Demostración del teorema del seno:

Por definición de las razones trigonométricas, h= a senB, luego b senA = a senB de donde se obtiene:

a = b

sen A sen B

C se obtiene de la misma manera que las otras, pero considerando otra de las alturas.

De tal modo que siempre se cumple:

a = b = c

sen A sen B sen C

Estas tres igualdades relacionan 6 datos y nos ayudan a resolver el triángulo. Se demuestra que son igualdades de la siguiente manera:

A vale 60.07° a vale 8cm

B vale 68.79° b vale 8.60cm

C vale 51.13° c vale 7.18cm

De tal modo que si divido:

a = 8 = 8 = 10.307

sen A sen 50.90° 0.7761

b = 10 = 10 = 10.307

sen B sen 75.96° 0.970

c = 8.24 = 8.24 = 10.307

sen C sen 53.13° 0.8

Como podemos observar, nos da el mismo resultado en los tres casos, y es así como demostramos que se cumple esta igualdad.

Ejemplo: problema resuelto

Tenemos un triángulo en el cual conocemos: A: 30°; B: 100°; c: 5cm. Y debemos calcular las medidas restantes.

Como A + B + C = 180°, C = 180 - 30 -100 = 50°

Para el cálculo de las longitudes utilizamos el teorema del seno:

a = c

sen A sen C

a = c senA = 5 sen30° = 2.5 = 3.26

sen C sen 50° 0.76

y b se calcula igual:

b = c

sen B sen C

b = c senB = 5 sen100° = 4.92 = 6.42

sen C sen 50° 0.76

De tal modo que ya tenemos todos los datos.

Problemas propuestos:

a = 4.5 cm

B = 30°

C = 78°

Solución:

A = 72°

b = 27.75 cm

c = 4.63 cm

Solución:

A = 112.97°

B = 40°

C = 27.03°

a = 3m

b = 2m

c = 1.5m