Matemáticas

Álgebra lineal

Compartir 1 Me sirvió 0 No me sirvió

MATRICES

Una matriz de orden m.n es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma:

Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: El primero indica la fila y el segundo la columna en que se encuentra ubicado.

Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

El orden de una matriz significa su tamaño, dos matrices son del mismo orden cuando tienen el mismo tamaño (Igual numero de filas y columnas)

ÁLGEBRA DE MATRICES:

Suma y resta de matrices: Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, la matriz AB es una matriz del mismo orden, que se obtiene sumando o restando los elementos de A y de B colocados en el mismo lugar.

Producto por escalares: Para multiplicar una matriz A por un numero real cualquiera, multiplicamos el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.

Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B el numero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B. La matriz producto resultante (AB) tiene como elemento ij el producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz resultante tiene el numero de filas de A y el numero de columnas de B.

Propiedades del álgebra de matrices:

Ejemplo:

Realice (A+2B)C

Una matriz A es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas. En una matriz cuadrada, el conjunto de elementos cuyos subíndices coinciden forman la llamada diagonal principal: .

Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si los elementos colocados por debajo de la diagonal principal son ceros y una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.

A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra matriz llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene cambiando filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A es ahora la columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene orden n.m. Una matriz es simétrica si coincide con su traspuesta (A=At) y es antisimetrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo (A=-At).

MATRIZ INVERSA

Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que el producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es única. No todas las matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman invertibles o regulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo determinante es igual a cero.

Calculo de la matriz inversa: El método mas sencillo de usar es mediante el método de Gauss. Por este método partimos la matriz A y colocamos a su derecha la matriz identidad I del mismo orden de A. Se trata de, sin cambiar el orden de las columnas, realizar transformaciones elementales por filas en esta matriz hasta convertir A en la matriz identidad I, mientras que la matriz I se ha transformado en otra matriz que es precisamente A-1.

Las transformaciones elementales son:

Cambiar el orden de las filas.

Multiplicar alguna fila por un escalar diferente a cero.

Sumar a alguna fila una combinación lineal de las demás.

Ejemplo

Encuentre la inversa de la matriz A y verifique.( AA-1=I)

DETERMINANTES

Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas.

Sea A una matriz cuadrada; asociada a esta existe el numero llamado determinante, simbolizado por |A| ó det(A) y que se calcula de la siguiente manera:

Si el orden de A es 2 el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria:

Si la matriz A es de orden 3 el determinante se calcula usando la Regla de Sarrus:

Si el orden de la matriz es superior a 3, seleccionando cualquier fila o columna, el valor del determinante se obtiene calculando determinantes de orden una unidad inferior. Elegimos una fila y una columna y la suprimimos para hallar la matriz Mij (Donde suprimimos el i renglón y la j columna, hasta haber seleccionado y suprimido todas las filas que se encuentran en la columna suprimida). Hasta obtener una determinante que podamos hallar por las reglas anteriormente vistas. Esta formula puede aplicarse a las matrices 3x3 para encontrar el determinante.

Ejemplo:

Halle el determinante de la matriz A

Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A|.|B|.

Para una matriz cuadrada A: |A|=|At|.

Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante =0.

Si una matriz tiene una fila o columna nula, el determinante vale cero.

Si en una matriz cambiamos el orden de dos filas o columnas el determinante de la nueva matriz vale lo mismo que el de la matriz inicial pero con el signo invertido.

|aA|=an|A|. Siendo a un numero real cualquiera y n el orden de la matriz.

Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).

Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.

El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factor constante

Las determinantes son usadas comúnmente para hallar el área entre puntos en un plano cartesiano, o para resolver sistemas de ecuaciones lineales, al igual que las matrices.

SISTEMA DE ECUACIONES

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes. Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones del tipo ax+by=c, ax+by+cz= d,…) son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax+by=c, ax+by+cz=d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. Para resolver el sistema:

Por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación:

Ahora se sustituye su valor en la primera:

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

Se ha obtenido así la solución x=3, y=-2.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita. Para resolver por igualación el sistema anterior:

Se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

Ahora se resuelve esta ecuación:

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:

Se ha obtenido la solución x=3, y=-2.

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

Se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones:

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

La solución es x=3, y=-2.

Para solucionar un sistema de ecuaciones también se pueden trabajar, fuera de los métodos antes vistos, los métodos de Gauss y Gauss-Jordán, que consisten en la utilización de matrices para el desarrollo, mas sencillo y claro, de los sistemas de ecuaciones lineales.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS.

Para solucionar por este método, debemos transformar las ecuaciones lineales en una matriz escalonada, es decir, igualando la diagonal principal a 1 y lo que se encuentre debajo de esta a cero, para plantear unas ecuaciones mas sencillas para reemplazar.

Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales que existen, no hay un valor máximo de ecuaciones que se puedan trabajar.

Ejemplo:

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN

Este método es parecido al de Gauss, solo que al igualar la diagonal principal a 1, el resto de las variables deben quedar igualadas a 0, así obtenemos los resultados directamente.

Este proceso es aplicable a todos los sistemas de ecuaciones lineales que existen, no hay un valor máximo de ecuaciones que se puedan trabajar.

Ejemplo:

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Operaciones elementales por renglón o fila en una matriz escalonada:

Multiplicar un renglón o fila por un numero " 0.
Multiplicar un renglón o fila por un numero " 0 y sumarlo a otro renglón.
Intercambiar filas.

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Esta técnica, aplicable solo a los casos donde el numero de incógnitas es igual al numero de ecuaciones nos dice que:

En este caso, trabajaríamos con tres matrices, hallando la matriz inversa de A, y multiplicándola por los resultados del sistema de ecuaciones para obtener los valores de las incógnitas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

LEY DE KRAMER

La ley de Kramer es útil para resolver sistemas de ecuaciones 3x3, dice: “El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la determinante formada por los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas”.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

SISTEMAS DE ECUACIONES CONSISTENTES E INCONSISTENTES

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución, se denomina sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones lineales con única solución, se denomina sistema de ecuaciones consistente con única solución y un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, se denomina sistema de ecuaciones consistente con infinitas soluciones.

Ejemplos:

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones inconsistente.

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones consistente con única solución.

Desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones consistente con infinitas soluciones.

EL ESPACIO VECTORIAL Rn

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores Rn, las cuales se pueden graficar en un plano:

También pueden unirse los puntos mediante una recta. (-1,-1,-1)(0,0,0)(2,2,2)

Para hacer un grafico en R2 o en R3, podemos optar por graficar como:

Punto.
Una flecha que parta del origen.
Una flecha que parta de un punto distinto al origen.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Se suman o restan los valores algebraicamente, eje con eje, no se pueden sumar o restar vectores de diferentes espacios.

Si
y
, su suma o resta es igual a:

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Multiplicación de Escalar por Vector: Se multiplica el escalar por cada termino del vector. Su resultado da en el mismo plano Rn.

PRODUCTO PUNTO O ESCALAR

Sean
y
en Rn.

Siempre da como resultado un numero, ya que es un producto escalar.

Ejemplo:

Propiedades del Producto Punto:

PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ

Sean
y
en Rn.

Sean
y
dos vectores dados.

Se soluciona mediante determinantes o por el método de Sarrus.

Ejemplo:

Determine el producto cruz y el ángulo entre estos vectores.

Propiedades del Producto Cruz:

Producto triple escalar

La división entre vectores es una multiplicación inversa.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se pueden multiplicar por números reales, podremos obtener vectores haciendo estas operaciones de suma y multiplicación. Supongamos que un vector v es el resultado de multiplicar un vector a por 5 y sumarle otro vector b(v = 5a + b), en este caso diremos que v es una combinación lineal de a y b. Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás, se dice que ese conjunto de vectores son linealmente independientes y linealmente dependientes en caso contrario. Un vector es combinación lineal de otros vectores si se puede obtener mediante operaciones de suma de otros vectores.

Ejemplo:

El vector (3,5) es combinación lineal del vector (1,1) y (0,2) pues se puede obtener multiplicando por 3 el vector (1,1) y sumándole el vector (0,2).

IGUALDAD DE VECTORES

Para que
debe cumplir que

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos esta determinada por la formula algebraica:

LONGITUD O MAGNITUD DE UN VECTOR Y EL ANGULO ENTRE VECTORES.

Sean
y
dos vectores dados.

Ejemplos:

Propiedades:

= Desigualdad triangular.

ANGULO ENTRE DOS VECTORES:

El ángulo formado por dos vectores en un plano Rn, esta determinado por:

Ejemplo:

Encuentre el ángulo formado por los siguientes vectores:

PROYECCIÓN DE VECTORES

Sean A y B vectores distintos de cero. La proyección de A sobre B es un vector denotado
, definido por:

La proyección de A sobre B se puede pensar como la “Componente B” del vector A.

Ejemplo:

ÁREAS Y VOLÚMENES USANDO EL PRODUCTO CRUZ

La aplicación del producto cruz se puede definir como su utilización para determinar el área o el volumen de sólidos en un plano determinado.

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Si el área es igual a la base por la altura, utilizando el producto cruz obtenemos que el área de un paralelogramo es igual a:

Ejemplo:

Halle el área del paralelogramo determinado por los lados adyacentes A=(1,-2,3), B=(2,0,1) y C=(0,4,0)

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

Si el volumen es igual al área de la base por la altura, utilizando el producto cruz obtenemos que el volumen de un paralelepípedo es igual a:

Ejemplo:

Halle el volumen del paralelepípedo determinado por los puntos A=(1,3,-2),B=(2,1,4) y C=(-3,1,6)

RECTAS Y PLANOS EN R3

Rectas en R3:En el plano R2 podemos encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos de la recta o un punto y la pendiente de la recta. En R3, las ideas básicas son las mismas, así que podemos hallar la ecuación de la recta si conocemos dos puntos de ella o un vector paralelo a la recta. Denotamos Po como un punto de la recta (xo,yo,zo), v como el vector dirección (a,b,c), y t como un numero real cualquiera, podemos obtener las dos ecuaciones de la recta.

Con estas ecuaciones podemos obtener n puntos de la recta. Si despejamos la t en las tres ecuaciones e igualamos, obtenemos:

Ejemplos:

Hallar las ecuaciones parametricas y simétricas de la recta que tiene por vector dirección v=(1,-2,3) y pasa por el punto (1,1,1).

Hallar las ecuaciones de una recta L que pasa por los puntos (1,2,0) y (0,1,1).

Planos en R3: Sea P un punto en el espacio y sea n un vector distinto de cero: Entonces el conjunto de todos los puntos Q para los cuales forman un plano en R3.

Siendo Q=(x,y,z), P=(xo,yo,zo) y n=(a,b,c), la ecuación del plano es:

Ejemplos:

Encuentre el plano que pasa por el punto Q=(2,5,1) y tiene por vector normal (1,-2,3)

Puntos de corte de los ejes:

(Despejamos cada variable y el resultado y obtenemos el punto de corte).

Encuentre el plano que pasa por los puntos P=(1,2,1), Q=(4,2,6) y R=(2,-1,3)

Para hallar el vector normal, debemos hallar y ya que se suponen que están en el plano y son ortogonales al vector normal.

Puntos de corte de los ejes:

TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada valor de V un vector único. Dados los espacios vectoriales V y W sobre un cierto campo, una aplicación T:V!W es una transformación lineal si se cumplen las siguientes condiciones:

T(V+W)=T(V)+T(W)

T(aV)=aT(V)

Ejemplo:

Sea V=(2,5,1), realice la transformación de R3!R2: T(x,y,z)=(2x,-y)

TRANSFORMACIONES R2!R2

En un plano R2 se pueden hacer distintas transformaciones a un punto o a un conjunto de puntos, como lo son la expansión o comprensión, reflexión o rotación, etc. Utilizando el producto de matrices, consiste el multiplicar el vector por la matriz de acuerdo a la transformación que deseamos realizar y el producto obtenido es el vector transformado.

1) Expansión o comprensión a lo largo de x:

2) Expansión o comprensión a lo largo de y:

3) Reflexión respecto al eje x=y

4) Reflexión respecto al eje x

5) Reflexión respecto al eje y

4) Rotación

Ejemplo:

Realice a los vértices del triangulo (0,0), (1,2) y (2,3) una reflexión con respecto al eje x y luego rótelo 90º.

Primero hacemos la reflexión:

Ahora a los vectores obtenidos (0,0), (1,-2) y (2,-3) los rotamos 90º

(5,2)

(-2,5,-4)