CALCULO DIFERENCIAL

TEMA 1 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Teorema del signo.-

Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0)"0, existe un entorno E(x0,) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Si x0=b (respectivamente x0=a) entonces existe  un tal que f toma en (b-,b) (respectivamente (a,a+) el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y x0 " (a,b) entonces existe >0 tal que f es acotada en E(x0,).

Teorema de los ceros , de Bolzano.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, sign f(a) " sign f(b). Entonces existe c" (a,b) tal que f(c)=0.

Teorema de los valores intermedios, de Darboux.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] , entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weiestrass.-

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

TEMA 2 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

LEMA (de monotonía).-

Sea f : I-->R una función. Supongamos que f'(t0)>0 en un punto t0 interior. Entonces existe >0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s" (t0-,t0) y t" (t0,t0+) , es decir, es creciente en t0.

Análogamente si f'(t0)<0 , es decreciente en t0.

Teorema de Rolle.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c(a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Cauchy.-

Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c " (a,b) tal que

[ f(b) - f(a) ] g'(c) = [ g(b) - g(a) ] f'(c) .

Teorema del valor medio ( o de los incrementos finitos).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c(a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f'(c) .

Consecuencias del t.v.m.-

1.- T. del v.m. sobre monotonía.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces

- si f'(t)"0 para todo t(a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].

- si f'(t)"0 para todo t(a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].

- si f'(t)=0 para todo t(a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f'(x) = g'(x) para todo x" (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x" [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea f : [a, b] -->R , x0"(a, b), se dice que f es creciente en x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que

Si x0 - h < x < x0 f(x) < f(x0)

Si x0 < x < x0 + h f(x0) < f(x)

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

Proposición 1 (monotonía).-

Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0 " (a, b) . Entonces :

si f'(x0)>0 , f es creciente en x0.

si f'(x0)<0 , f es decreciente en x0.

Observación : La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x3

Proposición 2.-

Sea f : (a, b)-->R una función , x0"(a,b), f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f '(x0) "0 ( f'(x0) " 0 ) .

Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.-

Definición: Sea f : [a, b] -->R , x0"(a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que " x" E (x0 , h) se tiene que f(x) " f(x0) / f(x) " f(x0).

Condición necesaria.-

f derivable en x0"(a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f'(x0)=0.

Condición suficiente.-

Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0"(a, b) y f derivable en el intervalo (x0-,x0+) contenido en I salvo quizás x0.

a) si f ' (x)>0 , x" (x0-,x0) (f creciente a la izquierda de x0)

f ' (x)<0 , x" (x0,x0+) (f decreciente a la derecha de x0)

entonces f presente un máximo relativo en x0.

b) Análogamente para mínimo relativo.

Proposición 2.-

f : [a, b] -->R , x0"(a, b) tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0) " 0.

Entonces : f''(x0)>0 entonces x0 es mínimo relativo.

f''(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo.

Condicion necesaria y suficiente.-

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0"(a, b) tal que f '(x0)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0) , derivada n-esima de f.

En estas condiciones :

" La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0 ) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

• Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

• Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función f es tal que " x" (a,b) f''(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que " x" (a,b) f''(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Punto de inflexión

Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria.- Si x0 es punto de inflexión entonces f''(x0)=0

Condición suficiente.- Sea x0 / f''(x0)=0, entonces si además f'''(x0)"0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L'Hopital.-

Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando :

i) f,g son derivables en (a,b)

ii) g'(x) " 0 para todo x" (a,b)

f'(x) _

iii) Existe lim ----- = l " R (real o ± ")

x!a g'(x)

iv) lim f(x) = lim g(x) = 0

x!a x!a

f(x)

Entonces existe lim ---- y su valor es l.

x!a g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de inderteminación del calculo de limites : 0/0 , "/" , " - " , 0 * " , 1" , "0 y 00 ..

Representación de funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Propiedades de f obtenidas directamente Caracterización

Recorrido (R) de la función y " R ! Existe x tal que y= f(x)

a) Función par f(- x) = f(x) Eje de simetría OY

b) Función impar f( - x) = - f(x) Centro de simetría el origen

a) Corte con el eje OX f(x)= 0 Ninguno, uno o más puntos

b) Corte con el eje OY f(0) = y Ninguno o un punto

a) Intervalos de positividad f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX

b) Intervalos de negatividad f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX

a) Punto de partida de la gráfica (- ", ?) Cuadrantes II o III

b) Punto de llegada de la gráfica ( + ", ?) Cuadrantes I o IV

a) Asíntotas verticales: x = u
= ±" (a = a, a+, a-)

b) Asíntotas horizontales: y = k
= k

c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n, m=
y b=
, m y n reales

Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas

a) Intervalos de crecimiento f ' > 0

b) Intervalos de decrecimiento f ' < 0

c) Puntos críticos f '(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo

f '(a)=0 y f''(a) < 0 Máximo

a) Intervalos de convexidad f" > 0

b) Intervalos de concavidad f" < 0

c) Puntos de inflexión f"(a)=0 y f"'(a) > 0 Cóncavo - convexo

f"(a)=0 y f"'(a) < 0 Convexo - cóncavo

Añadir gráfico f'',f',f.