La conjunción de una afirmación y de su negación es una antinomia si es que puede mostrarse la verdad de ambas. El término se usa en este sentido para designar una proposición que es al mismo tiempo, y considerada en sí misma (no en sus presuposiciones o en sus consecuencias como sucede con la paradoja) verdadera y falsa.

8.1.2. Tipos de antinomias

Se suelen distinguir en estas antinomias tres tipos distintos:

• antinomias gnoseológicas, en el sentido kantiano;
• antinomias lógicas que se manifiestan en matemáticas (en la teoría de conjuntos);
• antinomias semánticas (en general, puramente referidas a la dimensión sintaxis o gramática)

9Las antinomias lógicas y las semánticas son las más estudiadas en la perspectiva de la filosofía analítica, centrada en la crítica de la dimensión lenguaje.

8.1.2.1. Antinomias gnoseológicas

Podría hablarse aquí, con más propiedad terminológica, de antinomias de "teoría filosófica del conocimiento". El ejemplo más conocido de este planteamiento se encuentra en las críticas de la razón de Kant, donde las antinomias surgen por el uso dogmático de la razón, y sólo se resuelven cuando se aplica la crítica radical a las operaciones de la razón.

Para Kant, la antinomia de la razón pura consiste en el uso de ideas transcendentales con el fin de obtener conocimientos sobre el cosmos empírico. En cada una de las 4 antinomias de la razón pura, se da un conflicto o antitética (tesis conjuntamente con su antítesis) entre dos juicios dogmáticos, sin que exista más fundamento para uno que para el otro.

Las 4 antinomias son:

La tesis se prueba por la refutación de la antítesis y viceversa. Por ejemplo, (antinomia 1) si se admite la antítesis, entonces ni podría hablarse de un acontecer en el mundo, pues todo acontecer requiere un comienzo y un fin. Pero si se admite la tesis, entonces hay que admitir un estado anterior de "nada", donde tampoco puede advenir o comenzar nada.

8.1.2. 2Anitnomia lógica.

“Todo fluye, pero no por fuera de sus márgenes. El mundo no es “fluido”, hay cambios en él, la cristalización de elementos durables (congelados), aunque no “eternos”. Entonces la vida crea sus propios márgenes para sí misma para más tarde borrarlos. Los cambios cuantitativos de materia en un estadio dado presiona contra esas formas congeladas, las cuales eran suficientes para su estado previo. Conflicto. Catástrofe. O la vieja forma vence (sólo parcialmente vence), haciendo necesaria la auto-adaptación del proceso (parcialmente) conquistado, o el proceso de movimiento revienta la vieja forma y crea una nueva, por medio de nuevas cristalizaciones de sus matrices y la asimilación de elementos de la vieja forma. La antinomia lógica de contenido y forma de esta forma pierde su carácter absoluto. Contenido y forma cambian de lugar. El contenido crea nuevas formas de sí mismo. En otras palabras la correlación de contenido y forma conduce, en último análisis, a la conversión de cantidad en calidad”·.

8.1.2.1.1 Diferenciación Antinomias lógicas o Antinomias matemáticas (en la Teoría de Conjuntos)/ Antinomias semánticas

Se diferencia entre antinomias lógicas y antinomias semánticas:

Las antinomias de la teoría de conjuntos se dividen en "clásicas" y en "nuevas". Las antinomias clásicas son la de Burtali-Fortis, la de Cantor y la de Zermelo-Russell.

Antinomia de Burali-Forti (1897): del mayor número ordinal

(propiamente había sido ya encontrada por Cantor en 1895, pero no la publicó entonces)

Presuposiciones:

(1) todo conjunto ordenado posee un número ordinal x, y (por estar ordenado) si en dos números ordinales x, y resultara que x > y, entonces también y < x

(2) el número ordinal de un conjunto bien ordenado de números ordinales es mayor que todo elemento de dicho conjunto,

(3) que el conjunto W de todos los números ordinales, él mismo es también bien ordenado y debe poder asignársele un número ordinal w .

Ahora bien, dado que ese número ordinal w (determinado en W ) pertenece también a W , deberá por tanto, en virtud de (2), cumplirse que w > w .Es decir habrá un número ordinal que es y no es a la vez el mayor de todos los números ordinales.

