ε(x) ⇒

ε(z) = m ε(x)

siendo m la pendiente de la recta, dada por m = dz/dx.

El error absoluto ε(z) de la magnitud indirecta z en función de la magnitud directa x, vendrá dado por: Figura 1 (10)

Si la magnitud indirecta es una función de varias variables, z = f(x,y,t ...), y podemos suponer que el error de cada variable es suficientemente pequeño, análogamente al caso anterior, obtendremos el error absoluto de la magnitud indirecta en función de los errores absolutos de las magnitudes directas, de la forma:

(11)

Aún cuando al diferenciar salgan signos menos, los cambiaremos por signos más, ya que los errores siempre se acumulan, no se compensan.

Las constantes, así como los números irracionales que puedan existir en la función, deben tomarse con el número de cifras necesario para que el término del error correspondiente a las mismas, sea despreciable frente al error total. Respecto a los números irracionales, el uso de calculadoras hace que el número de cifras proporcionadas sea el suficiente como para que el error añadido sea despreciable.

Para el caso en que la función sea un monomio, podemos calcular el error absoluto de una forma más sencilla:

Se toman logaritmos neperianos en la función.

Se diferencia.

Se asimila la diferencial de una función a su error absoluto dx≈ε(x)

Se despeja el error de la función, teniendo en cuenta que los errores se acumulan (si es que existe algún término negativo).

Seguidamente presentamos algunos ejemplos del cálculo de errores de magnitudes indirectas. Es conveniente que se intente deducirlos.

(16) (19)

(17) (20)

(18) (21)

2.6. Conceptos de exactitud y precisión

Es importante distinguir entre estos dos términos. La exactitud de un experimento es una estimación de lo cercanos que están los resultados del experimento respecto al valor verdadero. La precisión indica lo reproducible que es el experimento realizado, sin referencia a su acuerdo con ese valor verdadero. Como ejemplo, imaginemos que los resultados de las medidas que han realizado dos experimentadores son los dos conjuntos de pares de medidas (x1, y1), (x2, y2), ..., (x5, y5), que se distribuyen como se muestra en la figura. El círculo negro señala el “valor verdadero” (puede considerarse obtenido con un método experimental mucho más preciso y exacto).

2.7. Conceptos básicos de Estadística

El carácter aleatorio de los errores accidentales permite que puedan ser resueltos mediante los métodos proporcionados por la Estadística.

Descripción gráfica de una muestra de datos: histogramas

Un conjunto de N medidas de la misma magnitud t puede ser representado gráficamente mediante un gráfico denominado histograma. Un histograma consiste en representar, sobre el eje de abscisas, la magnitud t dividida en intervalos regulares, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias relativas f1 correspondientes a cada intervalo. Es decir, si hemos obtenido n1 veces el valor t1, la frecuencia relativa o altura del histograma será f1 = n1/N y así sucesivamente. Es fácil comprender el sentido físico de fi al multiplicar esa cifra por 100. Así, fi = 0.24 indica que el número de veces que se repite xi es el 24% del tamaño de la muestra.

Figura 2

Indices estadísticos

Supongamos que disponemos de un conjunto de N medidas directas {x1, x2, x3, ... , xN} de una misma magnitud física x. Para caracterizar este conjunto de medidas, suele recurrirse a una serie de indicadores estadísticos. Los más importantes son :

a) Media (): Se define como:

(22)

y representa el valor central del conjunto de medidas realizadas.

b) Desviación típica o estándar de la muestra (s): Se define como:

(23)

y representa el grado de dispersión de las medidas alrededor del valor medio (para número de medidas pequeño).

Varianza,s2, definida como el cuadrado de la desviación típica.

Coeficiente de correlación. Ver apartado de Método de mínimos cuadrados.

Función de distribución

Supongamos que las mediciones del ejemplo anterior se continúan hasta conseguir que la muestra tenga un número muy grande de medidas. En esta situación, podemos considerar intervalos (o barras) mucho más estrechas que las anteriores, ya que siempre tendremos un número apreciable de datos experimentales en cada uno de ellos. En el límite de una muestra enormemente grande (), la anchura de cada intervalo sería infinitesimal y el histograma se convertiría en una curva continua. Esta curva recibe el nombre de función de distribución. Al igual que ocurría con las barras de un histograma, el producto f(x)dx representa la probabilidad de que, al realizar una medida de la magnitud física bajo estudio, obtengamos un resultado comprendido entre x y x+dx.

Generalmente, los errores asociados a la medida de una magnitud física tienen su origen en la superposición de muchas perturbaciones pequeñas e imprevisibles. Esta característica permite fijar la forma funcional de la función de distribución f(x). En efecto, es posible demostrar (teorema del límite central) que, cuando la aleatoriedad de una variable es debida a la suma de un gran número de causas independientes, f(x) viene descrita por la llamada distribución normal o de Gauss:

(24)

donde es la media, y σ es la desviación típica de la variable x. La figura 3 muestra la curva asociada a tal distribución.

2.8. Interpolación

Es frecuente que se necesite obtener valores de algunas magnitudes físicas a partir de tablas numéricas. Podemos clasificar éstas en dos tipos: de simple entrada, cuando la variable dependiente z es sólo función de una variable independiente x, z=f(x), y de doble entrada, cuando depende de dos variables independientes z=f(x,y).

2.8.1 Interpolación en tablas de simple entrada.

Nuestro objetivo es determinar el valor de z para un valor de x no incluido en la tabla. Buscaremos los valores de x tabulados entre los que se encuentra el valor a determinar.

x1	z1
x2	z2

Si consideramos que para el intervalo de x1 a x2 la expresión z=f(x) puede asimilarse a una recta,

(25)

Podremos obtener el valor de z en función de x o viceversa. El error de z vendrá dado por:

(26)

suponiendo que los valores de las tablas tengan errores despreciables.

2.8.2 Interpolación en tablas de doble entrada.

En este caso z depende de las variables x e y, z=f(x,y),

	y1	y2
x1	z11	z12
x2	z21	z22

Donde los valores los valores disponibles de x y de y, están intercalados entre los extremos (x1,x2) y (y1,y2). Considerando una relación lineal entre dichos intervalos, se calcula z mediante:

(27)

Siendo su error:

(28)

3. TRATAMIENTO Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS EXPERIMENTALES. MEMORIAS DE LABORATORIO

Los valores numéricos obtenidos en el laboratorio carecen de valor práctico si no llevan a una comprensión, lo más amplia posible, de la ley física que se pretende comprobar. Para eso es necesaria la adecuada manipulación e interpretación de dichos datos.

La realización completa de una práctica consta, por tanto, de dos fases bien diferenciadas:

3.1 Obtención de los datos.

Esta fase se desarrolla en el laboratorio y para su buena realización conviene tener en cuenta los siguientes detalles:

El material disponible para la realización de la práctica debe de ser tratado con cuidado, teniendo en cuenta que está completo y en buen estado al inicio de la práctica y que debe continuar así al finalizar la misma. El puesto de trabajo se deja limpio y ordenado. Los aparatos de medida eléctricos o electrónicos son complicados y debe conocerse su modo de empleo antes de utilizarlos. En caso de dudas siempre se ha de preguntar al profesor antes de empezar las medidas.

En el guión correspondiente están relacionados los aspectos fundamentales de la práctica. Es preciso leer con detalle el guión antes de proceder al desarrollo experimental de la práctica.

Los valores obtenidos han de ser posteriormente manipulados, por lo que es necesario anotarlos sistemáticamente. Utilizaremos un cuaderno como diario de laboratorio (no hojas sueltas) trasladando inmediatamente a él lo que se va realizando.

En el cuaderno debe constar:

— Título de la práctica y fecha de realización.

— Objetivos: indicación de forma clara y concisa de lo que se desea hallar o verificar en la práctica.

