Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

Estudiar la continuidad de las funciones

Calcular c para que la función
sea continua en todo el eje real.

Determinar a y b para que la función
sea continua en todo R.

La suma de los funciones discontinuas en un punto, ¿ es siempre discontinua en ese punto ?. Compruébalo con las funciones:

La función
tiene una discontinuidad evitable en x=2. Hállese m , n , y todas sus discontinuidades.

Hallar que valores deben tomar los números a y b, para que la función
, tenga en los puntos de abcisas x=-1 y x=3, discontinuidades evitables.

La función
no está definida en x = a. ¿ Qué valor ha de tener f(a) para que sea continua ?

Demostrar que
es continua en x=0. ¿ Lo es en todo R ?

Dar un ejemplo de función que no sea continua en ningún punto pero que su valor absoluto si lo sea.

Extensión de f. Demostrar que si f:[a,b]--->R es continua en [a,b], entonces existe una función g:: R--->R que es continua en R y que verifica f(x)=g(x) en [a,b]. ¿ Se puede concluir lo mismo si se sustituye [a,b] por (a,b) ? ¿ Y si suponemos que f es acotada ?

Demostrar que la ecuación xn - a = 0 con a>0 y n"N, posee al menos una raíz real.

Explicar apoyándose en el teorema de Bolzano, porque una función polinomica de grado impar, tiene siempre al menos una raíz real.

Demostrar que la ecuación x3+x2-7x+1=0, tiene al menos una solución comprendida entre 0 y 1. Calcular dicha raíz con una cifra decimal exacta.

Demostrar que la ecuación x3-3x+1=0 posee al menos una raíz real y calcularla con dos cifras decimales exactas.

Empleando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación 2x4-14x2+14x1=0, tiene cuatro raíces reales.

Demostrar que la ecuación x + sen x = 1 posee al menos una raíz real.

Probar que la función f(x) = 2x2-cos x toma el valor 1.

Hállese la menor solución positiva de la ecuación tag x = x con dos cifras decimales exactas.

Probar que existe xR tal que cos x +
= 42"sen x.

Demostrar que existe x"R tal que
.

Probar que existe xR tal que 1 + senx + sen2x + sen3x = sen4x.

¿ Es aplicable el teorema de Bolzano a
en [0,1] ?

Probar que si f:R--->R, es una función continua que solo toma valores racionales, entonces es constante.

Demostrar que si una función es continua en el intervalo [a,b] y f(x)=0 para xQ, entonces f(x)=0 para x" [a,b].

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Probar que en estas condiciones, existe c[a,b] tal que f(c) = g(c). Interpretar geométricamente.

Demostrar que si f : [0,1] ----> [0,1] es continua y la función g(x), continua en [0,1], es tal que g(0) = 0 y g(1) = 1, entonces existe c[0,1] tal que f(c) = g(c). Interpretar gráficamente.

Sea f : [0,1]---->[0,1] continua, demostrar que existe c"[0,1] tal que f(c)=c. Idem f(c)=1-c.

Representar gráficamente la función f(x) definida en el intervalo [-2,2]

Hallar el campo de definición de las siguientes funciones reales de variable real definidas por las siguientes fórmulas :

Estudiar la continuidad de :

Estudiar la discontinuidad de la función :

Estudiar la continuidad de la función : f(x) = |x - 2 | en x = 2

Estudiar para qué valores de x es discontinua la función :

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones :

Hallar m para que la siguiente función sea continua en x = 0 .

Dadas las funciones f(x) = x + 1, g(x) = x"sen x, h(x) = | x |, estudia su derivabilidad en el origen.

Dada la función f: R---->R definida por f(x) = (x - 1) | x - 1 | , estudia si es continua y si tiene deriv­ada en x= 0 y en x = 1. Estudia también cuántas derivadas sucesivas admite en x = 0 y en x = 1.

Estudiar la derivabilidad de : f(x) = x " |x - 2 | g(x) = e| x | .

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las fun­ciones f y g de R en R definidas de la forma :

Calcula las derivadas de las funciones:

Hallar los máximos y mínimos locales de la función

Hallar los máximos y mínimos de la función :

Hallar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento de

a)Dominio y asíntotas de la función

Se considera la función f(x) = x " | x + 2 | en el intervalo [-3,1]. Se pide:

Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
en el punto (2,3).

Encontrar un punto del intervalo [0,1] donde la tangente a la curva y = 1 + x + x2 es paralela al eje de abcisas.

¿ Se puede aplicar el teorema de Rolle a f(x) = x2 " |x - 1 | en [-1,1] ? Determina, en caso afirmativo, los puntos vaticinados en dicho teorema. ¿ Existe en el intervalo (-1,1) algún punto con tangente horizontal ?

Considérese la ecuación ex = 1 + x, y la función f(x) = ex - 1 - x

Obtener un número "c" que cumpla las condiciones del teorema de Cauchy en el intervalo [2,3] para las funciones f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x2 - x + 1.

Dada la parábola de ecuación y = x2, halla las coordenadas de un punto de la curva cuya tangente en él sea paralela a la cuerda de extremos (1,1) y (2,4). ¿ Tiene esto algo que ver con algún teorema conocido ?

¿ Se puede aplicar el teorema del valor medio a la función
en el intervalo [1,2] ?

Probar que no existe ningún valor real de "m" para el que la función : f(x) = x3 + x + m pueda tener dos raíces reales distintas en el intervalo [0,1].

Sea f:(a,b)----->R derivable. Supongamos que f'(x)=0 tiene k soluciones, ¿ qué se puede decir sobre el numero de soluciones de la ecuación f(x)=0.

La función
cumple que f(-2) = f(1). Comprobar que para ningún numero c se cumple que f'(c)= 0. ¿Cómo se explica este hecho contrario al teorema de Rolle?

Dada la función f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), hállense tres intervalos I1, I2, I3 tales que cada uno de ellos contenga una raíz de la ecuación f'(x)=0.

Idem para la función f(x) = x4-6x3+11x2-6x.

Demostrar que 1/9<
< 1/8. Calcular
con dos decimales exactos.

Razonar si puede aplicarse el teorema del valor medio a la función

Probar que
cumple las hipótesis del teorema del v. m. en [0,2]. Calcula el valor de c.

Hallar el ángulo con que la curva y = Lx corta al eje OX.

Demostrar que la ecuación f'(x) = 0 posee dos raíces reales distintas, siendo f(x) = x"(x2 - 9), sin calcular la derivada.

Sea f(x) = 2 + x3(x - 2)2. Prueba que la ecuación f'(x) = 0 posee al menos una raíz en el intervalo (0,2) sin calcular la derivada.

¿ Dónde se encuentra el error en la siguiente aplicación de la Regla de L'Hopital ?

Aplicación del teorema de L'Hopital. (LIMITES.COL) Calculo de limites por L'Hopital

Estudiar el campo de existencia, asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, y concavidad de la función y =L( x2 - 3x + 2 ). Represéntala.

Hallar la derivada n-ésima de la función y = (1 + ex)2.

Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de f(x) = e2x. (COU I)

Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de la función f(x) = ex+1. (COU I)