CAPITULO II

LA LÓGICA Y COMPUERTAS LÓGICAS BÁSICAS.

2.1 GENERALIDADES.

La lógica es la ciencia del razonamiento que nos permite hacer deducciones. En la electrónica los circuitos encargados de hacer deducciones lógicas son los circuitos lógicos. Explique­mos brevemente un ejemplo qué hacen los circuitos lógicos?

"Si usted se encuentra en un de los pasillos de un edificio y acciona el pulsor de llamada de los ascensores, en este momen­to aparecer el que se encuentre más cerca; ya dentro de la cabina cada pasajero pulsa el botón del piso deseado; el ascen­sor se detiene en los pisos en un orden lógico, sin tener en­cuenta el orden en que fueron accionados los pulsadores ante­riormente. Esa inteligencia se habilita a la máquina a tomar decisiones en el resultado de un pequeño número de circuitos elementales denominados circuitos lógicos.

de acuerdo con la definición anterior que hemos dado a los circuitos lógicos podemos decir que estos circuitos encuentran aplicación en muchos campos como: La telegrafía, la telefonía, los procesos industriales, etc. en estos campos normalmente encontramos un computador digital (máquina hecha a base de circuitos lógicos) que se programan de manera tal que en cada circunstancia esté capacitada para tomar las decisiones lógicas correspondientes. en un proceso industrial, por ejemplo, el computador se programa para manejar todo un ciclo de producción y poder sacar en el menor tiempo posible la mayor cantidad de productos y al menor costo.

En general podemos decir que la aplicación de los computadores es casi infinita en nuestra vida moderna. En un ferrocarril, por ejemplo, el movimiento y el uso de los trenes debe estarse controlando permanentemente para transportar la máxima cantidad de mercancía en un tiempo aceptable y con el mínimo costo.

En una aerolínea, el horario de operaciones de tráfico aéreo, movimiento de tripulación y mantenimiento de las aeronaves es un severo problema que puede agravarse por circunstancias que no puede planearse en detalle, este problema debe tratarse necesa­riamente por computador.

La lógica electrónica sólo conoce dos posibilidades SI y NO; FALSO y VERDADERA, aquí no podemos decir que una proposición es QUIZA VERDADERA o QUIZA FALSA.

De acuerdo a esto encontramos tres tipos de proposiciones:

a. - PROPOSICIONES DE VERACIDAD DEMOSTRABLE.

b. - PROPOSICIONES EXPERIMENTALMENTE VERDADERAS.

c. - PROPOSICIONES DE VERACIDAD EVIDENTE.

El primer tipo de proposiciones como su nombre lo indica será verdadera y siempre y - cuando afirmemos la veracidad de las premisas, por ejemplo, si es cierto que:

"los alumnos del ITEC son responsables".

Y si también es cierto que:

"Juanito es egresado del ITEC"

Por lógica deducir que: "Juanito es responsable"

Esta última preposición es de tipo veracidad demostrable.

El segundo tipo de preposiciones como su nombre lo indica están basados en la experiencia. Por ejemplo, podemos afirmar que la preposición:

"Todos los seres vivos tienen fin"

Es una preposición experimentalmente verdadera.

"Los niños recién nacidos caminan".

Es una preposición experimentalmente falsa.

Las terceras como su nombre lo indican son algo evidente que podemos ver y apreciar en un instante y firmarlo; por ejemplo:

"El tablero es verde"

"El salón es blanco".

En la electrónica los símbolos elementales de FALSO y VERDADERO se pueden relacionar con los niveles de voltaje diferentes. Tendremos siempre en cuenta que.

VERDADERO = 1 = VOLTAJE POSITIVO

FALSO = 0 = VOLTAJE NEGATIVO

Como relacionamos el voltaje más positivo con el "1", hablamos de "Lógica positiva" en caso contrario hablamos de lógica nega­tiva.

2.2 CONECTIVOS BINARIOS.

el interés de la lógica aparece, cuando reunimos varias preposi­ciones para demostrar en base a la veracidad o falsedad de éstas preposiciones otras preposiciones.

Los elementos de tipo binario relacionan solo dos preposiciones componentes. A cada conectivo binario corresponde una asigna­ción única de valores de verdad de las 4 combinaciones posibles de dos preposiciones componentes. Hay 16 formas de arreglar los "0" y "1" de manera que hay 16 conectivos binarios posibles tal como se tabulan en la tabla 2.1.

Ya que hemos encontrado todo los posibles conectivos binarios. Estudiemos detenidamente los más conocidos.

