Área de una región poligonal en el plano cartesiano

Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido

antihorario, tiene como coordenadas :
,
,
,........,

Entonces el área de la región poligonal
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado
correspondiente

a la coordenada de
.

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I D

De donde :

Luego el valor de la determinante estará dada por :

....(2)

Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)

Notas :

a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)

Ejercicio de aplicación :

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son:
,
,

y

Solución:

Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas.
,
,

Haciendo un gráfico:

Elijamos como primer vértice al par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:

,
,
,
,
,
.

Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo

Elijamos como primer par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.

Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima.