HORMIGÓN

CÁLCULO DE ROTURA:

HORMIGÖN: fck

fcd =

c

H-200 ! fck = 200 K/cm2. fcd = Resistencia de cálculo del hormigón.

H-250 ! fck = 250 K/cm2 fck = Resistencia característica del hormigón

c = Coeficiente de seguridad para el hormigón.

ACERO : fy(k)

fyd = s

AEH-400-N ! fy(k) = 4.100 K/cm2 fyd = Resistencia de cálculo de acero.

AEH-500-N ! fy(k) = 5.100 K/cm2 fy(k) = Resistencia de cálculo de acero.
AEH-600-N ! fy(k) = 6.100 K/cm2 s = Coeficiente de seguridad o del acero.

AEH-480-N ! fy(k) = 4.800 K/cm2

ACCIONES :

fd = Fo * f

Normales: Nd = No* f Fo = Acción real o característica

Flectores: Md = Mo* f f = Coeficiente de mayoración de acciones.

Cortantes: Vd = Vo* f

	c	s	f
CONTROL NORMAL	1,5	1,15	1,8	1,6	1,5
“ INTENSO	1,4	1,1	1,7	1,5	1,4
“ REDUCIDO	1,7	1,2	-	1,8	1,7
			DAÑOS IMPORTANTES	DAÑOS MEDIOS	DAÑOS MATERIALES

FLEXION SIMPLE:

Hipotesís de cálculo en flexión simple.

1ª - El acero sufre la misma deformación que el hormigón que lo envuelve, es

decir, que existe adherencia perfecta entre acero y hormigón.

2ª - HIPOTESIS DE BERNOULLI: “Las secciones planas siguen siendo planas

después de la deformación, salvo en vigas de gran canto (que no

estudiamos en la escuela). L > 2h siendo L= luz y h = canto

3ª - Los materiales se comportan según los diagramas que figuran en la norma

EH-91 y que son:

ACERO

fyd

y 10 ‰ deformación de rotura del acero

y = deformación de agotamiento del acero

y = fyk / Ea

HORMIGÓN

0,85* fcd

2 ‰ 3,5 ‰

Viene de lo que se llama factor reológico del hormigón (se estima que el hormigón

durante el primer año puede perder un 15 % de su resistencia inicial)

FLEXION SIMPLE Método Parábola-Rectángulo

H d

As

d´

b

b = ancho

H = canto

d= canto útil (distancia desde la fibra mas comprimida del hormigón hasta la

armadura de tracción)

d´= recubrimiento

As = área de la armadura de tracción.

As´ = área de la armadura de compresión (si hubiera).

Us = capacidad mecánica o fuerza ejercida por la arm. de tracción.

Us ´= capacidad mecánica o fuerza ejercida por la arm. de compresión.

MOMENTO LÍMITE DE UNA SECCIÓN:

Es el momento máximo que puede absorber una sección de hormigón armado con armadura sencilla (sin armadura de compresión, sólo de tracción) aprovechando la máxima capacidad de ambos materiales, es decir, trabajando al máximo el hormigón y el acero.

Hormigon ---- » 0,85* fcd

Acero ---- » fyd

PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DEL MOMENTO LÍMITE

3,5 ‰ y

1.- = X lim

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

2.- Us lim = Uc1 + Uc2

3,5 ‰ 2 ‰ h2

Xlim h2 h1 = X lim — h2

US lim

3.- AS lim =
fyd

4.- Mlim = Uc1 * z1 + Uc2 * z2

h1

z1 = d - —

2

z2 = d - h1 - (3/8* h2)

FLEXION SIMPLE Método Simplificado-Rectángular

H d

As

d´

b

3,5 ‰ y

1.- = X lim

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

2.- Us lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim

US lim

3.- AS lim =
fyd

4.- Mlim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d-0,4* X lim)

FLEXION SIMPLE Problemas de Proyecto

Datos: fck fyk c s f Mo Incógnitas: As y As´

PASOS:

1.- Mayoramos el momento Md = Mo * f

2.- Calculamos el momento límite de la sección.