— Procedimiento experimental: descripción esquemática del montaje y los aparatos de medida.

— Resultados: Medidas agrupadas en tablas, representaciones gráficas, cálculos y resultados correctamente expresados.

y opcionalmente

— Discusión de los resultados, crítica y/ó sugerencias a la práctica.

• Agrupación de las medidas en tablas

Las medidas se agrupan en tablas para comparar fácilmente los resultados. En el encabezamiento de cada columna se escribe la magnitud y las unidades.

Por ejemplo, en el estudio experimental de la dependencia de la corriente que circula por una resistencia y por un diodo con la diferencia de potencial aplicada entre sus terminales, las medidas se agrupan como se indica en las tablas siguientes. En este estudio se han empleado polímetros digitales con un error relativo del orden del 2%.

Resistencia
V (V)	I (A)
0,100	6,6
0,200	13,2
0,30	20,1
0,40	26,5
0,50	33
0,60	40
0,70	46
0,80	53
Diodo
V (V)	I (A)
0,45	0
0,50	0,210
0,55	0,68
0,60	1,76
0,65	4,9
0,70	13,4
0,75	39
0,80	97

3.2 Elaboración de resultados.

• Representación gráfica de las medidas

Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar experimentalmente en el laboratorio producen una distribución de valores que se puede representar gráficamente. La representación gráfica de las medidas tiene la ventaja de que muestra la tendencia de las mismas de un vistazo, aunque a veces se pierda algo de información. La representación gráfica de dichos fenómenos supone así una gran ayuda visual para la interpretación física de los mismos, ya sea a través del reconocimiento de la forma matemática de la curva resultante o a través de la determinación de valores como la pendiente o la ordenada en el origen.

Para que una representación gráfica sirva para los fines expresados es preciso que su realización se haga siguiendo una serie de criterios generales que se enumeran a continuación:

Soporte de realización. Es aconsejable emplear un programa informático de tratamiento de datos que además de su representación gráfica permita su impresión posterior. No obstante, si se realiza a mano sobre papel, en la mayoría de los casos será necesario utilizar papel milimetrado.

Si el error es el habitual (1-5%) el tamaño adecuado de la gráfica puede oscilar entre la cuarta parte y la mitad de un papel A4.

Trazado de los ejes. El eje de abscisas debe representar la variable independiente y el eje de ordenadas debe corresponder a la función representada. En ambos ejes debe aparecer la magnitud que se representa y su correspondiente unidad entre paréntesis. Los ejes se marcan de manera que las escalas sean claras escribiendo sólo un pequeño número de valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala, sin señalar necesariamente las correspondientes a las medidas realizadas. Para facilitar la lectura la escala debe ser simple: se divide el eje en partes que correspondan a 1, 2 ó 5 unidades de la magnitud o a un múltiplo o submúltiplo decimal de estas cantidades. Las escalas deben abarcar aproximadamente el intervalo de medidas realizadas aunque para ello el origen de coordenadas no coincida con el cero de la escala. En el caso de usar papel milimetrado, los ejes se dibujan dentro del plano milimetrado, no se deben emplear los márgenes como ejes.

Trazado de las gráficas. Los valores experimentales deben ser representados por una marca clara sobre el plano de la gráfica (aspa, cruz, punto, rectángulo, etc.). En cada punto experimental pueden indicarse los márgenes de error mediante segmentos de la debida longitud. Las funciones se representan mediante líneas continuas. Siguiendo estas normas comparamos el comportamiento eléctrico de la resistencia y del diodo cuyas características I-V recogían las tablas anteriores

Ajustes

En algunos casos se trata de ajustar las medidas a una fórmula y obtener los parámetros que aparecen en ella. Para resolver estos problemas se utiliza el método de ajuste de mínimos cuadrados, que consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre las medidas y las cantidades calculadas utilizando la fórmula de prueba. Los cálculos se suelen realizar con la ayuda de un ordenador.

