Espacios vectoriales

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial I-B

Tema 2

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Sea W1 = {x ε R3 / x + 4z = 0} y W2 = {x ε R3 / x = 0} subespacios vectoriales de R3. Se pide:

a.- Calcular W = W1 ∩ W2 , una base y su dimensión.

b.- Calcular W1 + W2, una base y su dimensión. ¿Es la suma directa? ¿Por qué?

2.- Investigar si S = {Aε R3 x 3 / Det (A) ≠ 0} es un subespacio vectorial de las matrices de orden 3x3. Justificar la respuesta.

3.- Sea T: R3 → R2 una transformación lineal tal que T (0,1,4) = (0,-1) , T (0,2,0) = (3,1) y T (3,0,0) = (0,0)

a.- Obtener la expresión analítica de la transformación lineal.

b.- Calcular el Núcleo de la transformación lineal.

4.- Sean los puntos O (0,0); A (4,0); B (0,2) y C (4,2) vértices de una figura plana.

Obtener la posición final de dichos puntos después de que sobre dicha figura se han aplicado las siguientes acciones, en el orden mencionado: primero, una simetría respecto de la recta y = x; luego, un cizallamiento de factor 2 en la dirección del eje x. Representar gráficamente.

5.- Investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas. Si son falsas, demostrar o dar un contraejemplo.

a.- T: R7 → R5 no puede ser un monomorfismo cualquiera sea la transformación lineal que se defina.

b.- Sea T: V → W una transformación lineal en la que V ≠ W. Los transformados de una base del dominio son siempre una base del codominio.