TEORÍA DE LA DECISIÓN.

INTRODUCCIÓN.

El inconveniente de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de enigma que constan de proposiciones verdaderas (conocidas o desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos aseverar que todos los seres vivientes, aún los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. La composición biológica del organismo y las leyes físicas y químicas determinan qué partículas serán asimiladas y cuáles serán rechazadas.

Conforme aumenta la complicación del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teoría de la Decisión tratará, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional.

El proceso de decisión puede realizarse haciendo uso de los principios de la metodología científica.

La metodología científica es la aplicaron secuencial de los siguientes pasos:

prestar atención el sistema donde incide la decisión.

identificar y formular el o los problemas sobre los cuales se requiere decidir.

establecer una serie de hipótesis que pueden ser aceptadas o refutadas mediante el uso de modelos que se han diseñado explícitamente para tal fin.

experimentar, es decir, resolver los modelos.

verificar que los resultados sean universalmente aplicables al problema en cuestión, cuando este se encuentre bajo las mismas circunstancias, en periodos de tiempo distintos, en otras palabras: dado el problema A, su solución, B, debe ser la misma para dos periodos de tiempo i,j, i # j, siempre que las condiciones del problema y su entorno no cambien en dichos periodos.

Lo anterior significa que el decisor desconoce la verisimitud asociada a la ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza que rodean al proceso de decisión, no tienen idea sobre la distribución de probabilidad o función de densidad asociada a los diferentes entornos (ocurrencia de los estados de la naturaleza).

Las consecuencias de seleccionar las alternativas dado un cierto entorno de la naturaleza pueden medirse en torno monetario y no monetario.

TEORIA DE DECISION

En cualquier acto de decisión se distinguen los siguientes elementos:

uno o más decidores que tienen una serie de objetivos y metas supuestamente bien definidos.

un conjunto de posibles acciones o alternativas disponibles a los decidores.

un conjunto de posibles resultados por la instrumentación de acciones.

un entorno dado por los posibles estados que guarda la naturaleza en relación a los objetivos de los decidores, sobre los cuales estos no ejercen ningún control.

una función que asocian acciones y resultados con el entorno.

un proceso de decisión, que selecciona una o varias acciones, dado un cierto entorno y metas explicitas del grupo de decidores.

un criterio que marca el proceso de decisión

Ejemplo 1-1

Suponga un decisor llamado PEMEX, cuyo objetivo es hacer de México, un país autosuficiente en energético y con capacidad de generar importante divisas a través de la exportación de excedentes. Estos propósitos traducidos a metas para 1982 significan, por ejemplo, una explotación de dos millones y medio de barriles diarios de crudo, de los cuales un millón serán exportados.

Suponga que estudios geológicos del paleo canal de Chicontepec en estado de Veracruz, muestra que los posibles estados de la naturaleza ( entorno ) relativos a los objetivos de PEMEX son cuatro:

región posible con posible producción de un millón de barriles diarios de crudo ligero.

región con posible producción de 200 mil barriles diarios de crudo ligero.

región con gas únicamente

región seca.

Ante tales posibilidades, PEMEX puede instrumentar en la región una sola o una combinación de las tres siguientes alternativas o curso de acción:

• no hacer nada.

• Explorar y explotar

• Realizar estudios geológicos más completos.

El proceso de decisión consiste en seleccionar una o varias alternativas o curso de acción, el criterio de minimizar los riesgos de perdidas financieras.

En el ejemplo anterior observamos todos los elementos que intervienen en una decisión, los cuales mencionamos a continuación:

El decisor, encargado de realizar la designación de la mejor forma de actuar de acuerdo con sus intereses.

Las alternativas o acciones, que son las diferentes formas de actuar posibles, de entre las cuales se seleccionará una. Deben ser excluyentes entre sí.

Los posibles estados de la naturaleza, término mediante el cual se designan a todos aquellos eventos futuros que escapan al control del decisor y que influyen en el proceso.

Las consecuencias o resultados que se obtienen al seleccionar las diferentes alternativas bajo cada uno de los posibles estados de la naturaleza.

La regla de decisión o criterio, que es la especificación de un procedimiento para identificar la mejor alternativa en un problema de decisión.

Los procesos de decisión pueden hacerse bajo:

completa certeza:

riesgo

conflicto

completa incertidumbre.

Solamente en el caso de conflicto existen por lo menos dos grupos diferentes de decidores.

Los procesos de decisión bajo completa certeza, también llamados deterministicos, se caracterizan porque el grupo de decisor conoce perfectamente cual va a ser el estado de la naturaleza relativo a sus objetivos y, por lo tanto, selecciona aquella acción que de acuerdo al criterio imperante, lograra acercarlos mas rápido a la meta restablecida.

En el caso con riesgo, también conocido como estocástico, no se conoce perfectamente el estado que adoptara la naturaleza pero se asocia a este una distribución de probabilidad (continua o discreta). En función a esta ultima, el grupo decisor selecciona aquella acción que maximiza la esperanza de acercarlos a la meta propuesta.

En el caso conflictivo, los estados de la naturaleza obligan a que el logro de las metas de un grupo de decisores reduzca, simultáneamente, las probabilidades de que otro grupo alcancen las suyas.

En el caso de total incertidumbre, se desconoce la verosimilitud asociada la ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza, es decir no se tiene una idea de la distribución de probabilidad o función de densidad asociada a los diferentes entornos.

El ejemplo ilustrativo que aparece en la tabla anterior seria deterministico si se sabe con certeza, por ejemplo, que se trata de una región seca; seria estocástico si se dice que los entornos tienen la siguiente distribución de probabilidad de ocurrencia:

El problema es de incertidumbre completa.

Si no se tiene idea de lo que hay en el paleo canal de Chicotepec

En el caso deterministico, los criterios que imperan en el proceso de decisión son generalmente dos:

minimización de costos, pérdidas, esfuerzos.

maximización de ganancias, beneficios.

En el caso estocástico, se optimizan (maximizan o minimizan) los valores esperados correspondientes. En el caso conflictivo, se minimizan las máximas perdidas (que equivale a maximizar las mínimas ganancias del oponente), o bien, se utilizan con menos frecuencias otros criterios.

En el caso de total incertidumbre, los criterios que pueden enmarcar el proceso de decisión son:

maximizar la mínima perdida.

maximizar la máxima ganancia.

coeficientes optimista - pesimista.

minimizar el arrepentimiento máximo.

igualdad en la verosimilitud asociada a la ocurrencia de cualquiera de los estados de la naturaleza.

estrategias mixtas.

CARACTERÍSTICAS Y FASES DEL PROCESO DE DECISIÓN.

Un proceso de decisión presenta las siguientes características principales:

Existen al menos dos posibles formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes.

Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se lleva a cabo.

La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.

El proceso de decisión consta de las siguientes fases fundamentales:

Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran dentro del campo de la Estadística.

Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias.

Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para nuestra decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio.

Formalmente, un problema de decisión establece la existencia de un conjunto de posibles acciones A = {a1,a2, ……., an}. Al elegir el grupo decisor (uno o mas personas) una acción cualquiera aj €A, se conocen o estiman las posibles consecuencias, que son a su vez función de los estados de la naturaleza. El conjunto  representa los posibles estados de la naturaleza 1, 2, ……., n y estos, a su vez, son solo las representación de la situación real donde incide la acción aj €A. el decisor no ejerce ningún control sobre la ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza. Las consecuencias de instrumentar una acción cualquiera aj €A, dado un estado de la naturaleza k € , se mide a traves de una función f (aj, k ), que puede dimensionarse en términos monetarios o de utilidad.

Se puede o no conocer o estimar la distribución de probabilidad asociada a la ocurrencia de cualquier k € . Si se conoce, se tiene un caso llamado de riesgo; y si no, se actúa bajo total incertidumbre. Es mas, si el grupo de decisión sabe que la probabilidad de ocurrencia de k es igual a uno para una k dada, el problema de decisión es deterministicos. La experimentación de los datos históricos son herramientas útiles que permiten estimar la distribución de probabilidad asociada a la ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza.

