MATEMATIQUES

Circumferència :

Lloc geomètric: Conjunt de punts del plà que compleixen una propietat determinada.

Circumferència: Lloc geomètric del punts del plà la distància dels quals a un punt fix, anomenat centre, es constant. Aquesta constant s'anomena radi.

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 equació d'una circumferència de centre (a,b) i radi r

x2 + y2 + mx + ny + p = 0

m = - 2a (*)

n = - 2b

p = a2 + b2 - r2

Determinació d'una circumferèmcia:

Pels extrems d'un dels seus diàmetres

A + B d ( A, B )

C = r =

• 2

Pel centre i una recta a la qual és tangent

Ap1 + Bp2 + C C = ( p1, p2 )

r = d ( C, t ) = t = Ax + Bx + C = 0

"A2 + B2

Per tres punta no alineats

Equació general x2 + y2 + mx + ny + p = 0

Posicions Relatives:

D'un punt respecte una circumferència:

P " circumf. P interior P exterior

(es calcula C i r * i es fa la distancia dels 3 punts amb el C)

D'una recta respecte una circumferència:

Recta Exterior Recta Tangent Recta Secant

R..secant no té solució

Resolem el sistema Ax + By C = 0 R . tangent 1 solució doble

x2+y2+mx+ny+p=0 R . secant 2 solucions

Posicions Relatives:

De dos circumferències:

Exteriors Tangent Exterior Tangent Interior Secants

Exteriors no te solució

Resolem x2 + y2 + mx + ny + p = 0 Tangents 1 solució doble

x2 `+ y2 `+ mx`+ ny`+ p` =0 Secants 2 solucions

/ / + mx + ny + p = 0

mx + ny + p = 0 - - - - - -

x2 + y2 + mx + ny + p =0

Recta tangent a una circumferència:

Recta tg a x2 + y2 + mx + ny + p =0

per P= (P1 , P2 ) P" Circumferència

Resolucio : Trobar C = (c1 , c2 ) ; vector CP = (x ,y)

Eq. de la recta perpendicular a CP : Ax +By + C = 0

Passa per P= (P1 , P2 )

Recta tg a x2 + y2 + mx + ny + p =0

per P= (P1 , P2 )

Recta tg a x2 + y2 + mx + ny + p =0

per P= (P1 , P2 )

Resolució: feix de rectes que passen per P= (P1 , P2 )

y - p2 = m ( x - p1 )

mx - y + p2 - m = 0 eq 1 recta q passa per P

Volem trobar m / d ( Centre, recta ) = radi

(*) Centre = ( c1, c2) i radi r

mc1 + yc2 + p2 - m

d ( Centre, recta ) = = " r

"mx2 + y2

mc1 + yc2 + p2 - m = " r "mx2 + y2

s'eleva al 2 i es resolt l'eq de 2º grau “m”)

es sustitueix les solucions “m” a: y - p2 = m ( x - p1)