Euler y los poliedros

No hubo rama de las matemáticas que pudieran escapar al genio creador de Leonhard Euler, sus trabajos van desde la matemática mas pura hasta la mas aplicadas, tanto así que varias ramas de las matemáticas le deben su existencia a tan portentoso genio suizo.

Breve Biografía:

Leonhard Euler: Uno de los más prolíferos, por no decir el mas, matemáticos de la historia, nació en Basilea Suiza en 1707, hijo mayor de un pastor campesino llamado Pablo Euler, fue este último quien le ofreció sus primeras enseñanzas. En 1720 ingresa a la universidad de Basilea, y también asiste a los cursos de Nicolás II y Daniel Bernoulli.

En 1758 divulgó la demostración de la fórmula (parte importante de nuestro estudio): v − e + f = 2,parapoliedros simplemente conexos,donde v es el número de vértices, e el de aristas y f  la cantidad de caras.

 Murió en San Petersburgo en 1783.

Poliedros:

Un poliedro es un cuerpo geométrico estereométrico, es decir que tiene tres dimensiones, limitado por superficies planas conocidas como caras.Los lugares donde se unen dos caras se denomina aristas y los puntos donde se cortan varias aristas son llamados vértices. La palabra poliedro viene del griego (πολύεδρον), poli-muchas y edron-caras.

Como ejemplo tenemos un cubo.

Fig. 1.

Se puede observar que un cubo tiene:

8 vértices (v) ,12 aristas (e) y 6 caras (f)

Usando la fórmula de Euler, tenemos:

v − e + f = 2

8 – 12 + 6 = 2

2 = 2

Como:

v= vértice (V), e = arista (A) y f = Caras (C), cambiaremos las letras de la fórmula original por:

C - A + V = 2, que se nos hará mas fácil de recordar por estar en español.

Polígono:

Del griego (polí = muchos) y (goná = ángulo), es toda figura geométrica de superficie cerrada y plana, cuyo perímetro está formado por segmentos rectos no colineales, denominados lados.

Ejemplo de polígonos son:

El triángulo, el cuadrado, el pentágono, hexágono, etc.

Es importante saber que un poliedro, no es más que un polígono en tres dimensiones.

Fig. 2. El hexágono en tres dimensiones

En un polígono podemos distinguir los siguientes elementos:

Vértice(V): que es el donde se unen dos lados consecutivos.

Lado(L): son los segmentos de recta no colineales que forman el polígono.

Ángulo: que no es más que el vértice que se forma al cortar dos segmentos de recta en un punto.

Teorema:

El número de ángulos de un polígono es igual al número de lados del mismo.

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos, un cuadrado tiene cuatro lados y cuatro ángulos, y así para cada polígono.

Nota:

Existen otros elementos distintivos del polígono, como las diagonales, perímetro, etc. que no serán tomados en cuenta por nosotros, ya que no son esenciales para nuestro trabajo.

Proyección paralela o cilíndrica:

Se habla de proyección paralela, cuando las líneas proyectantes son paralelas, como se muestra en la figura de abajo.

Fig. 3. La proyección cilíndrica de un polígono en el plano, nos da la impresión de una figura geométrica tridimensional, poliedro.

Una vez conocidos estos conceptos podemos sacar las siguientes conclusiones:

Los poliedros que resultan de la proyección de polígonos en el plano, como el mostrado en la figura 3, tienen:

Dos veces el número de vértices del polígono que lo genera y tres veces el número de lados del polígono generador.

Es decir que para un poliedro que se pueda representar por medio de un polígono proyectado cilíndricamente en el plano la fórmula de Euler se puede escribir como:

C – V + L_p= 2

Donde:

C = número total de caras (del poliedro), V = número total de vértices o nodos (del poliedro), L_p=número de lados del polígono proyectante.

Esta fórmula podrá ser usada siempre que se tenga un poliedro que sea el resultado de un polígono proyectado cilíndricamente en el plano, o cualquier otra proyección que no altere la forma original del polígono que se proyecta, como el mostrado en la fig. 4.

Fig. 4.

Nota:

Dado que no podemos hablar de aristas en un polígono, y que las aristas en un poliedro son equivalentes a sus lados, hablaremos de lados (L) y no de aristas.

Justificación de la fórmula:

C – V + L_p= 2

Sabemos que en un polígono el número de lados es igual al número de vértices o nodos.

V_p = L_p

Nota:

Usamos el subíndice p, para distinguir los vértices y lados del polígono de los del poliedro.

En un polígono tridimensional o proyectado, V = 2V_p y L=3L_p, de lo que se deduce que:

V = L - L_p

En fórmula original tenemos:

C + V – L = 2

En la fórmula descendida tenemos:

C – V + L_p= 2

Por lo que:

C+ V – L = C– V + L_p

2V = L_p + L

Sustituyendo el valor de V, nos queda:

2L - 2L_p= L_p + L

2L – L = L_p + 2L_p

L = 3L_p, de donde concluimos que la fórmula resultante es verdadera.

Ejemplo:

En un poliedro como el que se muestren la figura, se desea determinar el número de caras si sabemos que el número total de vértices es 12.

Datos:

C =?, V = 12, L_p= 6

C – V + L_p= 2

C = V – L_p + 2

C = 12 – 6 + 2 = 8

Podemos cambiar más la fórmula para los polígonos tridimensionales, la resultante sería: 2C – V = 4.