Centroide

Volumen. Área. Línea. Momento, momentos polar de inercia. Teorema de los ejes paralelos. Radio de giro. Integración

  • Enviado por: Fernando
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CENTROIDE

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv

" dv " dv " dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA

" dvA " dA " dA

LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL

" dL " dL " dL

NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no esta necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estaraa lo largo del eje.

DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS

El momento de inercia de una area se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distibuida que varia linealmentedesde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de una placa sumergida.

MOMENTO DE INERCIA

Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del area plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina por integración es decir,

Tambien podemos formular el segundo momento del area diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el area total, el momento polar de inercia es:

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Si se conoce el momento de inercia de una area alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el moimento d inercia del area en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la region sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un elemento doferencial dA del area se localiza a una distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y' + dy)2 entonces para la totalidad del area:

Ix ="A (y' + dy)2 dA

Iy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA

La primera integral representada el momento de inercia del area en torno al eje centroidal, Ix. La segunda integral es cero, ya que el eje x' pasa a traves del centroide del area C; es decir, " y' dA = y " dA = 0, puesto que y = 0. Si comprendemos que la tercera integral representa la totalidad del area A, el resultado final es, por lo tanto,

Una expresión semejante puede escribirse para Iy, es decir:

Y finalmente, para l momento polar de inercia en torno a un eje perpendicular al plano x - y y que pasa atraves del polo O (eje z) tenemos:

La forma de cada una de estas ecuaciones establece que el momento de inercia de una area alrededor de un eje es igual al momento de inercia del area en torno a un eje paralelo que pasa a traves del centroide mas el producto del area y el cuadrado de la distancia perperndicular entre los ejes.

RADIO DE GIRO DE UNA AREA

El radio de giro de una area plana se usa a menudo para el diseño de columnas en mecanica estructural. Siempre que se conozcan el area y los momentos de inercia, los radios de giro se determinaran a partir de las formulas.

Note que la forma de estas ecuaciones se recuerda fácilmente ya que es semejante a las que se utilizan para el momento de inercia de una area diferencial alrededor de un eje.

MOMENTOS DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION

Cuando las fronteras de una area plana pueden expresarse mediasnte funciones matemáticas, las ecuaciones (1 a) pueden integrarse para determinar los momentos de inercia para el area. Si el elmento de area escogido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una doble integración para evaluar el momento de inercia.

X C

x

y

x

y dv

z z Y

Z

CENTOIDE DE UN VOLUMEN

Z

x y

Centroide
dA

y

x

z z Y

X

CENTROIDE DE UNA AREA

lx ="A y2 dA

ly ="A x2 dA

Jo = "A r2 dA = lx + ly

Y

x dA

r y

Y y' x'

y' dx C

d

O x'

Ix = Ix + Ad2y

Iy = Iy + Ad2x

Jo = Jc + Ad2

Kx = "Ix/A ; Ky = "Iy/A ; Ko= "Jo/A

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