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Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas : , , ,........,
Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :
.....(1)
Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado correspondiente
a la coordenada de .
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
I D
De donde :
Luego el valor de la determinante estará dada por :
....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :
....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: , ,
y
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :
Elijamos como primer vértice al par ordenado luego:
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
Reemplazando estos valores en (1) :
Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Por lo tanto :
Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. , ,
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado luego:
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
Reemplazando estos valores en (1):
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Por lo tanto :
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:
, , , , , .
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado luego:
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
Reemplazando estos valores en (1) :
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Por lo tanto :
Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.
Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima.
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Enviado por: Julio A. Miranda Ubaldo Idioma: castellanoPaís: Perú