El caso más común es cuando una función es una línea recta (ver figura) y = b x + a. Los parámetros que se obtienen tras el ajuste son la pendiente (b) y la ordenada en el origen (a).

Si la función es exponencial y = y0 e b x, o potencial y = a x b, también se pueden ajustar las medidas por una recta utilizando una escala logarítmica.

El fundamento detallado del método se expone a continuación.

Método de ajuste por mínimos cuadrados

Supongamos que tenemos N pares de medidas (x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN), que se distribuyen de forma lineal (rectilínea) como aparecen reflejados en la figura, y queremos determinar la recta que mejor representa a esos datos experimentales:

y = bx + a (29)

Tendremos que determinar la pendiente b y la ordenada en el origen a de la recta de regresión (29), de forma que los puntos experimentales queden distribuidos a ambos lados de la recta, y lo más cercanos a ella. Para un par de valores (xi, yi), la desviación entre la recta de ajuste y dicho punto será (véase figura ), yi - bxi - a. La mejor recta de ajuste a los datos experimentales será aquella en la que la suma de cuadrados de las distancias de los puntos experimentales a ella, según el eje de ordenadas, sea mínimo. Por tanto, los mejores valores de b y a serán aquellos que verifiquen que

(30)

sea mínimo. De aquí proviene el nombre de ajuste de una recta por el método de los mínimos cuadrados.

La condición anterior implica que

(31)

Es decir, tenemos dos ecuaciones que conducen de forma inmediata a calcular los valores de las dos incógnitas, b y a. El resultado es

(32)

Donde N es el número de pares de medidas empleados para el ajuste.

Si la recta pasa por el origen de coordenadas, se cumple que a=0 y la pendiente puede calcularse de la siguiente forma:

(33)

Los resultados experimentales pueden o no ajustarse a una recta, existe una forma matemática de determinar la idoneidad del ajuste por regresión lineal. Basándonos en un índice estadístico llamado Coeficiente de Correlación, cuyo valor está comprendido entre ±1. Cuanto más se aproxime a uno en valor absoluto, mejor será el ajuste. En coeficiente de correlación se define de la siguiente forma:

(34)

Mediciones muy correlacionadas. Mediciones muy poco correlacionadas.

Cálculo del error en a y b

Para estimar el error en los parámetros a y b, puede suponerse que los errores en la variable x son despreciables frente a los de la variable y. Aplicando entonces la propagación de errores (11) a las expresiones (31), se encuentra que el error viene dado por:

(35)

donde

(36)

Existe un método sencillo para calcular los errores de la pendiente y de la ordenada en el origen, mediante una relación estadística con el coeficiente de correlación.

(37)

donde N es el número de puntos.

3.3. Realización de las memorias de laboratorio.

Una memoria de laboratorio completa consta de los siguientes apartados:

Fundamento teórico. Brevemente se debe hacer constar la base teórica en la que se apoya la práctica realizada. También debe incluir una breve descripción del método utilizado.

Presentación de datos. En esta parte se incluyen las tablas con los valores obtenidos en el laboratorio. Se debe indicar el número de medidas realizadas y el error experimental de las mismas. Las magnitudes medidas deben estar expresadas correctamente en sus unidades.

Resultados. Los resultados son el objetivo final de la práctica y se obtienen después del correcto tratamiento de datos. Estos resultados deben expresarse como se ha establecido en las secciones anteriores. En su expresión siempre se debe incluir el error correspondiente y las unidades. En esta sección deben incluirse aquellas representaciones gráficas que sean precisas para la interpretación de resultados.

Comentario crítico. En esta sección se deben discutir las cuestiones propuestas en el guión y además el estudiante debe incluir su valoración de la práctica, comentando las dificultades que se hayan podido encontrar. En caso de que los resultados no sean del todo satisfactorios, se deben discutir las causas de la discordancia con los resultados esperados y se deben ofrecer alternativas que subsanen dichos fallos.

Apéndice con el cálculo de errores. El cálculo de errores completo debe incluirse en un apéndice en la parte final de la práctica.

Bibliografía. Donde se haga constar los libros consultados en la realización de la memoria.

Vocabulario inglés-español

Uncertainty - incertidumbre

Accuracy - exactitud

Precision - precisión

Ejemplos del criterio de redondeo de una medida

1.45854 a 4 cifras 1.4585

a 3 cifras 1.459

a 2 cifras 1.46

Ejemplos de expresión de los resultados de una medida

Si en la medida de una fuerza se ha obtenido debe expresarse como

F = 45 060 N con incertidumbre 346.6 N F= (45.1 ± 0.3) x 103 N

F = 0.34573 N con incertidumbre 0.00237 N F= 0.346 ± 0.002 N

(34.6 ± 0.2) x 10-2 N

CUESTIONES Y PROBLEMAS

1. En las ecuaciones siguientes, x es una distancia, t es un tiempo y v una velocidad

a) x = C1 + C2 t b) x = C1 t2/2 c) v2 = 2 C1 x

d) x = C1 sen(C2 t) e) v = C1 cos(C2 t) f) v = C1 e − C2 t

Halla las dimensiones, en el SI, de las constantes C1 y C2 en cada ecuación.

2. Entre las diferentes formas de expresar un trabajo en Física se encuentran las siguientes:

Energía cinética = m v2/2 ; Energía potencial = mgh ; Trabajo termodinámico = pV

Demuestra que todas ellas tienen las mismas dimensiones.

3. Halla las dimensiones y las unidades SI de la constante G de la ley de gravitación universal. Sol: M−1 L3 T−2

4. El período (T) de un péndulo simple depende de la longitud del péndulo (l) y la aceleración (g) de la gravedad. Encuentra la combinación de l y g que tiene las mismas dimensiones que T. Sol:

5. Utilizando análisis dimensional obtén la relación que nos da la fuerza F que hay que aplicar a un cuerpo de masa m para que describa un movimiento circular uniforme de velocidad v y radio R. Sol: m v2/R

6. Calcula la sección transversal de un hilo si su diámetro mide 0,69 mm ¿Cuánto vale el error relativo? Sol: 0,37 mm2; 3%

7. La obtención de constantes o parámetros característicos puede simplificarse al transformar una gráfica no lineal en otra lineal mediante un cambio de variable. Discute los cambios apropiados en los casos siguientes:

a) p = k/V b) F = k/r2 c) U = kx2/2 d) e) pVγ = k

8. La resistividad (ρ) de un material conductor se pude determinar a partir de la expresión R = ρ L/S donde R es la resistencia eléctrica que presenta un cable de este conductor de longitud L y de sección transversal uniforme S. Para obtener su valor se hace pasar una corriente eléctrica por un cable de longitud 2,00 m y diámetro 0,69 mm y se mide la corriente (I) para distintos voltajes (V) en los extremos del cable

V (V)	0,50	0.70	1,00	1,10	1,4	1,9	2,1	2,3
I (A)	0,18	0,24	0,36	0,40	0,50	0,68	0,76	0,82

Representa las medidas utilizando escalas lineales, b) obtén la resistencia de la gráfica ajustando las medidas por una línea recta (ley de Ohm) y c) calcula el valor de la resistividad. Sol: b) 2,8 Ω, c) 51·10−8 Ω·m

9. La tabla adjunta contiene las medidas del período T del movimiento de un cuerpo de masa m en función de la masa del cuerpo

m (kg)	0,100	0.200	0,40	0,50	0,75	1,00	1,50
T (s)	0,56	0,83	1,05	1,28	1,55	1,75	2,22

Las medidas están de acuerdo con una ecuación de la forma donde k es la constante elástica del muelle. a) Representa T y T2 en función de m y b) ajusta la segunda representación por una línea recta y calcula el valor de k a partir de su pendiente. Sol: b) k = 12 N/m

10. En los siguientes ejemplos Z es una función de las variables medidas directamente A,B,.... Calcular el valor de Z, junto con su error ΔZ, para los valores dados de las otras:

a) Z= A2 ; A=25±1

Z=A-2B; A=100±3 ; B=45±2.

Z= (A/B)(C2+D3/2) ; A=0,100±0,003; B=1,00±0,005; C=50,0±0,5; D=100±8.

Z=AlnB; A=10,00±0,06; B=100±2

Z=1-(1/A); A=50±2

Sol: 630±50; 10±7; 350±50; 46,1±0,5; 0,9800±0,0008

11. Una barra metálica rectangular de masa M tiene las dimensiones a, b, c. El momento de inercia I alrededor de un eje en el centro de la cara ab y perpendicular a ésta es: I=(M/12)(a2+b2). Los valores de dichos parámetros son:

M= 135,0±0,1 g; a= 80±1 mm; b= 10±1 mm; c=20,00±0,01 mm.

¿Cuál es el error relativo de (1) la densidad del material, y (2) del momento de inercia calculados a partir de los datos anteriores? Sol: (1) 10%; (2) 3%.

12. La ley de Lambert-Beer indica que la intensidad de la radiación transmitida, I, al incidir un haz de luz sobre cierto material de espesor x viene dada por la expresión:

donde I0 es la intensidad de la radiación incidente y μ es el coeficiente de absorción lineal del material. Se obtuvieron experimentalmente los siguientes valores: I= (0,926±0,010)⋅1010 Wm-2; I0= (2,026±0,012)⋅1010 Wm-2; x = (10,00±0,02) mm. Calcular el valor de μ y su errores absoluto y relativo. Sol: (78±2) m-1; 3%.

Determinar la suma de 1,040 + 0,21342 Sol.: 1,253

Determinar los resultados de las siguientes operaciones:

1,58 x 0,03 b) 1,4 + 2,53 c) 2,34 x 102 + 4,93

Sol.: 0,05; 3.9; 239 ó 2,39 ⋅ 102

¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar el nº  para expresarlo con un error menor del 1%? ¿y del 0,001%? Sol.: 2 cifras decimales; 5 cifras decimales.

Con una regla dividida en milímetros se mide el diámetro de una circunferencia que es de unos 7 cm. ¿Qué error se cometerá al calcular el área? Sol.: 3%

Con un metro dividido en milímetros se determinan las dimensiones de un tablero que son 2,410 x 1,210 metros. Determinar el error relativo de su superficie. Sol.: 0,12%

Ordena de mayor a menor precisión las medidas realizadas, para 20 cm, 20 s y 20 g, con los siguientes instrumentos:

una regla dividida en milímetros Sol.: 0,5%

un cronómetros que aprecia segundos. Sol.: 5%

Una balanza que aprecia miligramos. Sol.: 0,005%

El volumen de una esfera es V = 4/3 r3. Si su diámetro es D= (5,0±0,1) cm, calcular el error que se comete al hallar su volumen. Sol.: 6%

De acuerdo con la figura:

¿Cuál es la relación matemática entre A y t que se deduce de la gráfica?

¿Es la relación lineal?

¿Se ha realizado un cambio de variable?

¿Cuál es el significado de R2?

Si A = 20, ¿cuánto vale t?

Departamento de Física y ATC

DIVISIÓN DE FÍSICA APLICADA

Versión 20/07/2011

División de Física Aplicada

FAFQ. Tema II. Mecánica de Fluidos

2

Versión 20/07/2011

FAFQ tema I : magnitudes físicas 10

División de Física Aplicada

FAFQ tema I : magnitudes físicas 2

Ejemplo 1:

Supongamos que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta altura, y utilizamos para ello un cronómetro que atrasa. El tiempo que midamos con ese cronómetro tenderá a ser menor que el verdadero valor. En consecuencia, nuestros resultados estarán sometidos a una causa de error sistemáticamente dirigida hacia la obtención de valores menores que el real.

Ejemplo 2.

Supongamos de nuevo que deseamos medir el tiempo empleado por una esfera en caer desde una cierta distancia. Aunque usemos un cronómetro que funciona correctamente, el observador nunca podrá poner en marcha el cronómetro exactamente en el momento en que se inicia el movimiento de caída de la bola. Unas veces se retrasará ligeramente al hacerlo y otras veces se adelantará. Lo mismo ocurrirá al detener el cronómetro. Además, cualquier fenómeno externo (pequeñas corrientes de aire, fluctuaciones de temperatura...) puede afectar de forma impredecible el resultado de la medida. Como consecuencia, el valor medido se desviará del verdadero valor de forma aleatoria. Si repetimos varias veces la medida de esa magnitud, encontraremos que el resultado no es siempre el mismo.

Ejemplo 3.

Números incorrectos	Números correctos
7.3±0.006	7.300±0.006
22.33±0.2	22.3±0.2
0.0002833±0.0000215	0.00028±0.00002
485873±3229	486000±3000
(3.99±0.28)x10-6	(4.0±0.3)x10-6
(4.1234±0.129 )x103	(4.12±0.13 )x103
3.418±0.123	3.42±0.12
15.21±1.963	15.2±2.0

Figura 3

t

f

Ejemplo 6.

Al medir repetidamente el tiempo empleado por una esfera en caer desde un metro de altura, hemos obtenido los valores t1, t2, t3,...tN reflejados en la tabla siguiente :

t(s)	0.45	0.46	0.44	0.43	0.45	0.46
		0.46	0.45	0.44	0.45	0.47	0.44

Disponemos, por tanto, de una muestra con N=12 medidas cuyas frecuencias están distribuidas del siguiente modo :

t(s)	n = número de medidas con ese valor	f=n/N
0.43	1	1/12
0.44	3	3/12
0.45	4	4/12
0.46	3	3/12
0.47	1	1/12

El histograma de frecuencias correspondiente sería el mostrado en la figura 2.

Figura 3

Nota práctica

Para hallar el valor experimental de una magnitud física es frecuente realizar un conjunto de medidas experimentales repetitivas obteniendo para cada una de ellas un determinado valor. El procedimiento para encontrar el valor buscado junto con su error absoluto, a través de un procedimiento estadístico, se indica a continuación.

Sean los valores medidos:

Sea el valor medio:

Sean las diferencias entre cada medida y la media (residuos):

Sea la desviación típica N-1, del conjunto de medidas:

Puede tomarse como valor de la magnitud investigada la media de los N datos experimentales determinados y como su error absoluto el índice estadístico denominado desviación típica de la media de la población,σm.

Una estimación de σm puede obtenerse a partir de la ecuación:

Así tenemos que:

En resumen, cuando se realicen N medidas experimentales de una magnitud física, el valor resultante de la misma viene dado por

Nota práctica

Formas de reducir errores aritméticos en las operaciones de ejercicios y laboratorio.

Evitar cálculos innecesarios. Por ejemplo no cambiar de unidades todos los datos iniciales. Hacerlo para dar el resultado final en el S.I.

Operar con letras. Dejar los cálculos numéricos para el final .

Ser ordenado y sistemático en el desarrollo. Trabajar con tablas por columnas de datos.

Comprobar y repasar los cálculos. Evaluar lo razonable del resultado y órdenes de magnitud.

Verificar dimensiones y unidades.

Ejemplo 7.

Si queremos saber el valor de la densidad del agua a 27ºC con su error a partir de la tabla, sabiendo que la sensibilidad del termómetro es de ±0.1ºC.

T (ºC)	24	26	28	30
ρ(g/cm3)	0.997323	0.996810	0.996259	0.995971

ρ(27ºC)=0.99653±0.00003 (g/cm3)

Ejemplo5.

Si calculamos de nuevo el error correspondiente al volumen de un cuerpo cilíndrico de diámetro D con este método:

Ejemplo 4.

