UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial I-B

Tema 1

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Sea S = {x ε R3 / x + 4y - z = 0} un subespacio vectorial de R3. Se pide:

a.- Obtener una base y la dimensión de dicho subespacio

b.- Calcular su complemento ortogonal, una base y su dimensión. Interpretar geométricamente el resultado.

2.- Sean las bases B = {(1;3) (-2;0)} y B' = {(4;2) (0;5)} de R2.

a.- Calcular la matriz de pasaje de B a B'.

b.- Utilizando dicha matriz calcular las coordenadas del vector u (-4,6) en la base B'.

3.- Sea T: R2 → R3 una transformación lineal tal que T (1,4) = (0,1,-1) y T (2,0) = (2,1,0)

a.- Obtener la expresión analítica de la transformación lineal.

b.- Investigar si el vector v (2,3,-2) pertenece a la imagen de la transformación lineal.

4.- Calcular el Núcleo y la Imagen de T: R3 → R3 / T (x, y, z) = (x + z; x + y; x + z) y obtener una base y la dimensión de cada uno de ellos.

5.- Investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas. Si son falsas, demostrar o dar un contraejemplo.

a.- T: R3 → R4 es un monomorfismo dim Im (T) = 3

b.- Sea T: V → W una transformación lineal en la que V = W. Los transformados de una base del dominio son siempre una base del codominio.