2.2.1 CONECTIVO AND.

Este conectivo relaciona dos preposiciones mediante la conjugación Y. La veracidad o falsedad de la propo­si­ción resultante depende de la veracidad o falsedad de las preposiciones componentes.

TABLA 2.1

En este caso concreto para que sea verdad la proposi­ción resultante, deben simultáneamente ser verdaderas las preposiciones componentes. Analicemos con un ejemplo:

"María dice que compra el vestido si tiene plata y si tiene tiempo". Veremos que María únicamente estrena­rá, si se cumplen las dos proposiciones a la vez. Para analizar simbolicemos las proposiciones por medio de letras.

"Comprar el vestido" = V

"Tener plata" = P

"Tener tiempo" = T

Y representemos simbólicamente la expresión de la ecua­ción:

V = P.T

Como decíamos antes si una proposición es verdadera la presentaremos con "1" lógico; luego si P = 1 esto quiere decir que tener plata es verdadero. si T = 0 esto implica que tener tiempo es falso. Las variables P y T de las que depende el comprar el vestido pueden tomar 4 posibilidades combinaciones que representare­mos en la tabla 2.2. Esta corresponde a la tabla de verdad del conectivo AND, que simbólicamente lo repre­sentamos por el "." (punto).

TABLA 2.2

Si P = 0 y T = O no se podrá comprar el vestido puesto que no se tiene ni plata ni tiempo. etc.

2.2.2 CONECTIVO OR.

Este tipo de conectivo relaciona dos proposiciones mediante la disyunción o. Para que la proposición resultante sea verdadera se requiere que al menos una de las proposiciones componentes lo sea. Veámoslo más claramente con el siguiente ejemplo:

"Juan dice que comprará la casa si se gana la lotería o si la regalan la plata".

El comprará la casa si se gana la lotería; también podrá comprar la casa si le regalan la plata; con mayor razón comprará la casa si se gana la lotería y le regalan la plata. podemos mostrar en la tabla 2.3 la representación simbólica del conectivo OR, tenien­do en cuenta que las preposiciones las representamos así:

Ganarse la lotería = G

Regalarle la plata = R

Comprar la casa = C

C = G + R

TABLA 2.3

En la tabla 2.3 hemos tenido en cuenta que si G = 1 esto implica que "Ganarse la lotería" es verdadero.

2.2.3 CONECTIVO EX-OR. (OR - exclusivo)

Este tipo de conectivo relaciona dos preposiciones mediante el operador + que significa "OR EXCLUSIVO", esto quiere decir que la preposición resultante será verdad si una de las preposiciones componentes o ex­clusivamente la otra son verdaderas. Veamos el si­guiente ejemplo:

"Jorge dice que el viernes por la noche irá al cine pero no irá a bailar o irá a bailar pero no irá al cine". Es lógico pensar que no podrá ir a las dos partes a la vez, la una excluye a la otra, porque si va al cine no podrá ir a bailar, o si va a bailar no puede ir al cine.

Esto se puede representar en la tabla 2.4

Ir al cine = C

Ir a bailar = B

TABLA 2.4

2.2.4. CONECTIVO NEGADOR.

El conectivo negador nos aclara que para cualquier preposición positiva hay una preposición negativa correspondiente .

Por ejemplo si decimos: "Saldremos esta noche si no tenemos inconvenientes" y si llamamos.

Salir esta noche = S

Tener inconvenientes = T

podemos mostrar en la tabla 2.5 la representación simbólica .

TABLA 2.5

Si T = 0 quiere decir que tener inconvenientes es falso, luego podemos salir esta noche y S = 1. Si T = 1 quiere decir que no tener inconvenientes es ver­dadero, luego no podemos salir esta noche y S = 0.

2.2.5 CONECTIVO EQUI.

Además de los conectivos enunciados encontramos el conectivo EQUI, simbolizado por . .

La expresión Y = A . B indica que la preposición resul­tante y, será verdadera.

Si A y B tienen el mismo valor de verdad, es decir, que A es verdad si y solo si B es verdadero. En la tabla 2.6 se tabula este conectivo.

TABLA 2.6

Al comparar la tabla 2.4 y la tabla 2.6 podemos apre­ciar que el conectivo EQUI es negado del EX-OR y vice­versa.

2.3 EJEMPLOS DE DISEÑO.

Para analizar la relación existente entre los circui­tos lógicos y las decisiones lógicas se considera un problema de diseño relativamente simple.