Suponer que deseamos calcular el volumen V de un cuerpo cilíndrico, a partir de las medidas de su diámetro d y de su altura h. La relación entre estas magnitudes directas e indirectas, es:

(12)

si de las medidas obtenidas en el laboratorio, resulta que el diámetro viene expresado por d±ε(d) cm, y la altura del cilindro es h ± ε(h) cm, el valor del volumen del cilindro se obtiene sustituyendo directamente los valores de las magnitudes directas d y h en la expresión (12). Para calcular el error correspondiente al volumen, εV, seguiremos el esquema adjunto.

Calculamos las derivadas de f=(/4)d2h con respecto a sus dos variables d y h :

(13)

y sustituimos en la expresión (11), resultando:

(14)

que corresponde al error absoluto del volumen. Por tanto, debemos expresar nuestro resultado final del volumen del cilindro de la siguiente forma:

V ± εV cm3 (15)

z

Nota práctica.

Si z=f(xl, x2, x3...) es una función que contiene únicamente operaciones aritméticas sencillas se deducen las reglas de uso práctico siguientes:

— En sumas o restas el error absoluto es la suma de los errores absolutos de las medidas directas.

Si z = x1 + x2 ó z = x1 - x2 , se tiene Δz = Δx1 + Δx2

— En productos o cocientes el error relativo es la suma de los errores relativos de las medidas directas.

Si z = x1 · x2 ó z = x1 / x2 , se tiene Δz/z = (Δx1/x1) + (Δx2/x2)

Estas reglas aproximadamente se traducen para operaciones aritméticas directas en

• sumas o restas: el dígito menos significativo del resultado corresponde al dígito menos significativo que sea común a los datos

• productos o cocientes: el número de cifras significativas del resultado es el del factor con menor número de cifras significativas.

Por ejemplo, al sumar dos resistencias, una de 1,00 kΩ y otra de 56 Ω, escribiremos 1,06 kΩ. Si en el cálculo de una resistencia (R=V/I), las medidas directas de la intensidad y el voltaje son I = 1,22 A, V = 9,0 V (errores del orden del 1%) la calculadora nos presentará en pantalla 7,3770492 y nosotros escribiremos R = 7,4 Ω.

Observa que al hacer los cálculos, se aumenta en una unidad la última cifra significativa si la siguiente es 5 o mayor de 5.

Nota práctica

El error debido a las limitaciones del instrumento de medida bien lo facilita el fabricante bien tendremos que estimarlo nosotros mismos a la vista del instrumento.

Por ejemplo, considerando que los instrumentos se fabrican de manera que el dispositivo indicador tenga una resolución acorde con su error, en los instrumentos dotados de una escala graduada el error absoluto es del orden de la división mas pequeña de la escala; en los aparatos con pantalla numérica será del orden correspondiente a la cifra menos significativa que aparezca.

La mayoría de los instrumentos suelen tener un error relativo comprendido entre el 1 y el 5%. Esto se traduce, aproximadamente, en que el número de cifras significativas es 3 si la primera cifra es un 1 o un 2, o, únicamente, 2 en los demás casos. Algunos instrumentos, llamados de precisión, proporcionan una ó dos cifras significativas más. En estos casos, suele tratarse de aparatos más caros y delicados, en los que es necesario seguir un cierto método de trabajo para obtener dicho rendimiento y adoptar una serie de precauciones para evitar su deterioro.

Al expresar el valor de una medida, no se suele indicar el error de forma explícita, entendiendo que todas sus cifras son significativas, esto es, que el error absoluto es del orden de una unidad correspondiente al dígito menos significativo aunque sea cero.

Por esta razón como medidas físicas no tienen el mismo significado 12 cm, 12,0 cm 12,00 cm,...

x

1

2

y=mx+b

z=f(x)

b

x

z

0,0

1

2

z

z

x

x

y

i

y=bx+a

a

x

y

0,0

x

i

yi -bxi-a

bxi+a

ε(x)