Antinomia de Cantor (1899)

Si se asigna a cada conjunto un número cardinal, y si se considera el conjunto de todos los conjuntos, se observará que hay una potencia de tal conjunto cuyo número cardinal es mayor que el número cardinal asignado al conjunto y tiene más conjuntos que el conjunto de todos los conjuntos. Pero al mismo tiempo, todos los conjuntos se hallan en el conjutno de todos los conjuntos. Por tanto hará un número cardinal que es y no es a la vez el mayor de todos los números cardinales.

Antinomia de Cantor o paradoja de las 'clases'

Esta antinomia surge al observar la clase o conjunto Rde todas las clases o conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento de ellos mismos.

Hay clases que no se contienen a sí mismas: la clase de todos los perros no es un perro; la clase de todas las empresas no es una empresa. Sin embargo hay también clases que pertenecen a sí mismas: la clase o conjunto de todas las clases o conjuntos es, ella misma una clase (la clasificación total de todas las clasificaciones, es ella misma evidentemente un conjunto-clasificación).

Observemos el conjunto Rde todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos (como las clasificaciones de objetos): deberá haber alguna clase que pertenece a la clase de todas 'las clases que no pertenecen a sí mismas' si y sólo si no es cierto que dicha clase pertenece a sí misma.

El clásico ejemplo es el del barbero de todoslos que no se afeitan a sí mismos. Si no se afeita a sí, entonces no habrá afeitado a todos los que no se afeitan (pues él es uno de los que no se afeitan); pero si se afeita, entonces habrá afeitado a uno que se afeita - contra el postulado inicial.

Sobre las condiciones y estructuras lógico-matemáticas en que surjen las antinomias de la teoría de conjuntos, a pesar de que ya desde Russell (teoría de los -->"tipos") se buscan explicaciones muy variadas, todavía no parece pueda llegarse a una solución aceptable.

Las distintas propuestas de solución que eviten las contradicciones mostradas limitan la forma de proceder admitida y practicada en la matemática.

Existe consenso sobre el punto de que no toda condición (como la división en clases etc.) es "admisible" para definir un conjunto, esto es, no pueden, arbitrariamente, crearse estos marcos de condiciones determinando el proceso de "operaciones" que dan origen a la antinomia.

8.1.2.3. antinomia semántica.

Según F.P. Ramsey (1926), las antinomias semánticas se plantean sólo cuando explícitamente se hace una referencia a los medios lingüísticos con que se formulan estas antinomias. Las distintas variantes de la paradoja-antinomia del cretense Epimenides, que afirma que él siempre miente, son formulaciones de lo que los latinos denominaban insolubilia [formulado modernamente: "La frase que estás leyendo afirma ser falsa"]. Más reciente es la antinomia de Grelling.

La resolución de las paradojas semánticas exige una crítica, a nivel de análisis del lenguaje, de la relación de auto-referencia en la formulación antinómica. A. Tarski, con su teoría semántica de la verdad, mostró que la resolución de estas antinomias requiere diferenciar claramente entre lenguaje-objeto y meta-lenguaje. Así, por ejemplo, el predicado 'heterológico' no podría aplicarse como si fuera él mismo en distintos niveles de lenguaje, en cada nivel tendría otro sentido.

 8.1.3.1.Diferenciación: Antinomia/Paradoja

Aunque no hay unanimidad en la distinción entre antinomiay paradoja(la forma de distinguirlas depende de posiciones teóricas también "antinómicas"), podemos seguir la forma de diferenciarlas común a los constructivistas de Erlangen que, en vez de referirse a los "contenidos" conceptuales, orientan su observacíó-2 y modo de analizar el problema a las "operaciones" (construcciones) en el curso de las cuales se manifiestan los conflictos o antinomias.

Una´ paradoja, en cambio, se caracteriza por conducir, en una operación-construcción de correcta inferencia lógica, desde las premisas o presuposiciones iniciales, a consecuencias inesperadas, o contra-intuitivas.

También debe distinguirse "antinomia" de "contrariedad" (lógica). Dos proposiciones pueden ser contrarias entre sí sin que eso implique una antinomia. La antinomia surgiría sólo al relacionar dichas proposiciones estableciendo que es posible probar la validez de ambas. Es decir, no basta que los contenidosconceptuales sean incompatibles, sino es precisa además la relación a las operacionesde demostración realizadas de tal modo que se demuestre que ambas son simultáneamente verdaderas para el observador que las considera.

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