INTRO. MÉTODOS DE INTEGR. ( II )

En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas, bien de forma directa, bien por cambio de variable.

Se estudiarán las técnicas más elementales para reducir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean: integración por partes, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en fracciones simples y fórmulas de reducción.

Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.

La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida.

La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios transforma éste en una suma de fracciones cuyas integrales pueden solucionarse con facilidad.

Por último, las fórmulas de reducción permiten, en algunos casos, resolver integrales que dependen de un número natural n si se conoce el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior. Así, por ejemplo, a partir de

va a ser posible calcular las integrales de sen2x, sen3x, sen4x, etc.

INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),

v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir,

d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

Cómo se resuelve una integral por partes

Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

Ejercicio: integración por partes

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Resolución:

Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función,

ln x.

Resolución:

Se puede resolver efectuando cambios distintos:

a) ð La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx

ð De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.

Puesto que cos2x = 1 - sen2x,

Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es

b) ð Esta integral admite también la identificación u = sen2x, dv = dx

ð Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2x dx

ð Aplicando la fórmula de integración por partes,

ð Si u = x, du = dx.

ð Volviendo a la igualdad (1)

No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se sustituye cos 2x por su valor, cos2x - sen2x, y sen 2x por el suyo, 2 sen x cos x, se obtiene:

Resolución:

ð Aplicando la fórmula,

Resolución:

ð Llamando u = x, du = dx;

Resolución:

ð Se hace la identificación u = x2; diferenciando, du = 2x dx

ð Aplicando la fórmula,

ð Así,

ð Llevando este resultado a (1),

INTEGRALES DE FUNC. RACIONALES

polinomios.

Integrales racionales inmediatas

Son aquellas que se convierten en suma de integrales inmediatas sin más que dividir p(x) entre q(x). Para ello es preciso que el grado de p(x) sea mayor o igual que el grado de q(x).

Se sabe que en una división D = d · c + r . Dividiendo ambos miembros entre el divisor, d ,

En general, para polinomios, si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto,

Ejercicio: cálculo de integrales de funciones racionales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ð El cociente es 1 y el resto - 1.

Resolución:

ð Se dividen los polinomios.

x2 - 5x + 4 = (x + 1) (x - 6) + 10

El cociente es x - 6 y el resto 10.

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Hay, no obstante, integrales racionales que no se convierten tan fácilmente en inmediatas. Para resolverlas es preciso hacer uso de la descomposición en fracciones simples.

INTEGRALES DE COCIENTES ( I )

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raíces reales, y n es un número natural.

del numerador, p(x), es estrictamente menor que el grado del denominador, pues si el grado del numerador fuese mayor o igual al grado del denominador, se dividiría p(x) entre q(x), obteniéndose un cociente c(x) y un resto r(x), en cuyo caso la integral

es del caso supuesto, ya que el grado del resto, r(x), en una división de polinomios, es estrictamente menor que el grado del divisor q(x).

Método de integración por descomposición en fracciones simples

Para resolver este tipo de integrales

se procede del siguiente modo:

1. Se descompone factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0.

en los ejemplos.

3. Se integran los sumandos que resulten.

Ahora bien, al resolver la ecuación q(x) = 0 es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en tres casos:

_ obtención de raíces simples (ninguna raíz está repetida).

_ obtención de raíces múltiples (al menos hay una raíz repetida).

_ obtención de raíces imaginarias (números complejos).

Hay que estudiar, pues, cada uno de los casos.

A) Se obtienen raíces reales simples.

Si x1, x2, ..., xn son las raíces simples de q(x), se tiene:

A1, A2, ...., An son constantes que se tienen que determinar. Como se aprecia, las integrales que resultan son inmediatas.

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ð Al ser el grado del numerador, 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene:

x3 - 3x2 + 1 = (x2 - 1) (x - 3) + (x - 2)

Tiene, por tanto, dos raíces simples distintas, 1 y - 1.

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también han de serlo:

x - 2 = A(x + 1) + B(x - 1).

Para determinar A y B, se dan valores a x:

si x = 1, 1 - 2 = A(1 + 1) + B(1 - 1), - 1 = 2A, A = - 1/2

si x = -1, - 1 - 2 = A(- 1 + 1) + B(- 1 - 1), - 3 = -2 B, B = 3/2

Debe hacerse notar que, aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este caso se han elegido aquellos que anulan uno de los sumandos para simplificar los cálculos. Éste será un procedimiento muy generalizado.

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B) Se obtienen raíces reales múltiples.

Si a es una raíz múltiple de multiplicidad n (está repetida n veces), la

A1, A2, A3, ..., An vuelven a ser constantes a determinar. De nuevo, las integrales

Ejemplo: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ð Como el grado del numerador, 2, es menor que el del denominador, 3, no se dividen los polinomios.

ð Las raíces del polinomio x3 - 3x + 2 se obtienen aplicando la regla de Ruffini:

x3 - 3x + 2 = (x - 1)2 (x + 2)

El polinomio tiene una raíz simple, - 2, y una raíz múltiple, 1, de multiplicidad dos.

ð La descomposición en fracciones simples de la fracción es:

ð Como en el caso anterior, se igualan los numeradores y se dan valores arbitrarios a x para determinar A, B y C.

x2 + 3x - 5 = A(x - 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)2

Por tanto,

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

C) Se obtienen raíces imaginarias

(el número imaginario i verifica i 2 = - 1).

Cada par de raíces imaginarias conjugadas determina una fracción simple de la

1. Se suma y se resta al numerador Að y se descompone en las dos integrales siguientes:

Estas dos integrales son inmediatas aplicándoles un cambio de variable:

4. Concluyendo:

Obsérvese que C1 + C2 = C

Para este tercer caso sólo se estudiarán las integrales en las que las raíces imaginarias del denominador sean simples.

INTEGRALES DE COCIENTES ( II )

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ð Al resolver la ecuación de segundo grado x2 + 2x + 5 = 0, se obtienen las raíces

- 1 + 2i y - 1 - 2i , por lo que

x2 + 2x + 5 = (x + 1 - 2i) (x + 1 + 2i) = (x + 1)2 + 4 1.

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

Se resuelven por separado las dos integrales.

Por tanto,

d ) Sumando los resultados de b) y c). (C1 + C2 = C),

resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

Resolución:

ð Se calculan las raíces del denominador.

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = - 3, doble. Así,

x(x2 + 6x + 9) = x(x + 3)2

Igualando los numeradores,

2x + 5 = A(x + 3)2 + Bx(x + 3) + Cx

Se dan valores a x:

ð Así,

Resolución:

ð Raíces de (x - 2) (x2 + 2x + 4):

ð Descomposición en fracciones simples:

ð Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3 x2 + 5 = A(x2 + 2x + 4) + (Mx + N) (x - 2)

ð Luego:

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

FÓRMULAS DE REDUCCIÓN

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Como se ve, el subíndice n de In coincide con el exponente de sennx.

Para encontrar la fórmula de reducción de In se integrará por partes:

Pasando - (n - 1)In al primer miembro y despejando In,

In (1 + n - 1) = - cos x · senn - 1x + (n - 1) · In - 2

n · In = - cos x · senn - 1x + (n - 1) · In - 2

Así: I0 = x I1 = - cos x

basta darse cuenta que cos x = sen (90º - x), por lo que

y haciendo el cambio de variable 90º - x = y, dx = - dy.

Así:

Volviendo a hacer el cambio y = 90º - x se tiene:

cos y = cos(90º - x) = sen x;

senn - 1y = senn - 1(90º - x) = cosn - 1x

Concluyendo que:

Sumando y restando x2 al numerador,

La segunda integral se resuelve por partes:

u = x, du = dx

De donde,

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

Operando,

Así, se obtendría, por ejemplo:

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.