Los criterios que enmarcan el proceso de decisión es decir, la selección de la acción aj € A adecuadamente para una k €  dada, varían si el problema es deterministico, bajo riesgo, incertidumbre o conflictivo.

La estadística clásica resuelve problemas de decisión en el caso con riesgo en el de total incertidumbre, pero solo si es posible experimentar. Si la experimentación no es factible, el análisis estadístico clásico(también conocido como enfoque objetivita) no es útil para resolver los problemas de decisión. En estos casos se requieren otras técnicas y enfoques, conocidos como teoría de decisión estadística. Aquí se presenta un método de la teoría de decisión estadística, basado en el teorema de Bayes, que recibe el nombre de Teoría Bayesiana de Decisión. Esta teoría resuelve problemas de decisión, en el caso con riesgo y bajo incertidumbre, con o sin la precensia de la experimentación.

TOMA DE DESICIONES BAJO RIESGO.

El riesgo implica cierto grado de incertidumbre y la habilidad para controlar plenamente los resultados o consecuencias de dichas acciones. El riesgo o la eliminación del mismo es un esfuerzo que los gerentes deben realizar. Sin embrago, en algunos casos la eliminación de cierto riesgo podría incrementar riesgos de otra índole. El manejo efectivo del riesgo requiere la evaluación y el análisis del impacto subsiguiente del proceso de decisión. Este proceso permite al tomador de decisiones evaluar las estrategias alternativas antes de tomar cualquier decisión. El proceso de decisión se describe a continuación:

El problema esta definido y todas las alternativas confiables han sido consideradas. Los resultados posibles para cada alternativa son evaluados.

Los resultados son discutidos de acuerdo a su reembolso monetario o de acuerdo a la ganancia neta en activos o con respecto al tiempo.

Varios valores inciertos son cuantificados en términos de probabilidad.

La calidad de la estrategia óptima depende de la calidad con que se juzgue. El tomador de decisiones deberá examinar e identificar la sensitividad de la estrategia optima con respecto a los factores cruciales.

Cuando el decisor posee algún conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignarle a la ocurrencia de cada estado alguna estimación subjetiva de probabilidad. En estos casos, el problema se clasifica como de toma de decisiones con riesgo.

El decisor puede asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. El proceso de toma de decisión con riesgo es el siguiente:

a) Use la información que tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas) sobre el estado de la naturaleza, p(s);

b) Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de la naturaleza, X(a,s);

c) Calculamos el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de acción como R(a) = Sumas de [X(a,s) p(s)];

d) Aceptamos el principio que dice que deberíamos actuar para minimizar (o maximizar) el beneficio esperado;

e) Ejecute la acción que minimice R(a).

A continuación se introduce la teoría bayesiana de decisión, cuando el grupo decisor tiene un solo objetivo y se describe en los casos con o sin experimentación, con función objetiva dados en unidades monetarias y de utilidad. Se concluye también una representación grafica del método de solución llamado árbol de decisión; se compara el análisis clásico de la estadística objetiva con el método bayesiano.

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TEORIA BAYESIANA DE DECISION.

DECISION SIN EXPERIMENTACION.

En las siguientes secciones, a menos que se diga lo contrario, se supone que el grupo decisor solo tiene un solo objetivo (el que sea) y que la función f (aj, k ) esta dada en decisiones monetarias.

El grupo de asesor tiene que escoger una alternativa aj € A dado un estado de la naturaleza k € . Como se desconoce cual será el estado k, la decisión opta por utilizar un criterio mínimax, es decir, para una k dada elegirá aquella

aj € A que genere el máximo f (aj, k ). Sea esta acción la a*jk (el subíndice j indica la fila y el k, la columna de la matriz f (aj, k )) entonces, el criterio mínimas consiste en seleccionar el mínimo de todas las a*jk identificadas anteriormente, es decir, el grupo decisor elegirá

Mín {a*jk}.

K[Author ID0: at Thu May 11 13:06:00 2006]

Este criterio es similar al que se utiliza en la teoría de juegos; en este caso un jugador es el grupo decisor y el otro la naturaleza. El grupo decisor desea minimizar los máximos riesgos que puedan afrontar o bien su equivalente: maximizar los mínimos beneficios que se puedan derivar

El tipo de criterio mínimax ha sido criticado por que supone que la naturaleza es “malévola” y trata de hacer el mayor daño posible al oponente (en este caso el grupo decisor), como la naturaleza no es así se debe buscar un criterio substituto al mínimax o maximin.

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El criterio de Bayes supone que los estados que presentan la naturaleza son variables aleatorias que pueden o no tener una distribución de probabilidad conocida o estimada. Si esta distribución se conoce o se le puede estimar por datos históricos, entonces se le llama distribución a priori. todas las distribuciones a priori son subjetivas, ya que se estiman en función a la experiencia o intuición de los individuos que forman el grupo decisor.

DECISION CON EXPERIMENTACION.

Sea X una variable aleatoria que denota la información disponible de una muestra aleatoria a traves de la experimentación. Por ejemplo, el máximo valor observado o un simple vector de observaciones. El decisor debe seleccionar una serie de reglas, conocidas como políticas o estrategias, que le orienten sobre el uso que deba darle a la información derivada de un experimento con el fin de apoyar su toma de dediciones.

Sea g(y) una función que se define como:

a=g(y) si X = y,

Es decir, se selecciona la acción a, si la variable aleatoria X toma el valor y. el decisor seleccionara dentro de todas las acciones aj € A generadas por esta función, aquella que satisfaga cierto criterio de optimalidad (el que sea). Como y es una variable aleatoria, la función g (y) también lo es; por lo tanto se requiere hablar de valores esperados.

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Complementariamente se requiere de otra función que ligue al posible estado de la naturaleza con la acción seleccionada aj € A, que a su vez se deriva del valor de la variable aleatoria X. esta función, conocida como función de riesgo, se define como:

R(g(y), k)=E{f(g(y), k)}-C

Donde el valor esperado se toma con respecto a la distribución de la variable aleatoria X y C es el costo del experimento la función de riesgo debe incluir obviamente el costo del experimento.

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El desisor seleccionara aquella acción aj € A que, por ejemplo, minimice el valor de la función riesgo.

Ejemplo 1.3[Author ID0: at Thu May 11 13:16:00 2006]

Suponga que PEMEX realiza estudios sísmicos de la región a un costo de 112 000 000 de pesos. Estos estudios (sondeos sísmicos) producen resultados que pueden clasificarse en cualquiera de los siguientes cuatro grupos, mutuamente excluyentes:

ondas sísmicas que denotan una estructura geológica cerrada, altamente favorable (categoría I)

ondas sísmicas que denotan una estructura geológica un poco más abierta, situación menos favorable (categoría II).

ondas sísmicas que denotan una estructura abierta (categoría III).

ondas sísmicas que denotan que no existe una estructura geológica en el sitio de interés (categoría IV).

Los siguientes puntos resumen el teorema de bayes:

si no existe experimentación (datos adicionales), se selecciona aquella acción que minimiza (maximiza) la perdida (ganancia) esperada, calculándose esta con distribución a priori de los estados de la naturaleza.

si existe información adicional (posiblemente a traves de la experimentación), esta se usa para actualizar la distribución a priori de los estados de la naturaleza. La nueva distribución, llamada a posteriori es la distribución condicional del estado de la naturaleza , dado que el experimento X arroja un cierto valor Y. con la distribución a posteriori, se calcula una nueva función de riesgo de criterio de bayes selecciona aquella acción que minimiza (maximiza) la perdida (ganancia) esperada de la nueva función.

Una Discusión Acerca de la Posibilidad de Pérdida esperada (Arrepentimiento Esperado): Comparando el resultado de una decisión con respecto a sus alternativas aparenta ser un componente importante en el proceso de toma de decisiones. Un factor importante es el sentimiento de arrepentimiento. Este ocurre cuando los resultados de las decisiones son comparados a los resultados que se hubieran obtenidos si se hubiera tomado una decisión diferente. Esto significa un contrastante desacuerdo, el cual resulta de la comparación de resultados como consecuencia de la misma decisión.

[Author ID0: at Thu May 11 13:16:00 2006]

Los resultados de arrepentimiento es la comparación de lo que se ha obtenido de una decisión con respecto a lo que hubiese ocurrido. Por lo tanto, esto depende de la disponibilidad de respuestas que reciben los tomadores de decisiones con respecto al resultado de la opción alternativa hubiera generado. Alterando el potencial de arrepentimiento mediante la manipulación de la resolución de la incertidumbre revela que el comportamiento de la toma de decisión que aparenta aversión al riesgo puede de hecho ser atribuida a la aversión al arrepentimiento.

[Author ID0: at Thu May 11 13:17:00 2006]

No existe indicativo de que el arrepentimiento pueda estar relacionado a la distinción entre actos y omisión. Algunos estudios han encontrado que el arrepentimiento es más intenso siguiendo una acción, que a una omisión. Por ejemplo, en un estudio, los participantes concluyeron que un tomador de decisiones que intercambia acciones de una compañía a otra y pierde dinero, se sentirá mas arrepentido que otro que no intercambia acciones pero que igualmente pierde dinero. Las personas normalmente asignan un mayor valor a un resultado inferior proveniente de una acción más que al de una omisión. Presumiblemente, esta una manera de contrarrestar el arrepentimiento que podría resultar de una acción.

ÁRBOLES DE DECISIÓN.

Un método diagramático para representar y analizar los problemas de decisión.

[Author ID0: at Thu May 11 13:17:00 2006]

Un árbol de decisión es un diagrama del problema que tiene el decisor. Los rasgos principales del árbol son puntos de ramificación y cada punto designa una selección de acciones, una de las cuales debe ser tomada por el decisor, o un grupo de resultados con incertidumbre, uno de los cuales ocurrirá El primer tipo de puntos de ramificación se conoce como nudo de decisión y él ultimo tipo es llamado nudo de incertidumbre.

[Author ID0: at Thu May 11 13:18:00 2006]

El proceso bayesiano de decisión, con o sin experimentación puede representarse y resolverse gráficamente a traves de los llamados árboles de decisión.[Author ID0: at Thu May 11 13:18:00 2006]

[Author ID0: at Thu May 11 13:18:00 2006]

Por medio de este método grafico se expresa en orden cronológico las acciones disponibles al divisor y los eventos variables a asociados a los estados de la naturaleza. Las primeras se representan en el árbol por un cuadrado; los segundos, por un circulo.

[Author ID0: at Thu May 11 13:17:00 2006]

Los árboles de decisión contemplan dos etapas:

• diseño

• solución.

El diseño se hace cronológicamente de izquierda derecha la solución, en sentido contrario.

Para resolver el árbol de decisión se utiliza en cada una de las ramas asociadas al estado de la naturaleza (1, 2, 3, 4) el valor de la función de consecuencias la función f (aj, k ) correspondiente para la parte sin experimentación, se utiliza las distribuciones a priori, p (k) que genera los valores esperados de los nodos 1.1.1, 1.1.2 y 1.1.3 respectivamente. El máximo de estos tres valores es el que se asocia al nodo 1.1. en cambio , para las ramas de al extrema derecha que se derivan del nodo de experimentación 1.2, se utilizan las distribuciones a posteriori h/x = y, ( k ), para calcular los valores esperados de los nodos 1.2.1.1, 1.2.1.2, 1.2.1.3, 1.2.2.1, 1.2.2.2, 1.2.2.3, 1.2.3.1, 1.2.3.2, 1.2.3.3, 1.2.4.1, 1.2.4.2 y 1.2.4.3. En forma similar se calculan los valores esperados de los nodos 1.2.2, 1.2.3 y 1.2.4. estos valores afectados por la distribución marginal.

Valor esperado del nodo 1 resultado del proceso de decisión, es el máximo de los valores del nodo 1.1 y del nodo 1.2, a este ultimo deduciéndole el costo de la experimentación.

Se utiliza el operador máximo para ganancias y mínimo para perdidas.

En el siguiente árbol observamos un ejemplo de lo anteriormente expuesto.

ESTADISTICA CLASICA Y LOS PROCESOS BAYESIANOS

Aquí presentamos un análisis comparativo entre la estadística clásica y la teoría de decisión bayesiana.

Los precisos bayesianos no requieren de un experimento para poder decidir, como es el caso de la estadística clásica claro esta que si existe experimento en el proceso bayesiano se enriquece el e proceso con la ayuda de las distribuciones a posteriori y marginales.

Los procesos bayesianos pueden utilizarse en problemas de una o n etapas, en cambio el análisis clásico resuelve problemas de una etapa.

La estadística clásica puede seleccionar una de dos acciones, aceptando o rechazando una. Los procesos bayesianos pueden seleccionar un conjunto finito de m alternativas (m>1).

En la estadística clásica el decisor únicamente tiene opción a ejercer el control de una sola variable, determinar el tamaño de la muestra. En los procesos bayesianos el decisor ejerce más controles a más variables.

La estadística clásica infiere un recomendación en base a la prueba de hipótesis; los bayesianos en base a la distribución a priori, a posteriori y marginales. Esto hace que la estadística clásica sea un proceso mas objetivo que el precedo bayesiano.

Por ultimo el proceso bayesiano de decisión requiere de mas computaciones numéricas que la estadística clásica.

ANALISIS DE DECiSIONES CON OBJETIVOS MULTIPLES

En un problema de decisión existe más de un objetivo entre el grupo de decidores.

Así en la construcción de los ejes viales de la c.d de México se buscaba.

• Dar fluidez al tráfico de la ciudad.

• Optimizar el transporte de personas y no de vehículos

• Maximizar la seguridad de peatones.

• Proporcionar empleo

• Estimular la economía

En el ejemplo anterior los objetivos descritos son vagos y no están definidos en forma operacional. Estos objetivos requieren de ciertas características que los definan y los hagan operacionales. Estas características se llaman atributos de ven tener las siguientes propiedades.

deben ser un conjunto completo para cubrir todos los aspectos importantes del objetivo y del problema.

deben ser operacionales, para que el análisis tenga sentido se pueden medir el logro o no del mismo.

deben poderse descomponer, para simplificar los aspectos del proceso de evaluación.

deben ser no redundantes para evitar la doble o triple contabilidad.

deben pertenecer a un conjunto con un número mínimo de elementos , para garantizar la irrelevancia del objetivo.

CRITERIO DEL VALOR ESPERADO.

Este criterio se puede expresar en terminas de dinero real o su utilidad, para ilustrar la diferencia entre el dinero real y su utilidad, suponga que una inversión de $20,000, tendrá igual probabilidad de un beneficio bruto de 0 o de $100,000. Con base en el valor esperado del dinero, la ganancia neta esperada del individuo es de 100,000*0.5+0*0.5-20,000= $30,000. Usando este resultado solamente uno encontraría que la decisión “optima“ es invertir los $20,000. Sin embargo, esa decisión puede no ser aceptable a todos los inversionistas potenciales. Debido a la escasez de efectivo liquido disponible la perdida de #20,000 un inversionista podría llevarlo a la banca rota, pero por otra parte, tiene un exceso de capital ocioso que excede cualquier necesidad de efectivo liquido, consecuentemente, esta dispuesto a llevar a cabo la operación.

Considere que un inversionista en ningún caso estaría dispuesto a arriesgar más de $5,000 como pérdida. Suponga que tiene dos opciones: invertir $20,000 y Obtener un beneficio bruto de $100,000 probabilidad de 0.5 y de $0 con probabilidad 0.5, o bien, invertir $5000 y obtener un beneficio a esta información muestra que el inversionista no tiene mas que elegir la segunda alternativa, aun cuando su beneficio neto esperado de $6 500 es mucho bruto de $23 000 con probabilidad de 0.5 y $0 con probabilidad de 0.5. ahormenor que los $30 000 esperado de la primera alternativa. La utilidad no necesita ser directamente proporcional a los valores monetarios. Nunca es aconsejado utilizar el valor monetario esperado como el único criterio para llegar a una decisión, cuando el inversionista estipula un límite máximo sobre el riesgo de pérdida monetaria.