Índice

Ejercicio 10, página 184 3

Ejercicio 20, página 185 5

Ejercicio 30, página 186 7

Ejercicio 40, página 187 10

Ejercicio 50, página 187 11

Ejercicio 60, página 188 13

Ejercicio 70, página 188 17

Ejercicio 80, página 189 19

Ejercicio 90, página 190 20

Ejercicio 100, página 191 22

Ejercicio 10, página 184

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta. Para las afirmaciones que consideres que son falsas pon un ejemplo ilustrativo.

a) Si tres vectores: , cumplen , entonces

Esta afirmación es falsa:

Podemos ver, que aplicando la propiedad del producto escalar:

Valor numérico

Aunque los valores de , el resultado sigue siendo el mismo: 1. Por lo tanto, podemos decir que la premisa es verdadera, pero no la solución.

b) No existen dos vectores cumpliendo y

Esta afirmación es falsa.

Primeramente porque es un producto escalar, por lo tanto, no tiene módulo, así que la afirmación es falsa.

Lo que podemos considerar posible es:

=

3 = 1· 2 · cos cos= y como este resultado es >1, y sabemos que los valores de coseno no pueden serlo, no existe.

c) Si tres vectores , son linealmente independientes, entonces también lo son los vectores , y

Para que se cumpla esta propiedad, los determinantes formados por estos vectores deben ser distintos de cero, es decir, el rango de la matriz determinada por los mismos debe ser de rango 3.

Entonces, si aplicamos la afirmación del enunciado:

Por lo que podemos concluir, que si aplicamos las propiedades de los determinantes, substituyendo una fila o columna por la suma de ésta como combinación lineal de las otras, si determinante debe dar distinto de cero, significando que los tres vectores son independientes y por lo tanto puedes formar una base.

(Cantabria. Septiembre 2007. Bloque 3. Opción A)

Ejercicio 20, página 185

Se sabe que los puntos P1 (2,-3,3) y P2 (0, 1,-1) son vértices de un cuadrado C. Halla los otros dos vértices de C, sabiendo que están en la recta:

Primeramente, planteamos un esquema del enunciado, sabiendo que el punto donde se cruzan las dos diagonales del cuadrado C es el punto medio, que vamos a abreviar como PM

Sabemos que el punto P4 y el punto P2 están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PM también está contenido en ésta.

Sabemos que el punto P4 y el punto P2 están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PM también está contenido en ésta.

Calculamos el punto medio siguiendo la fórmula:

Sustituimos los valores de los puntos P3 y P1:

El Punto Medio es: (1, -1, 1)

De todos modos, para comprobar que el planteamiento, sustituimos este punto en la ecuación de la recta r para verificar, tanto que el resultado sea correcto, como que realmente este punto esté contenido en la recta:

1 = 1 = 1. Se verifica.

Al ser un cuadrado, sabemos que la distancia del punto P1 al PM es la misma que la del punto P2 al PM, es decir:

De este modo, vamos a determinar los valores de que posteriormente nos van a servir para determinar los otros dos vértices:

Aclaración: Para hallar los valores de P2, hemos planteado la recta r de forma paramétrica:

Seguidamente, calculamos los módulos de los dos vectores encontrados anteriormente, aplicando la fórmula del módulo:

=

= =

==

= = 0

Ahora, sustituimos los valores 0 y 2 en la ecuación paramétrica de la recta r para hallas P2 y P4:

Para

Para

(Navarra. Septiembre 2008. Grupo 1. Opción A)

Ejercicio 30, página 186

a) Los puntos A (1,1,0), B(0,1,1) y C(-1,0,1) son vértices consecutivos de un paralelogramos ABCD. Calcula las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo.

Primeramente, planteamos el enunciado con un esquema, considerando un paralelogramo cualquiera:

Seguidamente, para calcular las coordenadas, planteamos:

=

A - B = D - C

D = A - B + C

Por lo tanto:

(x,y,z) = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) + (-1, 0, 1)

(x,y,z) = (1, 0,-1) + (-1, 0, 1)

(x, y, z) = (0, 0, 0), es decir, las coordenadas del vértice D son (0, 0, 0)

Para hallar el área, enunciamos, primeramente, la fórmula que nos va a permitir calcularla:

Área =

Para calcular planteamos el siguiente determinante:

Así que, siendo y y :

Ahora, para hallar el área, calculamos el módulo de ese vector:

Por lo tanto, el área es

b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto B (0,1,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (1,1,0) y C (-1,0,1)

Primeramente, definimos la recta que contiene los puntos A y C:

(x,y,z) = (1,1,0) + k(-2,-1,1)

Aclaración: El vector (-2,-1,1) es el vector que forman los dos puntos A y C, es decir:

Seguimos operando con la recta definida de forma vectorial para hallar el vector perpendicular a ésta:

x = 1 - 2k

y = 1 - k Por lo tanto, el vector perpendicular a esta recta es: (-2, -1, 1)

z = k

Una vez hallado este vector, lo sustituimos a la ecuación general del plano, es decir del tipo:, sustituiremos los valores de A,B,C por el vector (-2, -1, 1), y los valores de x, y, z por el punto B (0,1,1), de este modo, vamos a encontrar el coeficiente D

Sustituimos los coeficientes por (-2, -1, 1) -2x - y + z + D = 0

Sustituimos x, y, z por (0,1,1) -2·0 + -1·1 + 1·1 + D = 0

Operamos -1 + 1 + D = 0 D = 0

La ecuación del plano que pasa por el punto B y es perpendicular a la recta que pasa por A y C es: -2x - y + z = 0

(Galicia. Septiembre 2007. Bloque 2. Opción 1)

Ejercicio 40, página 187

Dados el plano , donde , y la recta , se pide:

a) Demuestra que para cualquier valor , la recta r es paralela al plano

Primeramente, representamos el plano y la recta en un esquema, con sus vectores directores:

Una vez considerado el esquema y que ambos vectores directores son perpendiculares, calculamos el producto escalar de ambos vectores directores (al ser perpendiculares, el resultado debe ser cero):

Por lo tanto, este resultado indica que el hecho de que el plano y la recta sean paralelos no depende de K.

b) Determina el valor de de forma que la recta r esté contenida en el plano :

Primeramente, obtenemos el punto Pr de la recta, que será Pr (3, -1, 0), y luego substituimos estos valores en la ecuación del plano:

Por lo tanto, cuando k=-4, la recta está contenida en el plano.

(Castilla-La Mancha. Septiembre 2008. Bloque 4. Pregunta B)

Ejercicio 50, página 187

Sean P y Q los puntos de coordenadas P(a, b, 0) y Q (1, 2,3). ¿Existen valores de a y b para los cuales la recta que une P y Q contenga al punto R dado por R (0,0,1)? Razona la respuesta en caso negativo. Si la respuesta es positiva calcular los valores de a y b.

Primeramente, dibujamos un esquema que contenga la recta y los tres puntos:

Establecemos la razón de proporcionalidad entre los vectores:

Calculamos los vectores:

Seguidamente, planteamos la razón de proporcionalidad, ya que los puntos deben estar alineados:

Sustituimos los valores:

Para comprobar que los valores hallados de a y b son correctos, sustituimos los puntos en la razón de proporción citada anteriormente:

Los valores son correctos.

Por lo tanto, los valores buscados de a y b son:

a =

b = -1

(País Vasco. Junio 2007. Bloque B. Cuestión B)Ejercicio 60, página 188

Los lados de un triángulo rectángulo están sobre las rectas:

a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta.

Primeramente, hacemos un esquema, dibujando un triángulo cualquiera:

Seguidamente y para iniciar el cálculo de lo vértices, pasamos todas las ecuaciones como intersección de dos planos:

Siguiendo el esquema, determinamos el vértice A como intersección entre r1 y r2, el vértice B como intersección de r1 y r3, y finalmente, el vértice C como intersección de r2 y r3, por lo tanto, para hallar el punto de intersección, que será el vértice, resolvemos el sistema determinado por las dos rectas.

A r1 y r2

El vértice A es el punto A = (1, 1,-1)

B r1 y r3

El vértice B es el punto B = (3,-1,3)

C r2 y r3

El vértice C es el punto C = (-1,-1,-1)

Para determinar si es un triángulo rectángulo, calcularemos los módulos de los vectores que determinan los lados para finalmente aplicar Pitágoras.

Aplicando Pitágoras:

a c

b

Si el triángulo estudiado cumple esta igualdad, entonces será un triangulo rectángulo:

Como la igualdad se cumple, efectivamente, el triangulo estudiado es rectángulo.

b) Calcula la ecuación del plano que contiene al triángulo. Calcula la intersección del plano con los ejes X, Y, Z.

Primeramente, hacemos un esquema:

Sabemos que para definir un plano, necesitamos un punto y dos vectores; Vamos a elegir el punto del vértice A = (1, 1,-1) y los vectores y :

(x ,y ,z) =

La ecuación del plano que contiene el triángulo es: .

Ahora, calculamos la intersección de este plano con los ejes X, Y, Z:

Eje x La intersección con el eje X es el punto (1, 0, 0)

Eje y La intersección con el eje Y es el punto (0,-1,0)

Eje z La intersección con el eje Z es el punto (0, 0,-1)

(Galicia. Septiembre 2006. Bloque 2. Opción 2)

Ejercicio 70, página 188

a) Determina la posición relativa del plano x - y + 2 = 2 y la recta de ecuaciones:

Para determinar la posición relativa de un plano y una recta, debemos calcular el rango de la matriz formada por ambos; Recordamos las propiedades de la posición relativa:

Secantes: La recta y el plano se cortan en un punto. El sistema es compatible determinado. Rango (M) = 3 y Rango (M*)=3

Paralelos: La recta y el plano no se cortan. El sistema es incompatible.