Deseamos diseñar una red lógica para activar una alar­ma, necesaria en todos los automóviles y que nos indi­ca que los cinturones de seguridad no se han abrocha­do, que la llave de encendido se está dejando en el contacto o que las luces del automóvil están encendi­das cuando este se encuentra desocupado.

Se describe el funcionamiento del sistema de la si­guiente forma:

"la alarma suena si al llave está en el contacto cuan­do la puerta está abierta y el motor está funcionando; o si las luces están encendidas cuando la llave no está en el contacto, o si el cinturón de seguridad del conductor no está ajustado cuando el motor esta funcionando; o si el asiento del pasajero está ocupado y su cinturón de seguridad no se ha ajustado cuando el motor está funcionando".

Se cuenta con un conjunto de sensores para proporcio­nar las entradas a la red. Existen interruptores que se activan cuando el motor se enciende. La llave está en el contacto, las luces están encendidas, el asiento se encuentra ocupado y si se ajusta el cinturón de seguridad correspondiente.

Debemos especificar las proporciones:

La alarma suena: A

el motor se enciende M

La puerta está abierta P

Las luces están encendidas L

La llave está en el contacto K

El asiento del pasajero está ocupado R

El cinturón del pasajero está abrochado BR

El cinturón del conductor está abrochado Bc

Todas las proposiciones pueden ser verdaderas o fal­sas.

Si consideramos la proposición compuesta:

"La puerta está abierta y el motor está funcionando "

La podemos presentar simbólicamente P.M.

La verdad de la proposición compuesta depende de la veracidad de las proposiciones componentes.

Representemos mediante una ecuación funcional de ver­dad, la información contenida en la especificación verbal del sistema de alarma.

ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³ ³

³ A = K.P.M + LK + BC M + R BR M ³

³ ³

ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

Realizamos un ejemplo más general:

En todos los computadores digitales se debe tomar medidas para la detención del superflujo. Esto ocurre cuando una operación aritmética produce un resultado que es demasiado grande para que la máquina pueda manejarlo correctamente. Cuando esto sucede, se debe generar una señal que puede, por ejemplo, hacer que la computadora cambie del programa regalar a una rutina especial que resuelve esta contingencia. Para ejem­plo, supondremos que los operadores se sitúan en re­gistros de almacenamiento temporal, con una capacidad fija de N dígitos. Luego la suma de dos números de N dígitos puede producir un número de N + 1 dígito, demasiado grande para que se pueda almacenar, en este caso tendremos sobreflujo aditivo. En este ejemplo no tendremos en cuenta el superflujo de multiplicación y división.

Si se toma en cuenta la adición de números positivos, el superflujo se indica mediante un carry del dígito más significativo; pero si se considera la suma o resta de números negativos, la situación se vuelve más complicada. como se vio en el capitulo I la resta se logra en los computadores sumando los complementos; y los números negativos se representan a menudo mediante sus complementos.

Cuando se usa la aritmética de complementos, la rela­ción entre el superflujo y el carry del dígito más significativo depende de la operación y de los signos de los operadores.

Vamos a suponer las siguientes proposiciones como verdaderas para una máquina que utiliza aritmética de complementos:

1) Cuando la operación es una suma y los dos su­man­dos son positivos, sobreflujo se indica por la ausencia de "Carry" desde el dígito más signifi­cativo.

2) Cuando la operación es una suma y los dos suman­dos son negativos, el sobreflujo se indica por la ausencia de "Carry" desde el dígito más sig­nificativo.

3) Cuando la operación es una resta y el mi­nuendo es positivo y el substraendo negati­vo, el sobre­flujo se indica mediante un "Ca­rry" desde el dígito más significativo.

4) Cuando la operación es una resta y el mi­nuendo es negativo y el substraendo positi­vo, el sobre­flujo se indica por ausencia de "Carry" desde el dígito más significativo.

Asignaremos las proposiciones componentes de la si­guiente manera:

La operación es una suma A

La operación es un resta S

El signo del primer sumando es negativo N

El signo del segundo sumando es negativo X

El signo del minuendo es negativo Y

El signo del substraendo es negativo Z

Hay un carry desde el dígito más significativo C

Se produce error de sobreflujo E

Solamente se incluye proposiciones que indican cuando los signos son negativos. luego si tenemos la propo­sición el signo del primer sumando es positivo, se puede presentar: W~

Para simplificar cada uno de los casos de sobreflujo se designará como E1, E2, E3 y E4.

La primera preposición establece que existirá sobreflujo cuando la operación es una suma y los dos sumandos son positivos y existe un carry desde el dígito más significativo.