UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Examen Final - Noviembre 2005

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad:…………………………………………………………………………......................................

La condición para aprobar el Examen Final es:

a.- Tener bien resueltos como mínimo dos de los puntos teóricos propuestos y uno de los prácticos

b.- Tener bien resueltos como mínimo dos de los temas prácticos y uno de los teóricos

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

Teórico 1 Califique las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas. En ambos casos, justifique el valor de verdad demostrando o proponiendo un contraejemplo adecuado.

1a) Si , y son vectores de R3 entonces:

1b) Si a > 0 entonces la distancia entre el punto M(a,a,a) y la recta L: es .

1c) La suma de las soluciones de la ecuación: = 0 es cero.

Teórico 2 Sea el espacio vectorial (R3,+,R,.)

2a) ¿Cuándo un conjunto finito de vectores es linealmente independiente en R3? Desde el punto de vista geométrico, ¿qué condición deben cumplir tres vectores de R3 para definir un conjunto linelamente independiente?

2b) Si A ⊂ R3 es un sistema de generadores entonces ¿A es una base de R3?

2c) ¿Cuáles son las posibles dimensiones de los subespacios vectoriales R3? Dé interpretación geométrica para cada una de ellas y ejemplifique.

Práctico 1 Sean los vectores = (2;2;k) , = (0,-1, k) y = (2; k;2)

1a) Considerando k =1, encuentre base y dimensión de S = gen {,,}

1b) Considerando k = 0, S1 = gen {,} y S2 = gen {} encuentre S1 + S2 ¿es una suma directa?

Práctico 2 Sea T: R3→ R3 una TL tal que: siendo E = base canónica de R3

2a) Determine Núcleo e Imagen de T, determine una base y la dimensión de cada uno de ellos y analice si T es un isomorfismo

2b) Encuentre ( a ;b; c) tal que T( a ;b; c) = (6;4;10)

Práctico 3 Sea la ecuación: 4x2 - 8y2 + Az2 = 64. Analice que superficie representa en R3 cuando:

a) A = 0 b) A < 0

c) A > 0, en este caso ¿existe algún valor de A para que la superficie sea de revolución?

Ejemplifique cada caso con un gráfico.