UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Examen Final - Diciembre 2005

Tema 14 - Teóricos

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad:…………………………………………………………………………......................................

La condición para aprobar el Examen Final es tener bien resueltos como mínimo tres de los puntos teóricos propuestos.

NOTA: Presente en las hojas que entrega el desarrollo completo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No haga el examen con lápiz. Por razones tipográficas, los vectores se indican en el texto en negrita.

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1.- Investigar si W = {A ε R3x3 / A es una matriz simétrica} es un subespacio vectorial de las matrices de orden 3x3. Justificar el procedimiento adoptado.

2.- Indicar qué representan las siguientes ecuaciones en R2 y en R3:

a.- x2 - 4z2 = 1

b.- 5x - 8y + 12 = 0

c.- 3y2 - 16x = 0

3.- Deducir la interpretación geométrica del producto mixto entre tres vectores.

4.- Demostrar de manera general para matrices de orden 3x3 que la suma de una matriz cuadrada con su transpuesta da como resultado una matriz simétrica.

5.- Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas o justificarlas. Si son falsas, dar un contraejemplo.

a.- Sean los vectores no nulos a y b ε R3. Entonces a y a x b son linealmente independientes.

(Nota: el símbolo x representa el producto vectorial entre los vectores dados)

b.- Si una transformación lineal T: V → W es un epimorfismo (sobreyectiva) Im (T) = W

c.- El determinante de cualquier matriz ortogonal vale cero.