Historia del algebra lineal

Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

Historia

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número: Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

ALGEBRA LINEAL

Rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales, vectores y espacios vectoriales y temas afines. Véase Teoría de matrices.

ÁLGEBRA LINEAL

El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de módulo, dirección y sentido dados, se puede generalizar como se muestra a continuación. Un n-vector (vector n-dimensional, vector de orden n o vector de dimensión n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como

v = (x1, x2,..., xn)
Las x1, x2,..., xn se denominan componentes del vector. Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna.

La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un número real se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si w es otro vector,

w = (y1, y2,..., yn)
y k es un número real, entonces

v + w = (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn)
y

kv = (kx1, kx2,..., kxn)
Si k1, k2,..., km son números reales, y v1, v2,..., vm son n-vectores, el n-vector

v = k1v1 + k2v2 + ... + kmvm
se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,..., vm.

Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual al n-vector cero, 0 = (0,0,..., 0), es aquélla en que k1 = k2 = ... = km = 0. Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) y v4 = (3, 4, 7, 8), entonces v1, v2 y v3 son linealmente independientes, pues k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 si y sólo si k1 = k2 = k3 = 0; v2, v3 y v4 son linealmente dependientes pues v2 + v3 - v4 = 0.

Se dice que A es una matriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o columna linealmente independientes, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna son linealmente dependientes.

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación. Si u, v, w son elementos de V, entonces se verifica que:

1a. u + v es un elemento de V
2a. (u + v) + w = u + (v + w)
3a. u + v = v + u
4a. Existe un vector 0 tal que 0 + u = u
5a. Todo vector v tiene un opuesto -v tal que v + (-v) = 0
Si  y µ son números reales, se cumple también que:

1b. ·u es un elemento de V
2b. ( + µ)·u = ·u + µ·u
3b. ·(u + v) = ·u + ·v
4b. (·µ)·v = ·(µ·v)
5b. 1·v = v

Si S = {vi} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma dimensión, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los vi. Si el conjunto B = {wj} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones de un espacio vectorial a otro.

• Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:). En el caso de la multiplicación, el signo `×' normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a · b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c - dy) representa la fracción:

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno. Por ejemplo:

Otras definiciones

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, -a, ðs4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de términos. La parte numérica de un término se denomina coeficiente. Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, -1, ð y 8 (el último término se puede escribir como 8x2(zy)3).

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos términos, binomio y tres términos, trinomio. Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos. Por ejemplo, un polinomio de n-ésimo grado en su forma general se expresa como:

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado. Del mismo modo, la expresión xn + xn-1 + xn-2 es de n-ésimo grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado, es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

Operaciones con polinomios

Al hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica. En aritmética, los números usados son el conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos. El conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de la adición

A1. La suma de dos números reales a y b cualesquiera es otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.

A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la llamada propiedad asociativa de la adición.

A3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.

A4. Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

A5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la adición, la suma es siempre la misma: a + b = b + a. Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

Cualquier conjunto de números que cumpla las cuatro primeras propiedades se dice que forma un grupo. Si además el conjunto cumple A5, se dice que es un grupo abeliano o conmutativo.

Propiedades de la multiplicación

Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, hay que prestar especial atención a los elementos neutro y recíproco, M3 y M4.

M1. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

M2. Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.

M3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a.

M4. Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a-1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a-1) = (a-1)a = 1.

M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba. Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.

Un conjunto de elementos que cumpla estas cinco propiedades se dice que es un grupo abeliano, o conmutativo, para la multiplicación. El conjunto de los números reales, excluyendo el cero —pues la división por cero no está definida— es un grupo conmutativo para la multiplicación.

Propiedad distributiva

Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:

D1. a(b + c) = ab + ac

D2. (b + c)a = ba + ca

Un conjunto de elementos con una relación de igualdad, en el que se definen dos operaciones (como la adición y la multiplicación) que cumplan las propiedades de la adición, A1 a A5, las propiedades de la multiplicación, M1 a M5, y la propiedad distributiva, D1 y D2, constituye un cuerpo conmutativo.

Multiplicación de polinomios

El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

Factorización de polinomios

Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y). El encontrar los factores de un determinado polinomio puede ser materia de simple inspección o se puede necesitar el uso de tanteos sucesivos. Ciertos polinomios, sin embargo, no se pueden factorizar utilizando coeficientes reales y son llamados polinomios primos.

Algunas factorizaciones conocidas aparecen en los ejemplos siguientes.

Para factorizar suele ser útil agrupar primero; aquellos términos que sean similares se agrupan como en el siguiente ejemplo, cuando sea posible:

Máximo común divisor

Dado un polinomio, suele ser importante determinar el mayor factor común a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, en la expresión 9x3 + 18x2, el número 9 es un factor de ambos términos, lo mismo que x2. Tras su factorización se obtiene 9x2(x + 2), y 9x2 es el máximo común divisor de todos los términos del polinomio original (en este caso un binomio). De la misma manera, en el trinomio 6a2x3 + 9abx + 15cx2, el número 3 es el mayor submúltiplo común a 6, 9 y 15, y x es el mayor factor de la variable común a los tres términos. Por tanto, el máximo común divisor del trinomio es 3x.

Mínimo común múltiplo

Encontrar el mínimo común múltiplo es útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas operaciones con fracciones ordinarias en aritmética. Para poder combinar dos o más fracciones, los denominadores deben ser iguales; la forma más directa de obtener un denominador común es multiplicar todos los denominadores entre sí. Por ejemplo:

Pero puede ocurrir que bd no sea el mínimo común denominador. Por ejemplo:

Sin embargo, 18 es sólo uno de los posibles denominadores comunes; el mínimo común denominador es 6:

En álgebra, el problema de encontrar el mínimo común múltiplo es similar. Dadas varias expresiones, su mínimo común múltiplo es aquella expresión con el menor grado y los menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas. Así, para encontrar un múltiplo común a los términos 2x2y, 30x2y2, 9ay3, basta con multiplicar las tres expresiones entre sí y es fácil demostrar que (2x2y)(30x2y2)(9ay3) se puede dividir exactamente por cada uno de los tres términos; sin embargo, éste no es el menor de los múltiplos comunes. Para determinar cuál es el mínimo, cada uno de los términos se ha de descomponer en sus factores primos. Para los coeficientes numéricos, 2, 30 y 9, los factores primos son 2, 2·3·5 y 3·3 respectivamente; el mínimo común múltiplo de los coeficientes debe ser por tanto 2·3·3·5, o 90, que es el producto de la mínima cantidad de factores necesaria para obtener un múltiplo común. De la misma manera, como la constante a sólo aparece una vez, debe ser un factor. En cuanto a las variables, se necesitan x2 e y3; por tanto, el mínimo común múltiplo de los tres términos es 90ax2y3. Esta expresión se puede dividir exactamente por cada uno de los términos.

Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita

los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. El término 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de restar del lado izquierdo al mismo tiempo:

Después se resta el número 6 de ambos lados:

Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:

y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Dada una ecuación de segundo grado o cuadrática en su forma general:

hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de la ecuación en cuestión. Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por ejemplo:

Primero se escribe la ecuación en su forma general

que se puede factorizar como:

La igualdad sólo se cumple cuando uno de los factores es cero, es decir, cuando x = 5 o x = -2. Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitución.

Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuación, puede existir otra alternativa. Por ejemplo, en la ecuación

la expresión 4x2 + 12x se podría factorizar como un cuadrado perfecto si fuera 4x2 + 12x + 9, que equivale a (2x + 3)2. Esto se puede conseguir fácilmente sumando 9 al lado izquierdo de la ecuación. La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado derecho:

que se reduce a

o

y

pues ð tiene dos valores. La primera ecuación da la solución x = ð (restando 3 de ambos lados: 2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = ð). La segunda ecuación da x = -7/2. Ambas soluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestión en la ecuación original. Esta forma de resolución se suele denominar método del cuadrado perfecto.

En general, cualquier ecuación cuadrática de la forma

se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. Para cualquier ecuación de este tipo las dos soluciones de x están dadas por la fórmula:

Por ejemplo, para encontrar las raíces de

primero se pone la ecuación en su forma general:

Por tanto, a = 1, b = -4 y c = 3. Estos valores se sustituyen en la fórmula cuadrática:

Sistemas de ecuaciones

En álgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo tiempo. El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar técnicas específicas del álgebra. Por ejemplo, dadas las dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

hay un sistema sencillo: la variable y se despeja en la ecuación (2) dando y = 5 - 2x; este valor de y se sustituye en la ecuación (1):

Así el problema se reduce a una ecuación lineal con una sola incógnita x, obteniéndose

o

de donde

Si este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales (1) o (2), se obtiene que

Otro método más rápido para resolver un sistema de ecuaciones es, en este caso, multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por 4, con lo que queda:

Si ahora se resta la ecuación (1) de la (2), entonces 5x = 10, o x = 2. Este procedimiento genera otro avance en las matemáticas, las matrices. La teoría de matrices nos ayuda a obtener soluciones para cualquier conjunto de ecuaciones lineales con cualquier número de incógnitas.

Teoría de matrices y Álgebra lineal

INTRODUCCIÓN:

Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.

Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.

TEORÍA DE MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:

En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.

Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es -1. Tanto a las filas como a las columnas se las denomina líneas.

El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M3 anterior,

es la matriz traspuesta de M3.

La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz unidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que Im se escribe simplemente I.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (aij) y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente

En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m × n y B = (bjk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m × p, y cik está dado por

es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

Álgebra lineal

El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de longitud, dirección y sentido dados, puede generalizarse como se muestra a continuación. Un n-vector (vector n-dimensional, vector de orden n o vector de longitud n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como

v = (x1, x2, …, xn)

Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna. Las x se denominan componentes del vector.

La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un escalar se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si

w = (y1, y2, …, yn)

y k es un escalar (número real), entonces

v + w = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn)

y

kv = (kx1, kx2, …, kxn)

Si k1, k2, …, km son escalares, y v1, v2, …, vm son n-vectores, el n-vector

v = k1v1 + k2v2 + … + kmvm

se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2, …, vm. Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual al n-vector cero, 0 = (0,0, …, 0), es aquélla en que k1 = k2 = … = km = 0. Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) y v4 = (3, 4, 7, 8), entonces v1, v2 y v3 son linealmente independientes, pues k1v1+ k2v2 + k3v3 = 0 si y sólo si k1 = k2 = k3 = 0; v2, v3 y v4son linealmente dependientes pues v2 + v3 - v4 = 0. Si A es una matriz de rango r, entonces al menos un conjunto de r vectores fila o columna es un conjunto linealmente independiente, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna es un conjunto linealmente dependiente.

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple las siguientes propiedades: (1) si vð V y w ð V, entonces (v + w) ð V, y (2) si v ð V y k es un escalar cualquiera, entonces kv ð V. Si S = {vi} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma longitud, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los v. Si el conjunto B = {w1} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro.

Lugar geométrico

Un lugar geométrico es el conjunto de todos puntos del plano que verifican una propiedad determinada.

Son lugares geométricos: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas. De todos ellos, esta unidad va a tratar de estudiar el caso de la Elipse centrada en el origen de coordenadas.

Todas las elipses, las podemos definir como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante.

Y vamos a ver dos tipos: elipse de eje horizontal y elipse de eje vertical.

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ÁLGEBRA Y ARITMÉTICA

En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera conjunta.

La aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los números. En cambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independientemente de los números o objetos concretos.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.

Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano.

También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones.

Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones.

Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón".

En la civilización mesopotámica

utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.

Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división.

Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.

Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos.

En la Antigua Civilización China

el sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.

La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos en ceros de manera escalonada.

Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde.

Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal.

Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).

La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación , denominada ecuación de Pelt.

Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.

Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.

Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia, desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica teórica y el método axiomático.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.

Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La primera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo" sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que, actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:

• obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.

• cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner, posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.

• extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.

• sumación de progresiones aritméticas y geométricas.

Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse, ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única del número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.

Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...

Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.

En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80 obras.

Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos.

El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.

Ya en el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.

Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète estableció en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.

En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonométricas. Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones logarítmicas fue seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron a desarrollarse las primeras máquinas de cálculo.

Ya en pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de Descartes(1596-1650) "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría.

El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado, de hecho durante la segunda mitad de siglo el álgebra siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólico literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones.

La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B. Pascal formuló el principio de inducción matemática.

Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición de los logaritmos.

La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuó determinándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.

Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías, especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones, elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.

En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.

Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la resolución de tales ecuaciones.

También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.

Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m.

No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler los nombres de Waring y Lagrange.

La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros, definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática.

Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra moderna.

El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental. Estudiemos de una manera más detallada estas disciplinas.

Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:
Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.

En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.

Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.

Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones fundamentales en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos.

Sin embargo, la solución a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois. El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas. El aparato algebraico introducido tuvo, sin embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la estructura de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base fructífera del álgebra moderna. la teoría actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.

Teoría de Grupos.
Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose, predominantemente, la teoría de los grupos finitos.

Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo. este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría algebraica.

A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.

Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.

En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros científicos.

Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de las matemáticas modernas.

Álgebra Lineal:
La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.

Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.

Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta.

Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales.

La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.

Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.

Parábola

Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)          fig. 6.1.

..

6.1 LA PARABÓLA

Definiciones  i.    Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.   ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.   Esto es:   PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}                                  PD     fig. 6.1.1. Observaciones:  i. Al trazar por F la perpendicular  a la directriz. Se llamará  : la distancia del foco a la directriz.  ii. Sea V el punto medio del segmento  . Como  , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.  El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P' es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP'' = P''P'. Por lo tanto, el triángulo PP''F es congruente al triángulo P'P''F. De donde P'F = PF y como P'D' = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P' e PDD-F.      6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola   En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)  fig. 6.1.2. Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .   Pero,  y    Luego,    Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene:  , y simplificando queda finalmente,   (1)  Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.   Por hipótesis,   (2)   Se debe probar que              De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.     TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)   i.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P ð PDD-F   ii.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)  iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P ð PDD-F   fig. 6.1.3.     fig. 6.1.4.     Observaciones:  i. En la  fig.  6.1.3. aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.   Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.   ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.     6.1.2. Traslación de Ejes  En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:   ó    Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene .   De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).       fig. 6.1.5. Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x' e y' paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o'(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.   Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x', y') referidas al sistema x'-y' vienen dadas por las relaciones:           x = x' + h (1)     y = y' + k (2)     llamadas: ECUACIONES DE     TRASLACIÓN DE EJES, y que   pueden deducirse fácilmente de la fig.  6.1.6.   fig. 6.1.6. Observación:  La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.   Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.   Si  se toma  como referencia los ejes x' e y', hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema.   Las ecuaciones  ,    permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:     6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general) i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en  y por directriz la recta:  (fig. 6.1.7.) viene dada por:   (1)  fig. 6.1.7.     ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en  y por directriz la recta:   (fig. 6.1.8.) viene dada por:   (2)     fig. 6.1.8.     Demostración:  Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x'-y' y luego hacer  e      Observación:  Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma:   (3)   (4)   En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya varia- ble aparece lineal.   Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0)  o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa  una parábola  abierta  hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).   6.1.4. Valores máximos y mínimos de una parábola  Se ha visto en la sección precedente que la ecuación    (1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma  (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0).   Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.                                 fig. 6.1.9. (a)                                           fig. 6.1.9. (b)     Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva)  es llamado  el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa.   Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.   Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.

LA PARÁBOLA

 

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

 

 

 

Parábola en azul.

 

Foco: Es el punto fijo F.

 

Directriz: Es la recta fija d.

 

Parámetro. Distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

 

Eje. Recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

 

Vértice. Punto de intersección de la parábola con su eje.

Cuerda focal. Segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por el foco

Las cónicas tienen propiedades de tangencia (relacionadas a sus propiedades ópticas) muy importantes y bien conocidas. La idea de esta nota es explorar la construcción de una parábola a partir de ciertos elementos y, en este contexto, revisar las propiedades de sus tangentes.

Dadas 4 líneas, construir la parábola que las tenga como tangentes.

Antes de resolver este problema, recordemos su definición como lugar geométrico: una parábola es el lugar geométrico de los puntos
tales que su distancia a un punto fijo dado
es igual a su distancia a una línea fija dada
. Al punto se le llama foco y a la línea directriz.

 

 

En la figura,
es un punto en
y la línea roja
es la mediatriz de
; es decir, la línea roja es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de
y de
Trazamos la perpendicular a
en
y sea
el punto donde dicha perpendicular corta a
.Hemos encontrado un punto
en
que está a la misma distancia de
y
. (pues la longitud de
es la distancia entre
y
).

Más aún, sobre la línea
no hay ningún otro punto que satisfaga estar a la misma distacia de
y de
. Es decir,
es una tangente de la parábola. Recordemos que a la línea
la construimos como la mediatriz entre
y
y de
sólo sabemos que está sobre la línea
.

De esta construcción podemos ver también una propiedad óptica de la parábola: Recordemos que la luz, al ser reflejada en un espejo "rebota" en él con el mismo ángulo con el que entró (o sea, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). Si pensamos que la parábola es un espejo y lanzamos un rayo de luz desde el foco, éste al chocar en
con la tangente de la parábola, "rebotará" con un ángulo igual al de entrada,
pero ese ángulo es precisamente el que forma
con
! También sucede que si mandamos rayos de luz paralelos al eje de la parábola, estos "rebotarán" en la tangente y todos serán mandados al foco de la parábola.

 

Todavía antes de pasar al problema planteado, y utilizando la forma en que construimos a las tangentes de la parábola, podemos construir una parábola con doblado de papel. La idea es tomar un punto (que será el foco
) y una línea (que será la directriz
) y haciendo coincidir
con un punto de la línea doblar, así se construye la mediatriz entre
y el punto de la línea
. Así se construye una tangente. Repitiendo este doblado un número suficiente de veces, obtendremos esto:

 

 

En la figura anterior queda esbozada una parábola. La siguiente figura nos muestra a la parábola formada por los puntos
que construimos en el primer dibujo.

 

 

Regresemos al problema planteado. Necesitamos algunas relaciones entre 2, 3 y 4 tangentes de una parábola. Fijémonos primero qué pasa en el punto de intersección de dos tangentes.

 

 

Como
está en la intersección de dos tangentes, y cada tangente es mediatriz (
de
y
de
respectivamente)
.

Es decir, podemos trazar una circunferencia con centro en
que pasa por
,
y
.

 

 

Esto nos será de importancia pues en algún momento de la construcción necesitaremos encontrar a la directriz y el círculo que tiene centro en
corta a
en
y
. Pero además, en esta figura, tenemos la igualdad entre varios ángulos:

 

 

 

Los ángulos
porque
es la mitad del ángulo central determinado por el arco
Análogamente,
y los ángulos
por ser ambos complementarios del ángulo
. Finalmente, los ángulos

porque ambos son
Así tenemos que, por la suma de los ángulos interiores de un triángulo,

Qué sucede cuando tenemos tres tangentes? Si trazamos el círculo que circunscribe al triángulo formado por la tres tangentes, este círculo pasa por
, el foco de la parábola.

 

 

 

Para demostrar la afirmación anterior basta con repetir el argumento de la igualdad de ángulos para las tres circunferencias (una por cada intersección de dos tangentes) y tenemos que

lo cual es una condición suficiente para asegurar que el cuadrilátero
es inscriptible.

 

 

Finalmente podemos resolver el problema original! Todo esto empezó porque queríamos trazar una parábola dadas 4 de sus tangentes.

 

 

 

Las líneas dadas deben ser adecuadas en el sentido de que si nos fijamos en los 4 triángulos que forman estas tangentes, los circulos que circunscriben a estos triángulos tienen una punto en común (que será el foco de la parábola buscada):

 

 

Para construir la parábola:

1.- tenemos que encontrar el foco. Para ello, tracemos el círculo que circunscribe a dos de los triángulos formados por las tangentes. Un vértice de estos triángulos será punto común de los círculos, y el otro punto de intersección será, precisamente, el foco:

 

 

 

2.- tenemos que encontrar la directriz. Para ellos usaremos que los círculos con centro en puntos de intersección de tangentes, pasan por el foco (así tenemos el radio) y pasan por los pies de las perpendiculares en la directriz, de los puntos de tangencia correspondientes. Con encontrar dos de estos puntos, podremos trazar la directriz, pero como van a ser intersecciones de círculos con un punto en común (
), necesitamos tres de ellos; es decir, tendremos tres puntos de la directriz de la parábola buscada:

 

 

Y finalmente, tenemos la parábola buscada:

 

 

y, así, se acaba esta nota.

La parábola

INTRODUCCIÓN:

Parábola (matemáticas), una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ð mediante un plano ð que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo ð.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PARÁBOLA

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

y2 = 2px

Las curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.

La Elipse.

INTRODUCCIÓN:

Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ð mediante un plano, ð, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo  mayor que ð, pero menor de 90º (ð <  < 90º).

Si ð es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si ð es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. Véase Excentricidad.

La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y un número fijo k,
, la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k:

; d1 + d2 = k.

Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

• Centro, O. 
• Eje mayor, AA´.
• Eje menor, BB´.
• Distancia focal, OF.

Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:

•
. El eje mayor mide 2a.
•
. El eje menor mide 2b.
•
. La distancia entre focos es 2c.
•
.

Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:

a2 = b2 + c2

La excentricidad de una elipse se obtiene así:

e = c/a

Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.

PROPIEDADES DE LA ELIPSE

Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF', la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE

Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

Elipse

Existen al menos tres maneras equivalentes de definir las elipses:

Definición 1: Una elipse es la sección cónica que corresponde al caso  > .

Artículo principal: Sección cónica

Definición 2: Sean F y F' dos puntos del plano, denominados focos, y sea d una longitud mayor que la distancia entre F y F'. En esta hipótesis, la elipse de focos F, F' y de parámetro d se define como es el lugar geométrico de los puntos del plano (M) tales que la suma de las distancias de M a los focos es constante e igual a d:

El valor de a se denomina semieje mayor de la elipse.

Definición 3: En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor

La elipse

Una elipse es el conjunto de distancias en el plano cartesiano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (también en el plano), es igual a una constante positiva (2a).

En donde:

A es igual a la distancia del centro al vértice del eje mayor.

B es igual a la distancia del centro al vértice del eje menor.

C es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos.

Características Generales

ð El centro de una elipse, es un punto del eje mayor, y está situado a la mitad de los vértices.

ð El lado recto de una elipse es un segmento de recta que pasa por los focos y tiene como extremos los lados de la elipse

Fórmula

2b2

a

ð La excentricidad de una elipse es el cociente de la distancia entre los focos a la distancia entre los vértices; está sólo se encuentra entre cero y uno.

Fórmula

e = c = a2 - b2

a a

La excentricidad determina la forma de la elipse, entre más cerca de uno se encuentre, la forma de la elipse será alargada, y si, por el contrario más cerca de cero está, su forma es más redonda.

ð La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.

ð La longitud del eje menor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del vértice del eje menor.

Ecuaciones con centro en el origen

Gráfica No.1	Gráfica No.2	Ecuación General
X2 + y2 = 1 A2 B2	X2 + y2 = 1 B2 A2	Qx2 + Py2 = QP

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2

Ecuaciones con centro (h,k)

Gráfica No.1	Gráfica No.2	Ecuación General
(X-h)2 + (y-k)2 = 1 A2 B2	(X-h)2 + (y-k)2 = 1 B2 A2	ax2 + cy2 + ey + f = QP

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2

Ejemplos:

ð Dada la ecuación de la elipse x2/ 25 + y2/16 = 1; determine los vértices, los extremos del eje menor y los focos. Trace la gráfica y mostrar los focos.

A2 = 25 a= 5 Vértice (+5,0)

B2 = 16 b=4 extremos del eje menor (0,+4)

C2 = A2 - B2

C2 = 25 - 16 = 9 c=3 Focos (+3,0).

ð Obtenga la ecuación de la elipse con focos (-8,2) y (4,2), cuya constante es 18.

2c=12 2a=18

c=6 a=9

c2=36 a2= 81.

B2= 81 - 36

B2=45

Centro está en (-2,2)

(x+2)2 + (y-2)2 = 1

• 45

La Hipérbola

INTRODUCCIÓN:

Hipérbola, una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo ð mediante un plano ð que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo  menor que ð.

La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F , llamados focos, y un número positivo k,
, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:

; |d1 - d2| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r , en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

• Centro, O.
• Vértices, A y A .
• Distancia entre los vértices,
.
• Distancia entre los focos,
.

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que

b2 = c2 - a2

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA HIPÉRBOLA

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF , entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:

x2 - y2 = a2

y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.

La cónica

INTRODUCCIÓN:

Cónica, cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.

El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo ð de la superficie cónica y del ángulo  que forma el plano ð con el eje e.

Si  > ð entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si  " ð se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome .

Si  = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Si  > ð y  < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a ð) sea el ángulo .

Si  = ð el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

Si  < ð entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 <  < ð) como cuando es paralelo a él ( = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos ð y .

La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.

Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen una excentricidad mayor que uno.

APLICACIONES DE LAS CÓNICAS

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.

CÓNICAS DEGENERADAS

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS

Desde una punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.

La Hipérbola

La hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano cartesiano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es igual a una constante positiva (2a), en donde "a" puede ser mayor o menor que "b" y la posición de la hipérbola se determina dentro del plano dependiendo si dentro de la ecuación "x" o "y" es positivo.

Una hipérbola parte de sus vértices abriéndose cada vez más y tendiendo hacia dos rectas llamadas asíntotas, las cuales nunca llegan a tocar. Al rectángulo que forman las asíntotas, se le llama rectángulo auxiliar, y sus lados tiene por longitud 2a y 2b. Los vértices de la hipérbola son los puntos de intersección del eje principal y el rectángulo auxiliar. Al prolongar las diagonales del rectángulo se obtienen las asíntotas; se traza cada rama de la hipérbola a través de su respectivo vértice usando las asíntotas como guías.

Ecuaciones de las asíntotas.

Cuando el eje mayor de una hipérbola es horizontal, la ecuación de la asíntota es:

Y = + bx

A

(Y-k) = + b(x-h)

A

Cuando el eje mayor de una hipérbola es vertical, la ecuación de la asíntota es:

Y = + ax

B

(Y-k) = + a(x-h)

b

En donde:

A es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértice del eje mayor.

B es igual a la distancia del centro hacia uno de los vértice del eje menor.

C es igual a la distancia del centro a cualquiera de los puntos fijos o focos

Características

ð La hipérbola posee una excentricidad mayor que uno, la cual se define como la distancia del centro hacia uno de los focos, dividida, la distancia del centro a uno de los vértices.

2.La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.

3.La longitud del eje conjugado se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del vértice del eje menor

Ecuaciones con centro en el origen

Gráfica No.1	Gráfica No.2	Ecuación General
X2 - y2 = 1 A2 B2	Y2 - X2 = 1 A2 B2	Qx2 - Py2 = QP

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2

Ecuaciones con centro (h,k)

Gráfica No.1	Gráfica No.2	Ecuación General
(X-h)2 - (y-k)2 = 1 A2 B2	(Y-k)2 - (X-h)2 = 1 A2 B2	ax2 + cy2 + ey + f = QP ay2 + cx2 + ey + f = QP

Historia

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo.

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

Este griego nació en donde en aquel entonces se llamaba Prega, Mauritania, que ahora es, Antalya, Turquía. Perga era el centro de cultura ese tiempo, donde se encontraban todos los sabios y científicos. En sus tiempos de juventud Apollonius fue Alejandría donde estudio con los seguidores de Euclid, donde luego se convertiría en maestro. Luego de estar varios años en Alejandría, el matemático se mudó a Pergamum, que ahora es la ciudad de Bergama, en la provincia de Izmir en Turquía. Pergamum era una ciudad antigua, situada a 25 km. de mar Aegan.

Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenia un hijo, que tenía el mismo nombre.

Apollonius escribió cónicas en ocho libros, de los cuales solo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.

Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intersecta la superficie de un cono.

DIFERENCIA ENTRE UNA HIPÉRBOLA Y UNA ELIPSE

La diferencia entre estas dos cónicas es que la elipse es la suma de la distancia del conjunto de los puntos (x,y) y la hipérbola es la distancia del conjunto de los puntos (x,y).

ELIPSE

Es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.

Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.

El foco es simétrico a sus dos ejes, la curva formada cuando se rota el elipse se llama elipsoide de revolución, o esferoide.

La ecuación de un elipse es x2/a2 +y2/b2=1

La distancia de el diámetro mayor es 2a, la distancia de el diámetro menor es 2b. Si c es tomada como la distancia desde el origen hasta el foco, entonces c2= a2 - b y el foco de la curva podría ser localizado cuando los diámetros menor y mayor se saben.

Ecuación de la Elipse:

(x-h) 2 + (y-k) 2 =1 Centro = (h, k)

a2 b2

Vertices = (h, k+a) y (h+a, k)

Focos = (h, k+c)

HIPERBOLA

Es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.

Si una línea es dibujada por el foco y prolongada después de el eje transversal de la hipérbola, perpendicular a ese eje, e intersectándolo en el centro geométrico de la hipérbola, un punto a la mitad entre los dos focos, ahí se encuentra el aje conjugado. La hipérbola es simétrica con respecto a sus dos ejes.

Dos líneas simétricas, las asíntotas de la curva, pasa por el centro geométrico. Ha hipérbola no toca las asíntotas, pero su distancia con ellas se acorta, pero nunca llegan a intersectarse.

Ecuación de la Hipérbola:

(y-k) 2 - (x-h) 2 =1 Centro = (h, k)

b2 a2

Vértices = (h, k+b)

Focos = (h, k+c)

APLICACIONES EN EL MUNDO REAL

Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

Antenas para captar señales de comunicación e informática.

Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.

Herradura de caballo, sirven para que el caballo no se lastime las pezuñas.

Conclusión

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar él porque y como de las cónicas.

Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano.

Definiciones:  i. Sean F y F' dos puntos de un plano (F . Se define la ELIPSE de focos F y F' como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).  ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F' y la recta mediatriz del segmento  se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.  iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A', A, B y B' se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.   Si el segmento  es mayor que el segmento  , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.      fig. 6.2.1. Observaciones:  i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).  ii. Nótese también que como , se sigue que (teorema de Pitágoras).         fig. 6.2.2. </6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elipse    Caso 1. Elipses con focos. F'(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0  Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)  Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)     TEOREMA:  La ecuación de la elipse con focos en los puntos F'(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por:  (1)                                             fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4.  Demostración  Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición i que  , o equivalentemente, (fórmula de distancia entre dos puntos)  Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:    Simplificando la última igualdad se llega a:    Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:    La cual se reduce a:    Recordando además que  y al dividir ambos miembros de la última igualdad por  , se obtiene finalmente  :  que corresponde a la ecuación pedida.      Caso 2. Elipses con focos F'(0, -c) y F(0, c) ; c > 0  Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)  Eje menor: Longitud 2b (b > 0)    TEOREMA:  La ecuación de la elipse con focos en los puntos F'(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:   (2)  Demostración:  Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.  NOTA:  Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a.   Caso 3. (Caso General).   Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los  dos  casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:  (3)  Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)  Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)        fig. 6.2.5.                      (a)   (x-h)ð + (y-k)ð  ðObservaciones:  i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.  ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a).  Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b).    6.2.2. Construcción de la Elipse   Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.    Construcción 1  Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F'. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.)      fig. 6.2.6. Construcción 2  Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por  , con a > b.  Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos , con centro en 0, uno de radio    y el otro de radio  . (Ver fig. 6.2.7.)      fig. 6.2.7. Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).  Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación  .  En efecto, basta demostrar que  .  Para ello, nótese que:      Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que