TEMA 4: SIMETRÍA.

Simetría: transformación que al aplicarse a un objeto, este conserva todas sus dimensiones lineales como el tamaño.

Diferencia entre elementos y operaciones de simetría

Elementos u operadores, son rectas o puntos imaginarios que reproducen por simetría un motivo morfológico cualquiera un número de veces determinado. Pueden ser de dos tipos: Simples o compuestas.

Operación, es uno o varios movimientos por los cuales los motivos morfológicos pasan de una posición inicial a una homologa. Es el resultado de hacer actuar un operador sobre un motivo morfológico del cristal. Como por ejemplo traslación.

Elementos de simetría simples. (fotocopia 2)

El centro de inversión o de simetría: es un punto ideal que está en el centro del cristal, tal que, toda recta trazada que pase por él, une dos elementos equivalentes y equidistantes al centro. En la red cristalina, cada nudo es un centro de simetría pues a su lado tiene otro nudo. Para saber si un cristal lo tiene, vemos si tiene caras iguales y enfrentadas. También lo podemos hace viendo los vértices. Es decir, decimos que hay un centro de simetría cuando los elementos de un cristal están dispuestos alrededor de un punto.

La operación relativa al centro se llama “inversión”.

El centro se denota como C ó

Plano de reflexión o de simetría: superficie imaginaria que dividen en dos mitades simétricas el cristal, tal que, un punto cualquiera tenga su homologo sobre la perpendicular desde ese punto al plano de simetría y a la misma distancia a la que se encuentra.

La operación que le corresponde se denomina “reflexión”.

Su notación es P ó m.

Ejes de rotación o de simetría: son líneas imaginarias que pasan por el centro del cristal, tal que, cada giro de 360º/n alrededor de dicho eje, el cristal o cualquier elemento, adopta una posición distinta a la inicial.

Siendo n el número de veces que nosotros podemos realizar el giro. Recibe en nombre de “orden de eje de simetría” y coge valores concretos:1,2,3,4,6. Es decir, las veces que el cristal va a girar. Según el eje que escojamos en determinados cristales se puede alcanzar 1,2,3,4,6 posiciones iguales a la de partida.

La notación de los ejes va a ser E ó A y para indicar el orden del eje se coloca un subíndice en el eje, es decir, En ó An.

Otro símbolo utilizado es mediante n, es decir, el número del orden.

El ángulo de giro será: 180,90,60,120 y se llaman ángulos binarios, ternarios, cuaternarios y senarios. Si n = 1 el ángulo es 360º y se llama monario.

En un cristal podemos encontrarnos con ejes de simetría de distinto orden.

¿Por qué n sólo coge esos valores? Porque otros valores son incompatibles con la estructura de los cristales. Barlow dio una justificación matemática en estructuras reticulares ( formada por nudos, donde dos nudos consecutivos separados por una traslación elemental a). Si perpendicular al plano que contiene un nudo A pasará un eje y por lo tanto también por B. Es decir, opero con el eje.

Si giro uno de los nudos pasará a otra posición, consiguiendo una nueva fila de nudos. Pasando de A - A' cuando opero con el eje perpendicular a B.

Para calcular la nueva distancia:

Sólo puede ser N: 0,+1,+2,-1,-2

Otra forma de justificar el orden de los ejes, es porque nos encontramos con cuadriláteros, rombos, hexágonos, etc. (fotocopia 4)

Podemos rellenar huecos con estas figuras, en cambio con otras figuras como el pentágono, heptágono y octágono quedan huecos al adosarlos.

Ejes de simetría: es polar cuando no hay planos paralelos a ellos. Los extremos de los ejes no son equivalentes. Como por ejemplo las figuras piramidales. Cuando aparecen figuras como bipiramides los ejes se denominan bipolares.

Elementos de simetría Compuestos.

Actúan simultáneamente, como combinación de elementos simples.

Ejes de roto inversión: cuando se combinan dos elementos simples, en este caso la rotación y la inversión. El operador es el eje de roto inversión. Realizo un giro y luego una inversión respecto de un centro. La nomenclatura es

La distribución de los puntos: ( fotocopias)

-Con -n = 2; giramos 180º y a continuación lo invertimos. Los puntos son homólogos y están en planos de simetría.

-Con -n = 3; giro 120º y luego invierto. El ternario de inversión es igual a un ternario más un centro.

-Con -n = 4; giro 90º y a continuación lo invierto. El cuaternario de inversión no tiene ningún equivalente.

-Con -n = 6; giro 60º e invierto respecto de un centro. Los puntos de ambos hemisferios coinciden, visto desde arriba. El senario de inversión es igual al ternario más un plano de simetría perpendicular al eje.

En resumen

Ejes de roto reflexión: primero giramos (rotación) y luego una reflexión sobre un plano perpendicular al eje de rotación. El operador de simetría se llama roto reflexión. Y lo denotamos como:

-Reflexión binaria. Giro 180º y luego realizo la reflexión sobre el plano. Están relacionados por un centro de simetría. Es equivalente al monario de inversión.

-Reflexión ternaria: Giro 120º y luego realizo la reflexión. Su equivalente es un senario de inversión.

-Reflexión cuaternaria: Giro 90º y realizo la reflexión, siendo su homologo el cuaternario de inversión.

-Reflexión senaria: Giro 60º y hago la reflexión. Equivale al ternario de inversión.

NOTA:

-Roto inversión monario: giro 360º y luego realizo una inversión respecto al eje. Estos puntos están relacionados por un centro de inversión.

Por lo tanto:

-Roto reflexión monario: giro 360º y luego realizo reflexión sobre el plano perpendicular al eje. Estos puntos están relacionados por un eje de simetría.

Eje helicoidal o eje tornillo: es la combinación de un eje de rotación y uno de traslación paralelo a este. Los simbolismos nos señalan la dirección a la cual gira el eje. En cada giro no voy a realizar una traslación completa sino parcial. Por ejemplo, en un ternario giro 120º y me traslado 1/3 del vector traslación. Los valores de la traslación también lo podemos obtener dividiendo los valores del vector traslación por números enteros. En el caso de que ese valor sea su totalidad, sobre el eje helicoidal, entonces habrán tantas traslaciones como rotaciones.

Planos de deslizamiento: combinan un plano de reflexión con una traslación paralela al plano. La dirección y la magnitud de la traslación se denominan componente de deslizamiento. Los planos que nos podemos encontrar son:

-Planos axiales: cuando la componente de deslizamiento es paralela al eje cristalográfico e igual a la mitad de la traslación según este eje. (fotocopia 42)

-Planos diagonales: la componente de deslizamiento corresponde a ½ de la diagonal del plano reflector.

-Plano del diamante: la composición de deslizamiento, son un ¼ de las traslaciones fundamentales. (fotocopia, fig. 3.25)

Operaciones de simetría de 1ª especie: son aquellos que realizan la coincidencia de figuras iguales, homologas o equivalentes. Y son: rotación simple, traslación, rotación helicoidal.

Operaciones de simetría de 2ª especie: son aquellas que hacen coincidir figuras enanteomórficas*. Y son: reflexión, reflexión-traslación, roto-reflexión, roto-inversión, inversión.

Teorema de simetría. (nos hablan de las posibles combinaciones)

Teorema 1: sólo son posible ejes de rotación de orden 1,2,3,4 y 6. No existen de orden 5 ni mayores de seis.

Teorema 2: entre un eje de rotación de orden par, el plano de reflexión y el centro de inversión existe una independencia, tal que la coexistencia de dos cualesquiera de ellos condiciona la presencia del otro. Si tenemos un eje de orden par y un centro de inversión implica también la existencia de un plano de reflexión perpendicular al eje y al centro de inversión.

Teorema 3: todo eje de rotación de orden n, contenido en un plano de reflexión, condiciona la existencia de n planos conteniendo en su intersección a dicho eje y formando entre sí, ángulos diedros de 360º/2n. Además si el eje es de orden par se forman dos familias de planos equivalentes. Y cada una de las familias están intercaladas.

Teorema 4: todo eje de rotación de orden n, al que concurre perpendicular un eje binario, implica la existencia de n ejes binarios coplananarios, formando un ángulo de 360º/2n

Si los ejes son de orden par, los nuevos ejes binarios s garúan en dos familias no equivalentes entre sí, de n/2 ejes cada una, situada una de ellas en las bisectrices de los ángulos formado por la otra.

Si los ejes son de orden impar, los ejes engendrados son todos equivalentes entre sí.

Teorema 5:todo eje de inversión de orden par, contenido en un plano de reflexión, condiciona la aparición de n/2 de planos equivalentes y n/2 ejes binarios coplanares y perpendicular al eje de inversión.

Teorema 6: todo eje de inversión de orden impar, contenido en el plano de reflexión, condiciona la aparición de n planos y n ejes binarios situados entre dichos planos.

Teorema 7: en un mismo cristal sólo pueden coexistir ejes binarios en número igual al orden del eje principal 1,2,3,4 ó 6

Eje binario:1,2,3,4 y 6

Eje ternario: 1 ó 4

Eje cuaternario: 1 ó 3

Eje senario: 1

Los ejes monarios, nunca aparece sólo sino infinitos.

Teoremas 8: la coexistencia de un eje binario y uno terciario formando un ángulo especial (54º44'8'') implica la existencia de un total de tres ejes binarios ( perpendiculares entre sí) y cuatro ejes ternarios ( formando entre sí ángulos de 109º 28'26'')

GRUPOS DE SIMETRÍA.

Se llaman grupos puntuales porque todos los ejes operadores se cortan en un solo punto. También llamados clases de simetría. Tienen estructura de grupo matemático.

Está constituido por un conjunto de elementos de simetría que tienen un punto en común, y este se toma como origen de coordenadas. Estos elementos deben cumplir.

La obtención de los grupos puntuales de simetría son grupos espaciales sin traslación. Todos están basados de unos simetría que son independientes y hacemos adicionando más elementos que permiten, como traslaciones obtenemos más redes, puesto que un cristal no está formado por una sola red.

Cuando combinamos las operaciones de simetría puntuales(traslaciones de las redes de Bravais) con grupos puntuales obtenemos la forma en que las asociaciones dan grupos espaciales.

Hay 230 combinaciones distintas y cada una de ellas constituye un grupo espacial.

Notación que emplean los grupos puntuales:

Notación internacional de German- Movie:

Planos: m

Orden del eje: n

Dice la relación que existe entre las operaciones y los elementos de simetría.

Ej.: 6/m 2/m 2/m

[1 A6 + 6 A² + 7P + C ] Esta notación donde se expresan todos los elementos de simetría de grupos se denomina: Notación de simetría.

Notación de Glermar:

Primero se coloca el orden del eje principal, el eje cristalográfico Z, siempre se hace coincidir con el eje principal. A continuación los ordenes de los ejes secundarios, expresando si tienen planos de simetría, es válido excepto en el sistema cúbico, donde no se puede hablar de un solo eje principal, ya que las tres traslaciones son iguales en magnitudes y tendremos tres ejes cuaternarios.