ALGEBRA LINEAL I

UNIDAD I

“MATRICES”

-Sistemas de 3 ecuaciones con tres incógnitas.

EJERCICIO 1

3x +y + z = 6

x - y + 2z = 4

2x + y - z = 1

s = 3 1 1

1 -1 2 = (3+1+4+2-6+1)

2 1 -1

3 1 1

1 -1 2

X 6 1 1

4 -1 2

1 1 -1 = ( 6+4+2+4-12+1)

6 6 1

4 4 2

Y 3 6 1

1 4 2

2 1 -1 = (-12+1+24+6-6-8)

2 6 1

z 3 1 6

1 -1 4

2 1 1 =(-3+6+8-1-12+12)

3 1 6

1 -1 4

Sustituyendo los valores:

x = x = (5) = 1

s (5)

y = y = (5)

s (5)

z = z = (10)

s (5)

EJERCICIO 2

2x + y - z = 2

x +y +4z = 11

-5x + y + z = -1

s 2 1 -1

1 1 4 =(2-1-20-1-8-5)

-5 1 1

2 1 -1

1 1 4

x 2 1 -1

11 1 4

-1 1 4 =(2-11-4-11-8-1)

2 1 -1

11 1 4

y 2 2 -1

1 11 4

-5 -1 1 = (22+1-40-2+8-55)

2 2 -1

1 11 4

z 2 1 2

1 1 11

-5 1 -1 =(-2+2-55+1-22+10)

2 1 2

1 1 11

Sustituyendo valores:

x = x = (-33)

s (-33)

y (-66)

y= =

s (-33)

z (-66)

z= =

s (-33)

EJERCICIO 3

2x + 2y - z = 4

5x - 3y - 8z = -20

-x + 5y + 3z = 14

s 2 2 -1

5 -3 -8 = (-18-25+16-30+80+3)

-1 5 3

2 2 -1

5 -3 -8

x 4 2 -1

-20-3-8 = (-36+100-64+120+160-42)

14 5 3

4 2 -1

-20-3-8

y 2 4 -1

5-20-8 = (-120-70+32-60+224+20)

-1 14 3

2 4 -1

5-20-8

z 2 2 4

5-20-8 = ( -84+100+40-140+200-12)

-1 14 3

2 4 -1

5-20-8

Sustituyendo valores:

X = x (78)

=

s (26)

y = y (26)

=

s (26)

z = z (104)

=

s (26)

EJERCICIO 4

-4x + 3y - z = 9

3x - y + 3z = -2

x + y + 2z = 3

s -4 3-1

3 -1 3 = (8-3+9-18+12-1)

1 1 2

-4 3-1

3 -1 3

X 9 3 -1

-2 -1 3 =( -18+2+27+12-27-3)

3 1 2

9 3 -1

-2 -1 3

Y 4 9 -1

3 -2 3 =( -16-9+27+54-36-2)

1 3 2

4 9 -1

3 -2 3

z -4 3 9

3-1 -2 = (12+27-6-27-8+9)

1 1 3

-4 3 9

3 -1 -2

Sustituyendo valores:

x (-7)

x = =

s (7)

y (14)

y = =

s (7)

z = z (7)

=

s (7)

EJERCICIO 5

4x + 3 y + z = -1

7x - 2y + 7 z = 20

2x + y + 4z = 1

s 4 3 1

7 -2 7 = (-32+7+42-84-28+4)

2 1 4

4 3 1

7 -2 7

x -1 3 1

7 -2 7 = ( 8+20+21-240+7+2)

1 1 4

4 3 1

7 -2 7

Y 4 -1 1

7 20 7 = ( 320+7-14+28-28-40)

2 1 4

4 -1 1

7 20 7

z 4 3 -1

7-2 20 = (-8-7+120-21-80-4)

2 1 1

4 3 -1

7-2 20

Sustituyendo valores:

X = x (-182)

=

s (-91)

y (273)

y = =

s (-91)

z = z (0)

= (-91)

s

“OPERACIONES MATRICES”

Sumar las matrices A y B:

• 5 9 5 6 9 6 11 18

• 4 3 + 2 9 5 = 4 13 8

• 9 7 0 6 8 3 15 15

3A - B =

5 6 8 1 2 3 14 16 21

2 3 0 - 0 5 7 = 6 4 -7

1 2 6 3 6 5 0 0 13

Hacer la operación de A*B:

1 -1 * 2 1 3 1 2 1

A = 1 2 1 -1 2 = 4 -1 7

UNIDAD II

METODO DE ELIMINACIÓN”

Consiste en ir eliminando una de las tres variables en dos ecuaciones y luego de las otras dos ecuaciones de este modo después se vuelve a eliminar otra variable de estas de las otra ecuaciones que se formaron con estas eliminaciones y así se llega al resultado de una de las variables, es por esto que se le llama METODOD DE ELININACIÓN.

EJERCICIO 1

2x - y + 3z = -4 (1)

3x - 2y + z = -2 (2)

-x -5y + 2z = 2 (3)

La (1) con la (3)

2x - 2y + 3z = -4 2x - y +3z = -2

(2)-x - 5y +2z = -2 + -2x - 10y -4z = -8

-11y - z = -8 (4)

La (2 ) con la (3)

3x - 2y +z = -2 3x - 2y + z

(3)-x - 5y + 2z = 2 + -3x - 30y + 6z = 6

-32y + 7z = 4 (5)

La (4) con la (5)

(7)11y - z = -8 -77y - 7z = -56

-32y + 7z = 4 + -32y + 7z = 4

-109y = -52

EJERCICIO 2

x + 2y + 2z = 6 (1)

2x + 2y + 2z = 6 (2)

3x + y + 4z = 10 (3)

La uno con la dos:

(-2)x + 2y + 2z = 6 -2x -4y - 4z = -18

2x + 2y + 2z = 6 2x + 2y +2z = 6

-2y - 2z = 6 (4)

La uno con la tres:

(-3)x + 2y + 2z = 6 -3x -6y -6z = -18

3x + y + 4z = 10 3x + y + 4z = 10

-5y -2z = -2 (5)

La cuatro con la cinco:

(-5)-2y -2z = 6 10y +10z = -30

(2)-5y -2z = -2 -10y - 4z = -4

6z = 34

z = 34/6

Sustituyendo z en la cuatro

-2y -2z = 6

-2y - 2(34/6) = 6

-2y -68/6 = 6

-2y = 6 + 68/6

y = (52/3) / (-2)

y = -26/3

Sustituyendo y & z en la uno

x + 2y + 2z = 6

x + 2(-26/3) + 2(34/6) = 6

x -52/3 + 68/6 = 6

x = 52/3 - 68/6 + 6

x = 12

EJERCICIO 3

-x + 2y = -10 (1)

2x - 2y = 32 (2)

La uno con la dos:

(2)-x + 2y = -10 -2x + 4y = -20

2x - 2y = 16 2x -2y =32

2y = 12

y = 12/2

y = 6

Sustituir y en la ecuación uno

-x + 2y = -10

-x + 2(6) = -10

-x + 12 = -10

-x = -10 - 12

-x = -22

x = 22

EJERCICIO 4

x + 2y -4z = 6 (1)

-2x - 4y + 8z = 6 (2)

3x + 2y - 4z = 10 (3)

La uno con la dos:

(2)x + 4y - 8z = 4 2x +80y - 16z = 8

-2x - 4y + 8z = 8 -2x - 4y + 8z = -8

4y - 8z = 0 (4)

La uno con la tres:

(-3)x + 2y - 4z = 4 -3x -6y + 12z = -18

3x + 2y - 4z = 6 3x + 2y - 4z = 6

-4y +8z = -6 (5)

La cuatro con la cinco:

(-1)4y - 8 z = 0 -4y + 8z = 0

4y + 8z = -6 4y + 8z = -6

16z = -6

z = - 6/16

Sustituyendo z en la cuatro

4y -8z = 0

4y - 8(-3/8) = 0

4y + 3 = 0

4y = -3

y = -3/4

Sustituyendo y & z en la uno

x + 2y - 4z = 4

x + 2(-3/4) - 4(3/8) = 4

x - 6/4 - 12/8 = 4

x = 6/4 + 12/8 + 4

x = 7

EJERCICIO 5

x + y = 4 (1)

2x - 3y = 7 (2)

La uno con la dos:

(3)x + y = 4 3x + 3y = 12

2x - 3y = 7 2x - 3y = 7

5x = 19

x = 19/5

Sustituir x en la ecuación uno:

x + y = 4

19/5 + y = 4

y = 4 - 19/5

y = 1/5

“METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS”

Consiste en aplicar transformaciones elementales e ir logrando la eliminación consecutiva de las incógnitas con el propósito de llegar a un sistema equivalente que tenga la forma escalonada.

EJERCICIO 1

2x + y + 3 z = 2

-x + 3y - z = 2

x + 2y + 3z = 1

2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1

-1 3 -1 2 -1 3 -1 2 0 5 2 3 0 5 2 3

1 2 3 1 2 1 3 2 0 -3 -3 0 0 -1 -1 0

1 2 3 1

0 5 2 3

0 0 3 0 3z = 0

z = 0

5y +2z = 3

5y + 2(0)= 3

5y = 3

y= 3/5

x + 2y + 3z = 1

x + 2(3/5) + 3(0) = 1

x + 6/5 = 1

x = -6/5

EJERCICIO 2

3x - y +z = 5

2x + 2y + 3z =3

x + y + z = 1

3 -1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 3 -1 1 5 0 -4 -2 2

1 1 1 1 2 2 3 3 0 0 1 1

Z = 1

-4y - 2z = 2

-4y -2(1) = 2

-4y -2 = 2

-4y = 4

y = 4/-4

y = -1

x + y +z = 1

x + (-1) + (1) = 1

x -1 +1 = 1

x= 1+1-1

x = 2

EJERCICIO 3

4x + 3y + 2z = -9

-2x -2y - z = 5

x + 4y + 2z = -7

4 3 2 -9 1 4 2 -7 1 4 2 -7 1 4 2 -7

-2 -2 -1 5 -2-2-1 5 0 6 3 -9 0 6 3 -9

1 4 2 -7 4 3 2 -9 0-13 -6-37 0-1-6/13-37/13

1 4 2 -7

0 6 3 -9

0 042/13-339/13

42/13z = -339/13

z = (-339/13) / (42/13)

z = - 113/14

6y + 3z = -9

6y + 3(-113/14) = -9

6y - 339/14 = -9

6y = -9 + 339/14

6y = 213/14

y = 8213/14)/6

y = 71/28

x + 4y + 2z = -7

x + 4(71/18) + 2(-113/14) = -7

x + 284/18 - 226/14 = -7

x = -284/18 + 226/14 -7

x = -544/63

“TRANSFORMACIONES ELEMENTALES”

Son una serie de transformaciones que no alteran la solución del sistema ya que da como resultado un sistema equivalente que tendrá la misma solución que el sistema original. Las transformaciones elementales son las siguientes:

Intercambiar dos renglones entre sí

Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero

Aplicar la transformación anterior y sumar el resultado a otra ecuación reemplazando dicha ecuación por esta.

EJERCICIO 1

3x + 2y - z = 10 (R1)

2x + y + z = 0 (R2)

-x + 5y + 2z = 5 (R3)

-x + 5y + 2z = 5 -x + 5y + 2z = 5 -x + 5y + 2z = 5

2x + y + z = 0 0 + 11y + 5z = 0 0 + 11y + 5z = 0

3x + 2y - z = 10 0 + 17y + 5z = 10

6y + 0 = 10

6y = 10

y = 10/6 = 5/3

Sustituir y en:

11y + 5z = 0

11(5/3) + 5z = 0

55/3 + 5z = 0

5z = -55/3

z = (-55/3)/ 5

z = -40/3

Sustituir z & y en la siguiente ecuación:

-x + 5y + 2z = 5

-x + 5(5/3) + 2(-40/3) = 5

-x + 25/3 - 83/3 = 5

-x = -25/3 + 83/3 + 5

-x = 73/3

x = -73/3

EJERCICIO 2

x + 2y + 3z = 5 (R1)

4x + y - z = -6 (R2)

2x - y + 3z = 4 (R3)

X + 2y + 3z = 5 x + 2y + 3z = 5

0 - 7y - 13z = -26 0 - 7y - 13z = -26

0 - 5y - 3z = -6 0 0 + 44z = -6

z = -3/44

Sustituir z en la siguiente ecuación:

-7y - 13z = -26

-7y - 13(-3/22) = -26

-7y + 39/22 = -26

-7y = -26 - 39/22

-7y = -675/22

y = (-675/22) / 7

y = 675/154

Sustituir z & y en la siguiente ecuación:

x + 2y + 3z = 5

x + 2(675/154) + 3(-3/22) = 5

x + 750/154 - 9/22 = 5

x = -750/154 + 9/22 + 5

x = 83/154

EJERCICIO 3

x + y - z = 0

4x - y + 5z = 0

6x + y + 3x = 0

X + y - z = 0 x + y - z = 0

0 - 5y + 9z = 0 0x - 5y + 9z = 0

0 - 5y + 9z = 0 0x + y + 0z

z = 0

Sustituir z en la siguiente ecuación:

5y + 9z = 0

-5y + 9(0) = 0

-5y + 0 = 0

y = 0/-55

y = 0

Sustituir y & z en la siguiente ecuación:

x + y -z = 0

x + 0 - 0 = 0

x = 0

“METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS JORDAN”

Consiste en convertir en unos (1) los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes y en ceros (0) todos los demás elementos.

EJERCICIO 1

x1 + 2x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 +x3 = -1

-2x1 - 4x2 - x3 = 1

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 3 4 A 1 1 1 -1 0 5 -3 -13 0 5 -3 -13 0 1 -3/5 3/5

-2 4 -1 1 0 8 1 7 0 0 29 139 0 0 1 139/29

1 2 0 -52/29 1 0 0 -68/29

0 1 0 8/29 0 1 0 8/29

0 0 1 139/29 0 0 1 139/29

EJERCICIO 2

X1 + 2X2 +X 3 = 8

+ X2 - X3 = -1

X1 + 3X2 - X3 = 4

1 2 1 8 1 2 1 8 1 2 1 8 1 2 1 8

0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1

1 3 -1 4 0 -1 -2 -4 0 0 -3 -5 0 0 -1 -3/5

1 2 0 37/5 1 2 0 37/5 1 0 0 41/5

0 1 -1 -1 0 1 0 -2/5 0 1 0 -2/5

0 0 1 3/5 0 0 1 3/5 0 0 1 3/5

EJERCICIO 3

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

3X1 + X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 1 2 3 9 1 2 3 9 1 2 3 9

4 5 6 24 4 5 6 24 0 -3 -6 -12 0 1 2 4

3 1 -2 4 3 1 -2 4 0 -5 -11 -23 0 -5 -11 -23

1 0 -1 1 1 0 -1 1 1 0 0 4

0 1 2 4 0 1 2 4 0 1 0 -2

0 0 -1 -3 0 0 1 3 0 0 1 3

“SISTEMAS DEPENDIENTES Y SISTEMAS INCONSISTENTES”

Un sistema de ecuaciones siempre será dependiente si el número de ecuaciones es menor al número de incógnitas.

En los sistemas inconsistentes es cuando simple y sencillamente no hay solución por que se da una valor que no puede ser.

Un ejemplo puede ser cuando sucede los siguiente:

Por ejemplo sistemas dependientes:

3X1 + 5X2 - X3 = 7

2X1 - 4X2 + 3X3 = 14

Otro ejemplo:

2X1 + 2X2 + 6X3 = 16

3X1 -3X2 + 3X3 = 12

X1 - X2 + X3 = 4

1 -1 1 4 1 -1 1 4 0 -1 1 4

2 2 6 16 0 4 4 8 0 4 4 8

3 -3 3 12 0 0 0 0

4x2 + 4 x3 = 8

x3 = (8 - 4x2) / (4)

x3 = 2 -x2

x1 - x2 + x3 ¿ 4

x1 -x2 +(2 - x2)

x1 - x2 + 2 - x2 = 4

x1 = 4 + x2 - 2 + x2

x1 = 2 + 2x2

Solución:

Sol = {(2+2ª, 2-a,)/ a E R }

Ejemplos de sistemas inconsistentes:

(0)X1 + (0)X2 - (0)X3 = 4

Esto no puede ser.

• 4 6 1 2 3 1 2 3

4 5 6 0 -3 -6 0 -3 -6

2 7 12 0 3 6 0 0 0

0 2 3 1 -2 5 1 -2 5

2 -6 7 2 -6 7 0 0 -3

1 -2 5 0 2 3 0 2 3

1 -2 5 1 0 8

0 2 3 0 1 3/2

8 0 -3 0 0 0

UNIDAD III DETERMINANTES

DEFINICION 3.1

Sea A una matriz de orden 2. El determinante de a representado como A = a11,a22- a21, a22

a11 a22 a13

A= a21 a22 a23

EJEMPLOS

• 2

A= 5 -3 = 6 ( -3) -(2) (5) = -18 -10 =28

7 5

A= 2 9 = 7 ( 9) -(5) (2) = 63-10=53

8 -7

A= -5 4 = 8 (4) -(-7 (-5) =32-35=-3

-7 -2

A= 4 3 = -7( 3) -(-2)(4) = -21+8=-13

-2 -1

A= -3 6 = (-2)(6) -(-1)(-3)= -12 -3 =-15

DEFINICION 3.2

Sea A una matriz de orden3. El determinante de A se calcula mediante la siguiente expresión:

a11 a22 a13 a22 a21 a31 a23 a21 a22

A= a21 a22 a23 a11 a32 a33 - a12 a31 a33 + a13 a31 a32

a31 a32 a33

EJEMPLOS

3 5 2

A = 1 -2 -1 3 (4+3) - 5 (-2) +2(3) =21 +10+6=37

0 3 -2

2 1 3

A = 5 -1 0 2(-1) - 1 (5) +3(-10+3)= -2-5-21=-28

3 -2 1

3 7 2

A = 4 5 -1 3 (-15+9) -7(-12+3)+2(36-15)= -18 + 63 +42= 87

3 9 -3

1 -2 3

A = 0 1 2 1 (2+2) - (-2) (-2) +3 (-1) = 4-4-3= -3

1 -1 2

4 -3 2

A = -2 -5 1 4 (5-1) - 3 (2+1)+ 2 (-2-5)= 16 + 9 - 14 = 11

-1 1 -1

DEFINICION 3.3

Sea A una matriz de orden n, y sea Mij la matriz de orden n-1 que se obtiene de A al eliminar el renglón i y la columna j.dicha matriz se conose como el menor ij de A

3 5 2 4 3

Ej Mij = 4 2 3 = M12 -1 4

-1 2 4

5 2

M32

2 3

DEFINICION 3.4

Sea A una matriz de orden n, el cofactor ijA. Representado como Aij esta definido como (-1)i+j Mij

DEFINICION 3.5

Sea A una matriz de orden n, el determinante de dicha matriz esta definido como

A =E K=1 n =

A = E aik Aik

EJEMPLOS

EJERCICIO 1

Se escoge el renglón 4

1 3 5 -1

2 -1 3 2 3 5 -1

5 2 -1 1 A41 (-1) -1 3 2 -3 (3+2) - 5 (-1-4)-1(1-6)=15+25-5=35

2 0 3 0 2 -1 1

1 3 -1

A42 (-1) 2 -1 2 1 (-1-4)-3(2-10)+1(4+5)=-5+24+9=28

5 2 1

A = 2(-35)+3(28)= -70 +84= 14

EJERCICIO 2

Se escoge el renglón 1

3 2 -5 4

7 3 -2 5 3 -2 5

4 -2 1 3 A11(-1) -2 1 3 3 (3+15) + 2 (-6-12)+5(10-4) = 54-36+30=48

2 4 -5 3 4 -5 3

7 -2 5

A12 (-1) 4 1 3 7 (3+15)+2(12-6)+5(-20-2)=126+12-110=(-1)(28) = -28

2 -5 3

7 3 5

A13 (-1) 4 -2 3 7 (-6-12)-3(12-6)+5(16+4) =-126-18+100 = -44

2 4 3

7 3 -2

A142 (-1) 4 -2 1 7 (10-4)-3(-20-2)+2(16+4)= 42+66+40= (-1)(148) =-148

2 4 -5

A = 3(48)+2(-28)-5(-44) +4(-148) = 144-56+220 -592 = -284

EJERCICIO 3 Se escoge el renglón 3

5 2 3 -1

7 2 9 3 2 3 -1

-1 0 1 2 A31(-1) 2 9 3 2 (27-6)-3(6+3)-1(6+3) = 42-27-9=6

1 -1 2 3 -1 2 3

5 2 -1

A33 (-1) 7 2 3 5(6+3)-2(21-3)-1(-7-2) = 45-36+9 = 18

1 -1 3

5 2 3

A34 (-1) 7 2 9 5 (4+9)-(2)(14-9)+2(-7-2) = 65-10-27 = (-1)28 = -28

1 -1 2

A = (-1)(6)+(1)(18)+2(-28)=-6+18-56=54

EJERCICIO 4 Se escoge el renglón 2

5 2 1 3

1 0 1 0 2 1 3

7 8 3 2 A21(-1) 8 3 2 2(-4)-1(-4)+3(8-6)=-8+4+6=2(-1)=-2

5 2 1 0 2 1 0

5 2 3

A23 (-1) 7 8 2 5 (-4)-2(-10)+3(14-40)=-20+20+162=162(-1)=-162

5 2 0

A = 1(-2)+1(162)=160

EJERCICIO 5 Se escoge el renglón 1

2 3 -1 0

4 3 -2 4 3 -2 4

3 1 0 -2 A11(-1) 1 0 -2 3 (10)+2(2+6)+4(-5)=30+16-20 = 26

1 3 -5 2 3 -5 2

4 -2 4

A12 (-1) 3 0 2 4 (10)+2(6-2)-4(-15) = 14+8+60 = 108(-1) = -108

1 -5 2

4 3 4

A13 (-1) 3 1 -2 4 (2+6)-3(6+2)+4(9-1) = 32-24+32 = 40

1 3 2

A = 2(26)+3(-108)-1(40) = 54-324-40=310

DEFINICION DE MATRIZ ADJUNTA

Sea A una matriz de orden n y sea B la matriz de sus cofactores.

La matriz adjunta de A sera igual a la matriz transpuesta de B

EJERCICIOS

EJERRCICIO 1

3 2 1

5 2 3 3(4-9)-2(10-27)+1(15-18) = -15+34-3 = 16

9 3 2

2 3

A11 (-1) 4-9=-5

2 3

5 3

A12 (-1) 10-27=17

9 2

5 2

A13 (-1) 15-18= -3

9 3

Matriz Cofactores

2 1 -5 17 -3

A21(-1) 4-3= 1 1 -3 9

3 2 4 -4 -4

Matriz adjunta

3 1

A22(-1) 6-9=-3

9 2 -5/16 1/16 4/16

A 17/16 -3/16 -4/16

-3/16 9/16 -4/16

3 2

A23(-1) 9-18=9

9 3

2 1

A31(-1) 6-2=-4

2 3

3 1

A32(-1) 9-5=--4

5 3

3 2

A33(-1) 6-10=-4

5 2

EJERRCICIO 2

2 -1 -3

5 2 -1 2(-6+2)+(1)(-15+3)-3(-10-6)=-8-12+48=28

3 -2 -3

2 -1

A11 (-1) -6-2=-8

-2 -3

5 -1

A12 (-1) -15+3=12

3 -3

5 2

A13 (-1) -10-6= -16

4 -2

Matriz Cofactores

1 -3 -8 12 -16

A21(-1) -3+6=-3 -3 3 1

-2 -3 7 -13 9

Matriz adjunta

2 -3

A22(-1) -6+9=3

3 -3 -8/28 -3/28 7/28

A 12/28 3/28 -13/28

-16/28 1/28 9/28

2 -1

A23(-1) -4+3=1

3 -2

-1 -3

A31(-1) 1+6=7

2 -1

2 -3

A32(-1) -2+15=-13

5 -1

2 -1

A33(-1) 4+5=9

5 2

EJERRCICIO 3

1 2 3

-1 -2 -1 1(-6+1)-2(-3)+3(1) = -5+6+3 = 4

0 -1 3

-2 -1

A11 (-1) -6-1=-7

-1 3

-1 -1

A12 (-1) -3=3

0 3

-1 -2

A13 (-1) 1=1

0 -1

Matriz Cofactores

2 3 -7 3 1

A21(-1) 6+3= -9 -9 -3 1

-1 3 4 -2 0

Matriz adjunta

1 3

A22(-1) 3=3

0 3 -7/14 -9/14 4/14

A 3/14 3/14 -2/14

1/14 19/14 0/14

1 2

A23(-1) -1=1

0 -1

2 3

A31(-1) -2+6=4

-2 -1

1 3

A32(-1) -1+3=-2

-1 -1

1 2

A33(-1) -2+1=0

-1 -2

EJERRCICIO 4

-1 3 0

-2 1 -2 (-1)(-1+2)-3(2+6)0-1-24=25

3 1 -1

1 -2

A11 (-1) -1+2=1

1 -1

-2 -2

A12 (-1) 2+6=-8

3 -1

-2 1

A13 (-1) -2-3=-5

3 1

Matriz Cofactores

3 0 1 8 -5

A21(-1) 3=-3 -3 -1 10

1 -1 -6 -2 5

Matriz adjunta

1 0

A22(-1) -1=-1

3 -1 1/25 -3/55 -6/25

A -8/25 -1/25 -2/25

-5/25 10/25 5/25

-1 3

A23(-1) -1-9=10

3 1

3 0

A31(-1) -6=-64

1 -2

-1 0

A32(-1) 2=-2

-2 -2

-1 3

A33(-1) -1+6=5

-2 1

EJERRCICIO 5

2 1 3

1 -2 0 2(-4)-(1)(2)+3(-1)=-8-2-3=-13

0 -1 2

-2 0

A11 (-1) -4=-4

-1 2

1 0

A12 (-1) 2=-2

0 2

1 -2

A13 (-1) -1=-1

0 -1

Matriz Cofactores

1 3 -4 -2 -1

A21(-1) 2+3=-5 -5 4 2

-1 2 6 3 -5

Matriz adjunta

2 3

A22(-1) 4=4

0 2 -4/-13 -5/-13 6/-13

A - 2/-13 4/-13 3/-13

-1/-13 2/-13 -5/-13

2 1

A23(-1) -2=2

0 -1

1 3

A31(-1) 6=6

-2 0

2 3

A32(-1) -3=3

10 3

2 1

A33(-1) -4-1=-5

1 -2

REGLA DE CRAMER

Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

2X1+7X2-6X3=18

3X1+3X2+2X3=17

5X1-6X2+8X3=-11

2 7 -6

3 3 2 2(24+12)-7(24-10)-6(-18-15)=72-98+198=172

5 -6 8

18 7 -6

17 3 2 18(24+12)-7(136+22)-6(-102+33)=648-1106+414=-44

-11 -6 8 b1 = -44 = -0.2558139

A 172

2 18 -6

3 17 2 2(136+22)-18(24-10)-6(-33-85)=319-252+708=772

5 -11 8 b2 = 772 = 4.488372

A 172

2 7 18

3 3 17 2(-33+102)-7(-33-85)+18(-18-15)=138+826-594=370

5 -6 -11 b3 = 370 = 2.151162791

A 172

Demostración

2(-0.2558139)+7(4.488372)-6(2.151162791)=18

EJEMPLO 2

X1+X2-3X3= 2

2X1-2X2-2X3=-4

-X1+2X2+4X3= 6

1 1 -3

2 -2 -1 1(-8+2)-1(8-1)-3(4-2)=-6-7-6=-19

-1 2 4

2 1 -3

-4 -2 -1 2(-8+2)-1(-16+6)-3(-8+12)=-12+10-12=-14

6 2 4 b1 = -14 = 0.736842105

A -19

1 2 -3

2 -4 -1 1(-16+6)-2(8-1)-3(12-4)=-10-14-24=-48

-1 6 4 b2 = -48 = 2.526315789

A 19

1 1 2

2 -2 -4 1(-12+8)-1(12-4)+2(4-2)=-4-8+4=-8

-1 2 6 b3 = -8 = 0.421052631

A -19

Demostración

(0.736842105)+(2.526315789)-3(0.421052631)=2

EJEMPLO 3

2X1-3X2+X3=8

X1 + X2- X3 =6

-6X1+2X2+4X3=--1

2 -3 1

1 2 -1 2(8+2)+3(4-6)+1(2+12)=20-6+14=28

-6 2 4

8 -3 1

8 2 -1 8(8+2)+3(24-1)+1(12+2)=80+69+14=163

-1 2 4 b1 = 163 = 5.821428571

A 28

2 8 1

1 6 -1 2(24-1)-8(4-6)+1(-1+36)=46+16+35=97

-6 -1 4 b2 = 97 = 3.464285714

A 28

2 -3 8

1 2 6 2(-2-12)+3(-1+36)+8(2+12)=-28+105+112=189

-6 2 -1 b3 = 189 = 6.75

A 28

Demostración

2(5.821428571)-3(3.464285714)+(6.75)=7.97

EJEMPLO 4

2X1-X2-3X3=-1

-2X1+3X2+3X3=-3

X1+2X2-X3= 2

2 -1 -3

-2 3 3 2(-3-6)+1(2-3)-3(-4-3)=-18-1+21=2

1 2 -1

-1 -1 -3

-3 3 3 (-1)(-3-6)+1(3-6)-3(-6-6)=9-3+36=42

2 2 -1 b1 = 42 = 21

A 2

2 -1 -3

-2 -3 3 2(3-6)+1(2-3)-3(-4+3)=-6-1+3=-4

1 2 -1 b2 = - 4 = -2

A 2

2 -1 -1

-2 3 -3 2(6+6)+1(-4+3)-1(-4-3)=24-1+7=30

1 2 2 b3 = 30 = 15

A 2

Demostración

2(21)-(-2)-3(15)=-1

EJEMPLO 5

-2X1+3X2-X3= 2

X1-X2+3X3= 4

4X1+3X2-X3= -1

-2 3 -1

1 -1 3 (-2)(1-9)-3(-1-12)-1(3+4)=16+39-7=48

4 3 -1

2 3 -1

4 -1 3 2(1-9)-3(-4+3)-1(12-1)=-16+3-11=-24

-1 3 -1 b1 = -24 = -0.5

A 48

-2 2 -1

1 4 3 -2(-4+3)-2(-1-12)-1(-1-16)=2+26+17=45

4 -1 -1 b2 = 45 = 0.9375

A 48

-2 3 2

1 -1 4 -2(1-12)-3(1-16)+2(3+4)=22+51+14=87

4 3 -1 b3 = 87 = 1.8125

A 48

Demostración

-2(-0.5)+3(0.9375)-(1.8125)=2

UNIDAD IV ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION 4.1

Un espacio vectorial “V” es un conjunto de elementos denominados vectores junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar que cumple los siguientes axiomas

1.- a y b E V a + b E V

2.-a +b = b+a

3.- a +(b+c)=(a+b)+c

4.- 0 E V / a+0 =a

5.- -a E v / a+(-a)= 0

6.- K E R Ka E V

7.- K E R K(a+b) = Ka +Kb

8.- (k+l) a =Ka +la

9.- K (la)=(kl)*A

10.- 1 a = a

En caso de que uno de estos axiomas no se llegara a cumplir el conjunto no seria un espacio vectorial bajo las operaciones indicadas

EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Sea V = [ 1] es decir V contiene solamente el numero 1 en este caso

Si 1 E V

a+b= E V

1+1 = 2 por lo tanto no cumple el axioma 1 por que dos no pertenece al conjunto V

por lo tanto no es un espacio vectorial

EJERCICIO 2

Sea V [(x,y): y=mx] donde m es un numero real fijo y x es un numero real arbitrario

Y=mx

1.-ax1+ax2 = a (x1+x2)

2.- a+b=(ax1+bx2, ay2+by2) =(bx1+ax1,bx2+ax2)

3.-a+b+c=(ax,ay)+(bx,by)+(cx,cy)

ax,ay+(bx+cx+by+cy)

(ax+bx+cx,ay+by+cy)

(ax+bx+cx,ay+by+cy)

=(a+b)+c

4.-0=(0,0) E v

5.- -a E V =a+(-a) =0

-a=(-ax,ay) / a+(-a) =(ax,ay)+(-ax,-ay)

=(-ax+(-ax),ay+(-ay) = (0,0)

6.-K(ax,ay)=(Kax,Kay)

7.-K(a*b)=k(ax+bx)(ay+by)

K(ax+bx),K(ay+by)

Kax+Kbx,Kay+kby

Ka+Kb

8.-(K+l) a= (k+l) (ax,ay)=(k+l)ax,(k+l)ay

=Kax+lax,Kay+lay

(Kax+Kay,lax+lay)

K(ax,ay)+l(ax,ay)= Ka +la

9.- K(la)= K(lax,lay)=K(lax),k(lay)

(Kl)ax,(Kl)ay

Kl(ax,ay)= Kl *a

10.- -1(ax,ay)=(ax,ay)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial.

EJERCICIO 3

Sea V {(x,y,z): ax +by +cz=0] V es el conjunto de R3 que están sobre el plano que pasa por el origen con vector normal (a,b,c)

1.-a+b+c=0 =(a1,b1,c1)+(a2,b2,c2)=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)

=x(a1+a2)+y(b1+b2)+z(c1+c2)

=( xa1+yb1+zc1)+(xa2+yb2+zc2)

=0+0+0=0

2-. A+b+c= c+b+a (ax+bx+cx,ay+by+cy)=(cx+bx+ax,cy+by+ay)

=a+b+c=c+b+a

3.-a(b+c) = (a+b)+c = (ax,ay)+[(bx,by)+(cx,cy)]

=ax,ay+(bx+cx,by+cy)

=(ax+bx+cx,ay+by+cy)

=(a+b)+c

4.-0=(0,0) E V

a+0 =(ax,ay)+(0,0)=(ax,ay)

5.- -a=(-ax,-ay) / a+(-a)=(ax,ay) +(-ax, -ay)

=-ax+(-ax),ay(-ay) =(0,0)

6.- K(ax,ay)=(Kax,Kay)

7.- K(a*b)=K(ax+bx,ay+by)

=Kax+Kbx,Kay+Kby

=(Kax,Kay)+(Kbx+Kby =Ka+Kb

8.-(K+l) a= (k+l) (ax,ay)=(k+l)ax,(k+l)ay

=Kax+lax,Kay+lay

(Kax+Kay,lax+lay)

K(ax,ay)+l(ax,ay)= Ka +la

9.- K(la)= K(lax,lay)=K(lax),k(lay)

(Kl)ax,(Kl)ay

Kl(ax,ay)= Kl *a

10.- -1(ax,ay)=(ax,ay)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial

EJERCICIO 4

Sea V[0] esto es v contiene solamente el numero cero

1.-a y b E V 0+0 E V

2.- a+b=b+a= 0+0

0+0

3.-a(b+c)=(a+b)+c= 0+(0+0)

=(0+0)+0

a+(b+c)=(a+b)+c

4.-a+0 = a = 0+0=0

5.- -a=(0) / a +(-a)=(0)

=0+0=0

6.-K(0)=K0

=0

7.-K(a*b)=k(0,0)

K0,K0

K0+K0=0

8.-(K+l) a= (k+l) (0)

=(K0+K0)+(l0+l0)

=K0+l0=K0+l0

9.- K(la)= K(l0)=K0

=(Kl)0

=Kl(0)=Kl*0

10.- -1(0)=(0)= a

Por lo tanto es un espacio vectorial

EJERCICIO 5

Es el conjunto de puntos en el plano que estan sobre la linea y=2x+1

V=[y:y=2x+1,x real]

1.- a y b E V

(2x1+1)+(2x2+1) = 2(x1+x2)+2

Por lo tanto no se cumple el primer axioma y no es un espacio vectorial.

UNIDAD 5:

BASES Y DIMENSIONES

_

DEFINICIÓN 5.1 (COMBINACIÓN LINEAL) SE DICE QUE UN VECTOR W ES UNA COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES V1, V2, V3,....Vn SI SE PUEDE EXPRESAR DE LA SIGUIENTE FORMA:

W = &1V1+&2V2+&3V3…&Vn &1,&2,&3….R

EJERCICIOS 1

V1= (2,-1,1) V2=(3,2,2) W= 3V1 + 2V2

3(2,-1,1) + 2(3,2,2)= (6,-3,3) + (6,4,4)= W = (12,1,7)

w = ES UNA CONBINACION LINEAL DE V1 y V2

EJERCICIOS:

W2 = (1,3,1)

(1,3,1)= &1 (2,-1,1) + &2 (3,2,2)

(1,3,1)= 2&1+362, -1&1+2&2, &+2&2

1= 2&1+36

2= -1&1+2&2

3= &+2&2

&1 &2

2 3 1

-1 2 3

1 2 1

1 2 1

-1 2 3

1 2 1

1 2 1

0 1 1

0 -1 -1

1 2 1

0 1 1

0 0 0

1 0 -1

0 1 1

&1= -1

&2= 1

w = (7,8,9)

w = (7,8,9) =& (2,-1,1) + (&2 (3,2,2)

w = (7,8,9) = 2&+3&2, -&+2&2, &+2&2

7 = 2&+3&2

8 = -&+2&2

9 = &+2&2

2 3 7

-1 2 8

1 2 9

2 3 7

1 2 9

-1 2 8

1 2 9

2 3 7

0 4 8

1 2 9

0 -1 -11

0 4 8

1 2 9

0 -1 -11

0 0 -36

1 2 9

0 1 11

0 0 1

NO SE HIZO CERO PORLO TANTO ES INCONSISTENTE (NO ES UNA COMBINACIÓN INEAL DE V1+V2)

EJERCICIO 2

COMBINACION LINEAL EN R3

W= (2&1 - &2)

V1= -1

2

4

V2= 5

3

1

-1 5 -7

2 2 -1 3 = W = 7

4 1 7

W ES UNA COMBINACIÓN LINEAL DE V1+V2

EJERCICIO:

COMBINACIÓN LINEAL EN M23 = (3&+2&2)

V1= -1 0 4 V2= 0 1 -2

1 1 5 -2 3 -6

3 = -1 0 4 2 = 0 1 -2 = M23 = -3 2 8

1 1 5 -2 3 -6 -1 9 3

M23 ES UNA COMBINACIÓN LINEAL DE V1+V2

Definición 5.1Independencia Lineal

Se dice que un vector W es una combinación lineal de los vectores V1,V2,V3…..Vn si puede ser expresado de la siguiente forma

W = & V1+ & V2 + & V3 +…… Vn &1, &2, &3,………&n E IR

EJERCICIO 1

S= {1,0,2) (-4,2,0) (0,2,-4)

&{1,0,2) &2(-4,2,0) &3(0,2,-4)

(&-4&2, 2&2+2&3, 2&-4&3)

1 -4 0

0 2 2

-2 0 -4

1 -4 0

0 2 2

0 -8 -4

1 -4 0

0 2 2

0 0 -4

4&3 = 0 = >&3= 0

2&2 +2&3 = 0 =>&2= 0

&+4&2 = 0 => &= 0

EL CONJUNTO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE

EJERCICIO 2

S = { (-1,0,2) (0,-4,2) (2,0,-4) }

(-&+2&3, -4&2, 2&1+2&2-4&3)

-&+2&3 = 0

-4&2 = 0

2&1+2&2-4&3 = 0

-1 0 2

0 -4 0

2 2 -4

-1 0 2

2 2 -4

0 -4 0

1 0 2

0 2 0

0 0 0

1 0 -2

0 1 0

0 0 0

-&+2&3=0

-4&2=0

2&1+2&2-4&2=0

EL SISTEMA ES DEPENDIENTE

EJERCICIO 3:

Determine si los vectores 1 3 y 11 son linealmente dependientes o independientes

-1 0 -6

0 4 12

1 3 11

& -1 +&2 0 +&3 -6

0 4 12

&+3&2+11&3 = 0

-& -6&3 = 0

4&2+12&3 = 0

1 3 11 0

-3 0 -6 0

0 4 12 0

1 3 11 0

0 9 27 0

0 4 12 0

1 3 11 0

0 1 3 0

0 4 12 0

1 0 2 0

0 1 3 0

0 0 0 0

&+2&3 = 0 SI &3 = 1 ESTONSES &2 = -3 Y &= -2

&2+3&3 = 0

EL SISTEMA ES LINEALMENTE DEPENDIENTE

EJERCICIO 4

1 2 0

DETERMINE SI LOS VECTORES -2 -2 Y 1 SON DEPENDIENTES O INDEPENDIENTES 3 0 7

1 2 0 0

& -2 +&2 -2 +&3 1 = 0

3 0 7 0

&+2&2 = 0

-2&-2&2+ &3 = 0

3& 7&3 = 0

1 2 0 0

-2 -2 1 0

3 0 7 0

REDUCIDA EN LA FORMA ESCALONADA ES

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

&=0 &2 = 0 &3 = 0

POR LO TANTO EL SISTEMA ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE

EJERCICIO 5:

S= { (1,7,6,8) (8,5,-7,3) (5,2,-1,0) (0,8,-4,1) (7,4,6,1)}

EL SITEMA ES DEPENDIENTE

PORQUE EL NUMERO DE VECTORES ES MAYOR QUE EL NUMERO DE COMPONENETES

CONJUNTO GENERADOR

EJERCICIO 1

G = { (-2,0,0) (0,1,0) (0,0,4) } DETERMINE SI ES UN GENERADOR DEL ESPACIO VECTORIAL EN R3.

&(-2,0,0)+&2 (0,1,0)+&3(0,0,4) = (X,Y,Z)

-2&= X & = -1/2&

&2= Y

&3 = Z &3 = 1/4Z

-1/2X(-2,0,0)+Y (0,1,0)+1/4Z(0,0,4) = (X,Y,Z)

(X,0,0)+ (0,Y,0)+(0,0,Z) = (X,Y,Z)

(X,Y,Z) = (X,Y,Z)

ES UN GENERADOR

EJERCICIO G = { (-2,0,0) (0,1,2) (0,0,1) (0,1,-1) }

&(-2,0,0) +&2 (0,1,2)+&3 (0,0,1) +&4 (0,1,-1) = (X,Y,Z)

X = -2&

Y = &2+&4

Z = 2&2-3&-&4

-2 0 0 0 X

0 1 0 1 Y

0 2 1 -1 Z

-2 0 0 0 X

0 1 0 1 Y

0 0 -1 -3 Z-2Y

-&3-3&4 = Z-2Y

-&3 = Z-2Y+3&4

&3 = -Z+2Y-3&4

Y = &2+64 &= -1/2X SI &4 = 1 &3=-Z+2Y-3(1)

Y = &2+1 &3 = 2Y-Z-3

-&2 = -Y+1

&2 = Y-1

-1/2X(-2,0,0) +(Y-1)(0,1,2)+(2Y-Z,-3)(0,0,1) + (0,1,-1) = (X,Y,Z)

(X,0,0) +(0,(Y-1),2Y-2)+ (0,0,-2Y+Z+3) + (0,1,-1) = (X,Y,Z)

(X,Y-1+1,2Y-2-2Y+Z+3-1) = (X,Y,Z)

(X,Y,Z) = (X,Y,Z)

ES UN GENERADOR

EJERCICIO 2 :

G: { (1,1,2) (1,0,1) (2,1,3) }

&(1,1,2)+&2 (1,0,1)+&3(2,1,3) = (X,Y,Z)

X = &+&2+&3

Y= &+&3

Z = 2&+&2+3&3

1 1 2 X

1 0 1 Y

2 1 3 Z

1 1 2 X

0 -1 -1 Y-2X

0 1 1 Z-Y+2X

1 1 2 X

0 -1 -1 Y-2X

0 0 0 Z-Y+2X+Y-2X

Z = 2&+&2

X= %+&2

-&2 = -X+&

&2 = X-Y

&= Y

Y(1,1,2)+(X-Y) (1,0,1)+0(2,1,3) = (X,Y,Z)

Y+X-Y,Y,2Y+X-Y= (X,Y,Z)

(X,Y,Y+X) =/= (X,Y,Z)

NO ES UN GENERADOR

EJERCICIO 3:

G:{ (2,-1,4) (4,1,6) }

&(2,-1,4)+&2 (4,1,6) = (X,Y,Z)

X = 2&+4&2

Y = -1&+ &2

Z = 4&+6&2

-1 1 Y

2 4 X

4 6 Z

1 -1 -Y

2 4 X

4 6 Z

1 -1 Y

1 6 X+2Y

0 10 Z+4Y

1 -1 -Y

0 1 (X+2Y)/6

0 10 Z+4Y

1 0 X/6-2Y/3

0 1 X/6+Y/3

0 0 -5X/3+2Y/3+Z

5X-2Y+ Z = 0

ENTONSES SI ES UN GENERADOR

EJERCICIO 4:

G = { (1,-1,2) (1,1,2) (0 ,0 ,1) }

&(1,-1,2)+&2 (1,1,2) +&3 (0 ,0 ,1) = (X,Y,Z)

X = &+&2

Y = -&+&2

Z = 2&+2&2+&3

1 1 0 X

-1 1 0 Y

2 2 1 Z