Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x,    f ' (x) = cos x
si g(x) = cos x,  g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = cos x,   g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

                                          (sec x)' = sec x · tg x

Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1,            f ' (x) = 0
Si g(x) = sen x,   g ' (x) = cos x
Por la derivada de un cociente,

 (cosec x)' = - cosec x · cotg x  

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x,    f ' (x) = - sen x
Si g(x) = sen x,  g ' (x) = cos x

Por tanto,

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2,
f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante)

 Si g(x) = x²,   g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x,
f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg²x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg²x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1].

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

        x ---> f (x) = sen x ---> f^-1
[f (x)] = f^-1(sen x) = arc sen (sen x) = x

Derivada de la función arc sen x

Si y = arc sen x = f ^{- 1}(x), aplicando f,
f(y) = f ( f ^{- 1}(x)) = x, es decir, sen y = x.

De la conocida fórmula sen²y + cos²y = 1, cos²y = 1 - sen²y --->

Derivada de la función arc cos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,



 

Derivada de la función arc tg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

y = arc tg x,  x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc cotg x

La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.
Si y = arc cotg x,  x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivada de la función arc sec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

y = arc sec x,  x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

         1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y  (1)

Derivada de la función arc cosec x
Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,
           y = arc cosec x,  x = cosec y
Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y  (1)

4. Derivadas:

Podemos obtener, con las relaciones de factorización de sumas y diferencias, de forma sencilla, las funciones derivadas de las funciones circulares desde la definición de derivada:

Derivada del seno:

Derivada del coseno:

Se tienen, en definitiva, las derivadas

Las derivadas de las restantes funciones circulares se obtienen usando las reglas elementales de derivación. Veamos el caso de la derivada de la tangente: