TALLER DE MATEMATICAS

SECCIONES CÓNICAS

• Elementos de la elipse

ACTIVIDAD 1

Calca la elipse del margen en un papel transparente. Dobla el papel por el eje AA´ y después por el eje BB´. ¿Qué compruebas?

Que son perfectamente simétricos.

ACTIVIDAD 2

En la elipse anterior, el eje mayor mide 20 cm, el eje menor mide 12 cm y la distancia focal mide 16 cm. Escribe las medidas de los siguientes segmentos:

a) OA = OA´ 2 a = 20 cm. a = 10 cm.

b) OB = OB´ 2 b = 12 cm. b = 6 cm.

c) OF = OF´ 2c = 16 cm. c= 8 cm.

ACTIVIDAD 3

En la elipse anterior une un punto P de la elipse con los focos F y F'. ¿Cómo se llaman los segmentos PF y PF'? ¿Cuánto vale su suma?

Se llaman radio-vectores.

PF + PF' = 2 a.

• Excentricidad de la elipse

ACTIVIDAD 1

El eje mayor de una elipse mide 40 cm. y la distancia focal 24 cm.

¿Cuál es la longitud del eje menor?

¿Cuál es la excentricidad de la elipse?

a = 40 / 2 = 20 cm. a2 = b2 + c2 2 b = 32 cm.

c = 24 / 2 = 12 cm. b = 16 cm.

e = c / a = 12 / 20 = 3 / 5

ACTIVIDAD 2

La excentricidad de una elipse es 0,8 y el eje mayor mide 20 cm. ¿Cuál es la longitud del eje menor?

a = 20 / 2 = 10 cm.

e = c / a c = 0,8 x 10 = 8 cm.

a2 = b2 + c2 b = 6 cm 2 b = 12 cm.

• La tangente a la elipse y los espejos elípticos

ACTIVIDAD 1

Calca el eje A'A de la primera figura de esta página y cambia la posición del punto H para obtener otros cuatro puntos de la elipse.

ACTIVIDAD 2

La formula del área de una elipse es:  ab, en donde a es el semieje mayor y b el semieje menor. Calcula el área de la elipse cuya distancia focal es 6 cm. y el eje menor es 8 cm.

c = 6 / 2 = 3 cm. b = 8 / 2 = 4 cm.

a2 = b2 + c2 a = 5 cm.

A =  a x b =  x 5 x 4 = 62,83 cm2

ACTIVIDAD 3

Halla la excentricidad de la elipse de la actividad anterior.

c = 3 / 5 = 0,6

ACTIVIDAD 4

En una elipse se conoce la distancia focal que mide 12 cm. y la excentricidad e = 3 / 5. Calcula su área.

c = 3 cm. 2c = 12 cm. a2 = b2 + c2

a = 5 cm. c = 6 cm. a = 10 cm. b = 8 cm.

A =  a x b =  x 10 x 8 = 251,32 cm.

• Elementos de la hipérbola

ACTIVIDAD 1

En la hipérbola de la figura, el eje transverso mide 12 cm., el eje imaginario mide 16 cm. y la distancia focal, 20 cm. Escribe las medidas de los siguientes segmentos.

a) OA = OA´ 2 a = 12 cm. a = 6 cm.

b) OB = OB´ 2 b = 16 cm. b = 8 cm.

c) OF = OF´ 2c = 20 cm. c= 10 cm.

ACTIVIDAD 2

Para cada punto P de una hipérbola la diferencia constante PF - PF' o bien PF' - PF, según que P este en una rama o en la otra. ¿Cuánto vale esta diferencia?

La resta de la longitud de la regla (L) menos la longitud del hilo (L'). L - L'.

• Excentricidad de la hipérbola

ACTIVIDAD 1

En una hipérbola, el eje transverso AA' = 6 cm, y el eje imaginario BB' = 8 cm.

¿Cuál es la distancia focal de la hipérbola?

¿Cuál es su excentricidad?

a) 2 a = 6 cm. a = 3 cm.

2 b = 8 cm. b = 4 cm.

c2 = b2 + a2 c = 5 cm. 2 c = 10 cm.

e = c / a = 5 / 3 = 1,67

ACTIVIDAD 2

La excentricidad de una hipérbola es 5 / 3 y la de otra es 3 / 2.¿cuál de las dos es mas cerrada?

5 / 3 = 1,67

3 / 2 = 1,5

Es mas cerrada la que más se aproxima a 1. Por tanto, es mas cerrada la de 3 / 2.

• La tangente a la hipérbola y a los espejos hiperbólicos

ACTIVIDAD 1

Calcula el valor del semieje imaginario b de la hipérbola cuyo semieje real a vale 5, y cuya excentricidad e = 1,5. Después, halla las ecuaciones para las asintotas sabiendo que sus pendientes son ± b / a.

e = c / a = 1,5 1,5 = c / 5 c = 7,5

c2 = b2 + a2 b = 5,6 cm.

y = (b / a) x y = (5,6 / 5) x y = 1,12 x

y = -(b / a) x y = -(5,6 / 5) x y = -1,12 x

PROBLEMAS DE LOGICA

¿DE QUIEN ES EL RETRATO QUE ESTOY MIRANDO?

Un hombre estaba mirando un retrato y alguien le pregunto;” ¿De quien es esta fotografía?”, a lo que contesto: “Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre”. (El padre de este hombre, quiere decir, el padre del que esta en la fotografía)

La de su hijo.

SUPONGAMOS QUE,

En esta misma situación el hombre hubiera contestado: “Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre” ¿ De quien seria la fotografía?

Del padre del que habla.

LOS HABITANTES DE NUEVA YORK

Dado que en Nueva York hay mas habitantes que pelos en la cabeza de cualquiera de sus habitantes y que ninguno de ellos es totalmente calvo, “¿Hemos de llegar a la conclusión de que tendrá que haber por lo menos dos habitantes que tengan exactamente el mismo número de pelos?

Se resuelve con la teoría del palomar.

¿CUÁNTO?

Supón que tu y yo tenemos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tengo que darte para que tengas diez pesetas mas que yo?

Un duro.

X = X' X - 5 , X' + 5

EL ACERTIJO DEL POLITICO

Cierta convencion reunia a cien politicos. Cada politico era o bien deshonesto o bien honesto. Se nos dan los datos siguientes:

Al menos uno de los politicos era honesto.

Dado cualquier par de politicos, al menos uno de los dos era deshonesto.

¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuantos políticos eran honestos y cuantos deshonestos?

Hay un político honesto y 99 deshonestos.

VINO VIEJO EN UNA BOTELLA NO TAN NUEVA

Una botella de vino costaba 1000 Ptas. El vino valía 900 Ptas. Mas que la botella. ¿Cuánto valía la botella?

La botella valía 50 Ptas. Y el vino 950 Ptas.

¿CUÁNTO BENEFICIO?

Un comerciante compro un articulo por 700 pesetas, lo vendió por 800 pesetas, lo volvió a comprar por 900 pesetas y lo volvió a vender por 1000 Ptas. ¿cuánto beneficio sacó?

Saco 200 ptas. De beneficio.

PROBLEMA DE LOS DIEZ ANIMALES

Cincuenta y seis galletas se han de repartir a diez animales; cada animal es un gato o un perro. Cada perro a de obtener seis galletas y cada gato cinco. ¿Cuántos perros y gatos hay?

6 perros 6 x 6 = 36 galletas

4 perros 4 x 5 = 20 galletas

PAJAROS GRANDES Y PAJAROS PEQUEÑOS

Cada tienda de animales vende pájaros grandes y pájaros pequeños: cada pájaro grande se vende a dos veces el precio del pequeño. Entro una señora y compro cinco pájaros grandes y tres pequeños, si en lugar de eso hubiera comprado tres pájaros grandes y cinco pequeños habría gastado 2000 Ptas. menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

Los pájaros grandes cuezan 2000 Ptas. y los pequeños 1000 Ptas.

BARBEROS

¿Qué motivo o razón puede tener un barbero madrileño para cortar el pelo a dos catalanes antes que a un solo madrileño?

Ganar más dinero cortando el pelo a dos personas.

CUASIREDONDO

El número 61030 es “cuasi-redondo” pues bastan dos trazas rectilíneos para que sea totalmente redondo ¿Cuáles son?

Convertir el 1 en L, y el 3 en B, para formar la palabra GLOBO(6L0B0)

LIBROS

“Ruperez tiene mas de dos mil libros”, dijo Alberto. “De eso nada -replico Jorge- Tiene muchos menos”. “Bueno - dijo Enriqueta, apaciguadora- Alguno tendra”. Si tan solo una de las tres afirmaciones es verdadera. ¿Cuántos libros tiene Ruperez?

Ruperez no tiene libros. Jorge tiene razón.

22. ALCANTARILLAS

¿Por qué las tapas de los registros de las alcantarillas suelen hacerse redondas y no cuadradas?

Es la única forma de que la tapa no se cuele de ninguna posición.

23. CHAPARRON

Hace muchos años en una tórrida noche madrileña, cayó a medianoche un tremendo chaparrón. ¿Es posible que 72 horas después ya tuvieran en Madrid un tiempo soleado?

No porque seria de nuevo de medianoche.

24. AÑOS

Yo tenia n años en el año n2, gustaba decir el señor Gómez a sus amigos. ¿Cuándo nació?

Nació en el año n2 - n.

25. CALCETINES

En un cajón dentro de un cuarto oscuro hay 24 calcetines colorados y 24 calcetines azules. ¿Cuál es el mínimo número de calcetines que tengo que sacar del cajón para estar seguros de que saco, por lo menos dos del mismo color?

Tres calcetines.

EL PROCESO

Se esta viendo el proceso de dos hombres acusados de asesinato. El jurado declara culpable al uno e inocente al otro. El juez se dirige al culpable y le dice: “Este es el caso mas extraño que he visto en mi vida, aunque su culpabilidad esta probada y más que probada, la ley me obliga a ponerle en libertad” ¿Por qué?

Porque los dos hombres son hermanos siameses

DE INDIOS

Dos indios americanos, uno es un niño y otro adulto, están sentados en un tronco, le indiecito es hijo del adulto pero el adulto no es el padre del indio pequeño. ¿Por qué?

Porque el adulto es la madre.

PROFESOR VERBATIM I

¿Qué es lo contrario de “no estoy dentro”?

No estoy fuera.

PROFESOR VERBATIM II

¿Qué palabra de quince letras todos los licenciados en filología por la Universidad Complutense de Madrid escriben incorrectamente?

Incorrectamente.

CHARADA I

¿Qué opinas de la carta que recibe un joven de su chica: “tengo que aclararte que yo no hablaba en serio cuando te escribí que no estaba bromeando sobre lo que te dije de reconsiderar mi decisión de no cambiar de idea. Y ahora si hablo en serio”

Que ahora no habla en serio y antes sí.

PROFESOR VERBATIM III

¿Qué palabra de cinco letras se hace mas breve al añadirse mas?

Más breve.

PROFESOR VERBATIM IV

Sin transgredir las reglas de ortografía ¿Qué palabra castellana contiene cuatro consonantes seguidas?

Transgredir, construir...

TAXISTA III

Imagine que es usted taxista. Su taxi es amarillo y negro, y ya tiene siete años. Una de las escobillas del parabrisas esta rota; el carburador necesita una puesta apunto. Aunque el deposito de combustible caben cincuenta litros, solo esta a unos tres cuartos de su capacidad. ¿Qué edad tiene el taxista?

La edad del que cuenta la historia.

PROFESOR ARDID II

El profesor Ardid dice: “la semana pasada conseguí apagar la luz de mi dormitorio y meterme en la cama antes de que la habitación quedase a oscuras. Hay tres metros desde la cama al interruptor de la luz. ¿Cómo pude apañármelas?

Metiéndose en la cama de día.

PROFESOR ARDID III

El profesor Ardid dice: “Siempre que viene mi tía a visitarme a mi estudio tiene que bajar del ascensor cinco plantas antes y subir andando por la escalera hasta mi piso. ¿Podéis explicar por qué?

Es bajita y no llega al botón

PROFESOR ARDID IV

El profesor Ardid dice: “Una noche, aunque mi tío estaba leyendo un libro apasionante, su mujer le apagó la luz. La sala estaba oscura como el carbón, pero mi tio siguio leyendo sin inmutarse. ¿Cómo es posible?

Porque era ciego.

CONICAS

ACTIVIDAD 1

Supón que una recta oblicua r gira sobre otra vertical s tal y como puedes observar en la figura. ¿Qué figura forma?

Dos conos, uno encima de otro.

ACTIVIDAD 2

Como ya sabemos una de las posibles secciones de un cono es una circunferencia. Explica como se puede dibujar una circunferencia que pase por tres puntos no alineados. ¿Es necesario que los puntos estén no alineados?

Se hacen las mediatrices de los segmentos que unen los puntos. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Si están alineados las mediatrices son paralelas y no se cortan.

ACTIVIDAD 3

Si tienes 4 puntos cualquiera, ¿crees que pasara necesariamente por ellos una circunferencia? Razona la respuesta.

No porque las meditrices no se cortan todas en un mismo punto.

ACTIVIDAD 4

En una circunferencia hay dos tipos de ángulos importantes, el ángulo central que es el que tiene sus radios en el centro de la circunferencia como la de la circunferencia del dibujo

Estos ángulos miden lo mismo que el arco.

El otro tipo de ángulos es el inscrito, que es el que tiene el vértice en la propia circunferencia como el del dibujo.

Estos ángulos miden exactamente la mitad de lo que mide el arco.

Pues bien dibujar tres ángulos centrales y tres ángulos inscritos que midan 30º, 90º y 120º. ¿Cuál es el máximo ángulo que puede medir un ángulo inscrito?

Puede medir 180º

ACTIVIDAD 5

Si en un triangulo inscrito en una circunferencia, uno de sus lados es un diámetro. ¿Qué puedes afirmar del triángulo?

Que es un triángulo rectángulo.

ACTIVIDAD 6

A la vista de lo obtenido en la actividad anterior, explica como se podrian dibujar todos los rectangulos de 6 cm. de hipotenusa.

Se dibuja una circunferencia de 3 cm de radio. Despues se toma un punto cualquiera de la circunferencia y se une con los extremos del diametro.

LA ELIPSE

ACTIVIDAD 7

Dibuja dos puntos que equidisten entre si 8 cm., puntos a los que llamaremos focos F y G. Y despues dibuja puntos Q de tal forma que la distancia de Q a F mas la distancia de Q a G sea 12 cm. Dibuja al menos 8 de estos puntos y despues unelos (a mano alzada). La figura que has obtenido es una elipse( o al menos una buena aproximacion a una elipse perfecta)

ACTIVIDAD 8

Haz lo mismo que en la actividad 7 pero ahora la distancia entre los dos focos es 4 cm.

ACTIVIDAD 9

Haz lo mismo que en la actividad 7 pero ahora la distancia entre los dos focos es 2 cm.

ACTIVIDAD 10

Haz lo mismo que en la actividad 7 pero ahora la distancia entre los dos focos es 1 cm.

ACTIVIDAD 11

Escribe en tu cuaderno cuales son las principales diferencias entre las diferentes elipses de las actividades 7,8,9 y 10. Escribe tembien todas las simetrias que puedas encontrar en todas las elipses.

Cada vez se van cerrando mas hasta que en la 9 es una circunferencia y en la 10 no se puede construir.

Los ejes de simetria estan marcados en las actividades 7,8,9 y 10.

ACTIVIDAD 12

En todos y en cada uno de los siguientes apartados dibuja la elipse y escribe en cada caso el eje mayor, el eje menor, la distancia focal y la excentricidad.

a) a = 10 b = 6

b) a = 12 b = 4

c) a = 6 c = 4

d) a = 8 c = 1

e) b = 4 c = 2

f) a = 5 e = 0,2

g) a = 8 e = 0,8

h) e = 0,3 c = 4

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Es decir, un poliedro regular se ve exactamente igual desde cualquier ángulo.

Condiciones que cumplen los poliedros regulares:

En cada vertice han de concurrir al menos tres poligonos (caras).

La suma de los angulos que convergen en un vertice ha de ser menor de 360º.

ACTIVIDAD 1

Toma tres triangulos y unelos de forma que los tres engan un vertice en comun. Une ahora el primer triangulo con el ultimo y completa la figura para obtener un poliedro regular. Anotalo en la tabla los datos que se piden sobre este poliedro.

NOMBRE DEL POLIEDRO	FORMA DE LAS CARAS	Nº DE CARAS	Nº DE CARAS POR VERTICE
Tetraedro	Tri. Equilateros	4	3
Octaedro	Tri. Equilateros	8	4
Icosaedro	Tri. Equilateros	20	5
Cubo	Cuadrados	6	3
Dodecaedro	Pentagonos	12	3

Prueba ahora con mas triangulo, intentando obtener todos los poliedros regulares cuyas caras son triangulos y sigue rellenando la tabla. ¿cuál es el maximo número de triangulos que pueden concurrir en un vertice? ¿Por qué?

Seria 5 triangulos(300º), por que 6 triangulos seria plano(360º)

Intentalo tambien con cuadrados y pentagonos. Completa la tabla.

¿Puede existir un poliedro regular cuyas caras sean hexagonos? ¿por qué?

No, porque lo minimo serian tres y ya seria de 360º y seria plano.

ACTIVIDAD 2

Intenta encontrar una formula que permite calcular el número de aristas de un poliedro regular conociendo el número de caras y la forma de estas.

Número de aristas = forma de la caras x nº de caras / 2

ACTIVIDAD 3

Intenta encontrar una formula que permite encontrar el número de vertices de un poliedro regular conociendo el número de caras, su forma y cuantas concurren en cada vertice.

Número de vertices = forma de las caras x nº de caras / nº de caras por vertice

ACTIVIDAD 4

Rellena el siguiente cuadro e intenta encontrar una formula que relacione el número de caras©, el número de vertices (v) y el número de aristas(A). Preguntale a tu profe si la formula que has encontrado tiene nombre propio.

NOMBRE DEL POLIEDRO	C	V	A
Tetraedro	4	4	6
Hexaedro	6	8	12
Octaedro	8	6	12
Dodecaedro	12	20	30
Icosaedro	20	12	30
Cubo	6	8	12

FORMULA: nº aristas - nº vertices = nº caras - 2.