Rango (M)=2 y Rango (M*)=3

Recta contenida en el plano: La recta está contenida en el plano. El sistema es compatible determinado. Rango (M)=2 y Rango (M*)=2

Después de haber recordado las propiedades, planteamos el sistema entre la recta (que la expresamos como intersección de dos planos) y el plano dados:

Rango 2

Rango 3

b) Calcula la distancia entre la recta y el plano anteriores.

Para determinar la distancia entre un plano y una recta, calculamos la distancia entre un punto contenido en la recta y el mismo plano siguiendo la fórmula:

Un punto contenido en la recta es: Pr = (0,-1,-2), ahora, sustituimos los valores en la fórmula:

(Extremadura. Septiembre 2007. Opción B. Ejercicio 4)

Ejercicio 80, página 189

Dados los puntos de coordenadas A (3, 1, 1), B (0, 2, 2) y C (-1,-1,-1)

a) Determina la ecuación general del plano que los contiene.

Para determinar un plano, necesitamos dos vectores y un punto, calcularemos los vectores y , y vamos a elegir el punto A:

Empezamos planteando la ecuación vectorial para llegar a la general:

b) Calcula la distancia entre el punto P (0 ,0 ,4) a dicho plano.

Para calcular la distancia entre el punto y el plano aplicamos la fórmula:

Sustituimos los valores:

La distancia entre el punto P (0, 0, 4) y el plano es de

(Castilla-La Mancha. Septiembre 2007. Bloque 4. Pregunta B)Ejercicio 90, página 190

Dados el punto P (2, 2, 1) y el plano de ecuaciones , se pide:

a) Distancia del punto P al plano .

Primeramente, hacemos un esquema:

Para hallar la distancia entre el punto P y el plano aplicamos la fórmula:

b) Ecuaciones generales de la recta que pasa por el punto P y el perpendicular a

Primeramente, hacemos un esquema:

Para determinar el Vn del plano, cogemos los coeficientes de las incógnitas en la ecuación general (-1,-1,2), debemos tener en cuanta que es perpendicular al plano, por lo tanto, la recta que contenga el punto y pase por el Vn perpendicular al plano, también será perpendicular, y eso es lo que buscamos.

Para definir una recta, necesitamos un vector y un punto, elegimos el punto P y el Vn del plano:

Las ecuaciones generales de la recta que pasa por P y es perpendicular al plano son:

(Castilla-La Mancha. Septiembre 2008. Bloque 4. Pregunta B)

Ejercicio 100, página 191

Considera los puntos A (1, 0, -2) y B (-2, 3, 1)

a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.

Primeramente hacemos un esquema:

Como los tres segmentos son iguales:

Calculamos y

Aplicamos substituimos los valores en :

El punto C = (0, 1, -1)

Ahora, calculamos el punto medio entre C y B para hallar D:

El punto D = (-1, 2, 0)

Por lo tanto, los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales son C = (0, 1, -1) y D = (-1, 2, 0)

b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C donde C es un punto de la recta de ecuación r: -x = y-1 = z. ¿Depende el resultado de la elección concreta de C?

Primeramente, hacemos un esquema de un triángulo cualquiera:

Seguidamente, para hallar el punto C, resolvemos el sistema que se nos planeta cuando escribimos la ecuación de la recta como intersección de dos planos:

Como este sistema solo tiene dos ecuaciones y tres incógnitas, debemos poner una de ellas en función del parámetro :

Los términos independientes, en este caso (0, 1, 0) es el punto genérico de la recta, es decir C.

Ahora, determinamos y.

Finalmente, para calcular el área aplicamos la fórmula:

Sustituimos los valores:

(Andalucía. Septiembre 2006. Opción B. Ejercicio 4)

12

PM

P4

P3= (0, 1,-1)

P1 = (2,-3,3)

P2 = (x,y,z)

D = (x,y,z)

C = (-1,0,1)

B = (0,1,1)

A = (1,1,0)

Por lo tanto los dos vértices del cuadrado que buscábamos, P2 y P4 son:

P2 = (3, -2, -1)

P4 = (-1, 0 ,3)

Es importante tener en cuenta que el Vd del plano y el Vd de la recta son perpendiculares cuando el plano y la recta son paralelos

P = (a,b,0)

Q = (1,2,3)

R = (0,0,1)

A

B

C

Consultando las propiedades citadas anteriormente, determinamos que plano y recta son paralelos.

La distancia entre el plano y la recta es:

La ecuación general del plano que contiene a los tres puntos es:

• P (2,2,1)

Vd de la recta

La distancia entre el plano y el punto es: 2u

• P (2,2,1)

Vd de la recta

Vn (normal) del plano

A C (x,y,z) D B

A = (1, 0, -2)

B = (-2, 3, 1)

C = ?

Es un punto de r: -x = y-1 = z

Por lo tanto el Área buscada es: