L A L O G I C A

La lógica es un lenguaje artificial, pero formal, es decir le interesa la forma, no sólo los contenidos. Es un lenguaje abstracto que quiere analizar los razonamientos. Ahora bien, si por "lenguaje" se entiende un "sistema de signos", hay muchos tipos de lenguajes (no verbales, el arte etc.). Todo ello es estudiado por la ciencia de los signos, llamada semiótica, y se estudia desde tres puntos de vista: el sintáctico, el semántico y el pragmático.

La primera, el sintáctico, son las relaciones de las palabras entre sí.

El semántico son las relaciones de las palabras con su significado.

Finalmente, la palabra es pronunciada por uno y dirigida a otro. Aquí existe una relación a la que se le llama pragmática.

Estos tres tipos de relaciones están vinculados entre sí. La relación pragmática supone la semántica y la sintáctica; La semántica supone la sintáctica. Una palabra sin sentido no puede ser entendida y para que tenga sentido debe estar relacionada con otras palabras. En cambio, la relación sintáctica no supone de las otras dos y es posible la semántica sin entender la pragmática.

La lógica prescinde del aspecto semántico del lenguaje, o sea, de su significado y también prescinde del aspecto pragmático, y lo considera exclusivamente desde un punto de vista sintáctico.

Se sustituye los signos del lenguaje (las palabras) por símbolos, con lo cual se obtiene un lenguaje formal o simbólico. Un ejemplo de esto:

"Filósofo, has de morir". Esta afirmación esconde la siguiente estructura sintáctica:

Todo hombre es mortal;

Los filósofos son hombres;

------------------------------------------

Luego los filósofos son mortales.

O bien:

Si los filósofos son hombres, han de morir;

Los filósofos son hombres;

-----------------------------------------------------

Luego han de morir.

Cambiado a símbolos:

Todo M es P

Todo S es P

------------------------

Luego Todo S es P

O bien:

Si S es Q, S es P

S es Q

-------------------------

Luego S es P.

En la simbolización total de la lógica matemática:

[(A c B) (C c A)] - (C c B) O bien: [(p - q ) p] - q

(lógica de clases) (lógica proporcional)

EL CÁLCULO LÓGICO

De las estructuras formales o sintácticas del lenguaje, solo se estudia las formas o estructuras argumentativas. Russell definió la lógica como "la ciencia de los sistemas deductivos". Otros la definen como la "ciencia de los principios de la validez formal de la inferencia", donde inferencia es lo mismo que razonamiento o argumentación. Esta definición nos da a entender que la lógica sólo está interesada por la validez formal de la inferencia, no por la interpretación semántica. Si en los ejemplos anteriores se interpreta, además de la estructura sintáctica que esconde el "filósofo has de morir" se entiende por ejemplo "humano, has de acertar las quinielas". Ocurre que sobre una estructura formar válida puede hacerse una interpretación semántica falsa. La lógica nos ocupa, pues de la validez formal, no de la verdad o falsedad.

Una complicada argumentación en la que uno termina por perderse, se convierte en un sencillo cálculo. Leibniz fue el que inició la lógica matemática, en donde habló de cálculo para referirse a las argumentaciones.

¿Qué es el cálculo?

Cuando un lenguaje ha sido formalizado y reducido a símbolos, todo se reduce a un conjunto de reglas (sintácticas) que permite operar con los símbolos.

Todo cálculo requiere los siguientes elementos:

Un conjunto de símbolos elementales, tiene que estar bien determinado para que se pueda distinguir si un símbolo cualquiera pertenece o no a un conjunto. Para ello lo más sencillo es enumerarlo o definirlo por unas características claras y excluyente; por ejemplo:

" 2, 4, 6, 8 y 10" o: "el conjunto de los número enteros positivos pares menores que 12".

Un conjunto de reglas de formación o de construcción, que nos indica las combinaciones posible y correcta con los símbolos elementales. Así sabremos si se podemos considerar como una expresión bien formada del cálculo.

Un conjunto de reglas de transformación, transforma una expresión bien construida en otra igualmente bien construida.

HISTORIA DE LA LÓGICA

Podemos distinguir dos etapas o dos tipos de lógica: la lógica antigua y la lógica moderna (matemática).

1.- LA LÓGICA ANTIGUA

Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló ampliamente la silogística que es igual a la actual lógica de clases. Parménides y Platón también realizaron estudios lógicos.

Posteriormente, los ESTOICOS hicieron algunas aportaciones a la lógica: desarrollaron el silogismo hipotético (condicional y disyuntivo) e iniciaron lo que actualmente se llama lógica proposicional.

Los lógicos medievales continuaron estudiando la lógica aristotélica, no añadieron nada sustancial, pero si hicieron notables avances en un campo desconocido en esa época, la semántica.

Los filósofos modernos se interesaron más por la metodología de la ciencia y por los estudios lógicos.

2.- LA LÓGICA MODERNA (MATEMÁTICA)

Hacia la mitad del S. XIX, la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Esto se debió a que se realizaron encuentro de cuatro corrientes distintas:

1.- La lógica aristotélica.

2.- La idea de un lenguaje matemático universal.

3.- Los progresos de álgebra y la geometría.

4.- La concepción de amplios sectores de la matemática como sistema deductivo, lo cual conducía a la necesidad de construir "la lógica de la matemática".

Esta lógica se inicia con The Mathematical Analysis of Logic (1847), de G. Boole, "Ensayo acerca de un cálculo del razonamiento deductivo" que indica como la lógica aparece como un cálculo algebraico; se produce a una completa simbolización; los enunciados lógicos son concebidos como ecuaciones, y se formulan leyes lógicas. Boole desarrolla la lógica de clases y la lógica proposicional. El álgebra se convierte en modelo de la lógica. Y el cálculo que crea Boole es totalmente artificial. Más tarde, Ch.S. Peirce hará aportaciones: la lógica de relaciones, el método de matrices (o tablas de verdad) y nuevos desarrollos de la lógica proposicional.

Así pues, la nueva lógica surge de la aplicación de los métodos matemáticos a la lógica antigua. Por eso se puede decir que se abre un nuevo período, cuando las matemáticas se convierte en objeto de lógica.

Fue el italiano G. Peano quien usó por primera vez la expresión "lógica matemática"; de este modo pudo realizar la axiomatización de la aritmética.

El último período supone la aparición de lógicas divergentes, es decir, lógicas que no respetan alguno de los rasgos característicos de la lógica "clásica".

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica estudia la estructuras formales de la inferencia (razonamiento). La lógica analiza su estructura y señala en qué condiciones es valido el razonamiento. Si volvemos al primer ejemplo observamos que:

Todo hombre es mortal - [Todo] M es P.

En cambio, en la lógica matemática, las posibilidades de analizar son las siguientes:

Lógica de clases:

A c B ("la clase de los hombres se incluye en la cales de los mortales").

Lógica de predicados:

- x (Px - Qx) (para todo objeto x, si x es un hombre, entonces x es mortal).

Lógica proposicional:

- p (todo hombre es mortal).

La lógica proposicional considera las proposiciones como un todo y no las analiza. El análisis de la proposición queda reservado a todo tipo de cálculo lógico.

En una proposición distinguimos unos cuatro tipo de oraciones:

1.- Descriptivas. Ejemplo "Los hombres mueren".

2.- Imperativas. Ejemplo "¡Muere!".

3.- Interrogativas. Ejemplo "¿Ha muerto?".

4.- exclamativas. Ejemplo "¡Ojalá muera!".

La lógica proposicional estudia la estructura formal de la inferencia, tomando las proposiciones (o los enunciados). La lógica trata de enunciar: un enunciado es la proposición en la que se puede decir que es verdadero y es falso, nos informa sobre la realidad.

Ejemplos: "¡No hables!" No es enunciado.

"¿Quién anda ahí?" No es enunciado.

"El presidente de los Estados Unidos es marciano" Si es enunciado.

Clases de enunciados.

- Atómicos: Constan de una sola proposición, no se puede descomponer más.

Ejemplo: " El gato sonrió la ver al ratón".

Se simboliza por letras minúsculas a partir de la p., como son la p,q,r,s,t,etc. (y si es necesario p1,q1,r1,… p2,q2, etc.).

- Molecular: Compuesta por dos o más proposiciones, consta de varios enunciados atómicos, se pueden descomponer.

Ejemplo: "El gato sonrió al ver al ratón y el ratón huyó".

- Conectivas: Son términos que conectan los enunciados atómicos, formando así los enunciados moleculares. Podemos distinguir las siguientes conectivas:

No, y, o, si,… entonces, si y sólo si.

Clases de conectivas:

* Conjunción o conjuntor: ( ). Significa y/e, también en lugar de este símbolo puede aparecer (,). Es un conector que hace que la proposición molecular resultante sea verdadera únicamente si las proposiciones unidas a este también los son. Serán falsa los demás casos. La tabla de verdad es la siguiente:

O bien, si se unen tres proposiciones:

Ejemplo: "Comí y bebí" p q Esto se lee (pe y qu)

"Cantaban, bailaban, jugaban y reían" p q r s

"Llegó, vio y venció" p q r

* Disyunción o Disyuntor: (v) Conector que hace que la proposición molecular resultante sea verdadera simplemente si lo es una de la proposiciones unidas por dicho conector. Este conector tiene como significado: o / u, o…o, o también bien.

La tabla de verdad:

Ejemplo: "Como o bebo" p v q

"O se quedan o se marchan" p v q

" La sopa se servirá fría o caliente" p v q

"O estudia y trabaja o serás un parado" p q v r

* Condicional: (-- ) Conector que hace que la proposición molecular resultante sea verdadera salvo en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Esto tiene como significado: Si… entonces…

Tabla de verdad:

Ejemplo: "Si llueve entonces me mojo" p - q

* Bicondicional: ( <-> ) Conector que hace que la proposición molecular resultante sea verdadera siempre que las proposiciones unidas por dicho conector sean al mismo tiempo verdaderas o falsas. El significado de este conector es: …si y sólo si…, equivale a…, es igual a…, es lo mismo que…, etc.

Tabla de verdad:

Ejemplo: "El agua equivale a H2O" p <-> q

"La democracia sólo existe si y sólo si hay elecciones"

p <-> q

* Negador: ( ¬) Conector que convierte una proposición verdadera en falsa o viceversa. Es decir: Si p es verdadera, no -p será falsa. El negador no es un conector, ya que une dos proposiciones, sino simplemente niega una proposición. Este símbolo significa: No…, no es el caso…, es imposible…, no ocurre….

Tabla de verdad:

O más sencillamente:

- Puede afectar a la primera (¬ p v q).

Ejemplo: "No es cierto que no coma o beba" ¬ (¬ p v q)

- Puede afectar a la segunda (p v ¬ q)

Ejemplo: "Como o no bebo" (p v ¬ q).

- Puede afectar a todas [¬ (p v q )]

Ejemplo: "No es cierto que comas" ¬ (p v q)

- Cuando hay doble negación esto es igual a una afirmación.

Ejemplo: "No es cierto que no dijiste aquello" ¬ (¬ p) = p

Uso de paréntesis y corchetes.

Se utiliza para evitar ambigüedades y detectar la forma del enunciado. Las formas del enunciado. Las formas del enunciado se determina por la forma de las conectiva que está fuera del paréntesis.

¬ [(p -> q) (q r)] -> ¬ (p -> r)

Sólo serán aceptables los esquemas que expresen formas válidas de inferencia. Para probar su validez procederemos a elaborar sus tablas de verdad.

Esta tabla se ha construido de la siguiente forma:

1.- Se construye la columna (a) con toda las variables de la fórmula (2 )

2.- Las columnas (b) y (c) se construyen aplicando la definición del condicional a las variables correspondiente de la columna (a).

3.- La columna (d) se construye aplicando la definición de la conjunción o conjuntor a las columnas (b) y (c).

4.- La columna (e) se construye igual que las columnas (b) y (c), pero tomando las variables p y r de la columna (a).

5.- La columna (f) se construye aplicando la definición del condicional a las columnas (d) y (e).

Método para detectar la validez.

Cualquier razonamiento puede ser traducido a un enunciado condicional donde el antecedente, son las primicias (unidas por la conjunción) y el consecuente la conclusión.

Ejemplo: 1.- "Si llueve me mojo"

2.- "Llueve"

------------------------------------

Conclusión: "Me mojo"

O bien:

1.- p -> q

2.- p

-------------------------

Conclusión: q

Hay, pues, tres tipos de proposiciones:

Tautología ( o "identidades") en donde el resultado final debe ser que todos los valores sean verdaderos.

Contradicciones (o "expresiones inconsistentes"): en ningún caso son verdaderas, o sea, son todas falsas.

Indeterminaciones (o "contingencia"): cuando están mezcladas, o sea, cuando hay falsas y verdaderas.

LÓGICA DE CLASES

La lógica proposicional toma las proposiciones como un todo, no las analizan. Para algunas inferencias el cálculo proposicional se muestra impotente. En el ejemplo del principio nos encontramos con que la estructura siguiente:

"Todo hombre es mortal; los filósofos son hombres; luego los filósofos son mortales",

sólo puede ser formalizada en lógica proposicional del modo: p,q,r. Es decir: no hay conexión alguna entre las proposiciones, por lo cual se carece de estructura de inferencia. Si el razonamiento se formula en forma condicional, la estructura del razonamiento sí puede ser expresada en el calculo proposicional.

La lógica de clases desciende hasta un análisis de la estructura externa de la proposición y consigue lo que la lógica proposicional no puede hacer: establecer la conexión entre las proposiciones. La lógica de clase establece:

[(A c B ) (C c A )] -> (C c B )

" Si la clase de hombres A se incluye en la clase de los mortales B y de la de los filósofos C se incluye en la de los hombres A, entonces la clase de los filósofos en la clase de los mortales".

¿QUÉ ES UNA CLASE?

Clase es un conjunto de individuos que tienen, al menos, una propiedad en común. "Los hombres", "Los filósofos" y "Los limpiachimeneas" son clases. Estas clases tienen en común un artículo indeterminado "Los", llamado conjuntador que se simboliza de la siguiente forma: x, y, z; y un predicado (f,g,…). Por tanto una clase se simboliza así:

X[f(x)]

Que se lee de la siguiente manera "los x tales que son x son f ". Todo individuo pertenece por lo menos a una clase. El símbolo de pertenencia es: . Así, x A se lee: "x pertenece a la clase A". El símbolo de no pertenencia es lo mismo que el de pertenencia pero tachado:

Se llama clase universal a la clase más general a la que pertenecen las clases de individuos a los que nos estamos refiriendo. Es la simboliza así: 1 (un uno con un punto encima). En cambio, se llama clase vacía aquella que carece de individuos posibles y se le simboliza con un cero con un punto encima.

En la lógica de clase se emplean los predicados extensionalmente. No interesa la comprensión de un predicado, sino su extensión. Por ejemplo, en la lógica de clase no interesa en qué consiste ser "filósofo", sino que hay un conjunto de individuos que forma la clase de "los filósofos" que están en relación con otras clases. Por ejemplo, la de "los mortales" y la de "los hombres".