3,5 ‰ y

= X lim

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

M lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d-0,4* X lim)

3.- Comparamos Md con Mlim y puede surgir 3 casos:

a) Md < Mlim Us ´ = 0 (no hace falta arm. de compresión pero

pondremos ( 2 Ø 12 MONTAJE)

Md = 0,85* fcd* b*y* ( d - y/2 ) y

Us lim = 0,85* fcd* b* y

US lim

AS lim =
fyd

b) Md > Mlim Us ´ " 0

Md - M lim

Md - M lim = Us ´ * (d - d´) Us ´ =

d - d´

Us lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim + Us ´

US lim US ´lim

AS lim = AS ´lim =
fyd fyd 4000

c) Md = Mlim Us ´ = 0

Us lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim

US lim

AS lim =

fyd

(caso poco frecuente, es decir, rarísimo)

DIMENSIONAR CON CANTO MÍNIMO dmin o H

Obligamos a que Md = M lim

3,5 ‰ y

= f1 (X lim ,d) = 0 (1.)

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

Md = M lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d-0,4* X lim) f2 (X lim ,d) = 0 (2.)

Resolvemos el sistema (1.) y (2.) y sacamos X lim ,d

FLEXION SIMPLE Problemas de Comprobación o Peritación

Datos: fck fyk c s f As As´ Incognitas: Mu

Mu = Es el momento máximo que puede aguantar una sección de hormigón armado conocidas las armaduras As y As´

Mo = Es el momento de servicio

Mu

Mo =

Mf

PASOS:

1.- Calculamos Us y Us ´ (que son las capacidades mecanicas de las armaduras)

US = AS * fyd US´ = AS ´* fyd ( 4000 )

2.- Calculamos Us lim

3,5 ‰ y

= X lim

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

Us lim = 0,85* fcd* b*0,85* X lim

3.- Comparamos Us con y puede surgir 3 casos:

a.) Us < Us lim Mu < M lim Agotamiento del Acero

a . 1 Us = 0 a . 2 Us " 0

Us = 0,85* fcd* b*y y Us = 0,85* fcd* b* y´+ Us ´ y´

Mu = 0,85* fcd* b*y* ( d - y/2 ) Mu = Us ´*(d - d´) + 0,85* fcd* b*y´* (d - y´/2)

Mu Mu

Mo = f Mo = f

b.) Us = Us lim Mu = M lim Agotamiento de ambos materiales a la vez

Mu = 0,85* fcd* b*0,8* X lim* ( d- 0,4* X lim)

Mu

Mo = f

c.) Us > Us lim Mu > M lim Agotamiento del hormigón.

c. 1- Us ´ " Us (Us -- Us lim ) (Sobra armadura de compresión)

Mu = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d- 0,4* X lim) + (Us - Us lim ) * (d - d´)

Mu

Mo = f

c. 2- Us ´ < Us (Us -- Us lim ) (Sobra armadura de tracción)

Mu = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d- 0,4* X lim) + [Us ´* (d - d´)]

Mu

Mo = f

MOMENTO DE ROTURA DE UNA SECCIÓN

Caso A. Sin armadura de compresión Us ´ = 0

rot = Te la tienen que dar, si no te dan la rot pondremos rot = 1,25* fck

As* fyk = rot * b* yrot yrot

Mrot = rot * b* yrot * (d - yrot / 2)

Caso B. Con armadura de compresión Us ´ " 0

As* fyk = rot * b* y´rot + As ´* fyk y´rot

Mrot = rot * b* y´rot * (d - yrot / 2) + [ As ´* fyk * (d - d´)]

SEGURIDAD (S) CON LA QUE SE HA DIMENSIONADO UNA

SECCION

Mrot

S =

Mo

FLEXIÓN Y COMPRESIÓN COMPUESTA

Una sección trabaja a flexión o compresión compuesta cuando esta sometida a una solicitación normal de compresión No y a un momento flector Mo. Esto equivale a un normal descentrado, es decir, aplicado en un punto que no este aplicado en el centro de gravedad. No

d2

A2

eo

No

H d = e

A1

d1

b

Lamamos flexión compuesta cuando la fibra neutra corta a la sección y la divide en tracciones y compresiones. Llamaremos A1 = Armadura de tracción.

A2 = Armadura de tracción.

Compresión compuesta es cuando la fibra neutra no corta a la sección y por tanto toda la sección trabaja a compresión. Llamaremos A1 = Armadura más comprimida

A2 = Armadura menos comprimida.

FLEXION COMPUESTA

Datos: fck fyk c s f Mo No Incognitas: A1 A2

Es el caso de grandes excentricidades.

En el examen empezamos por flexión compuesta y si la armadura sale negativa pasaremos a compresión compuesta.

PASOS:

1.- Calculamos la excentricidad ( eo ) respecto del centro de gravedad:

Mo

eo =

No

2.- Mayoramos el Axil ( Nd )

Nd = No * f

3.- Obtenemos la excentricidad de las fuerzas respecto de la armadura de tracción

( e )

e = eo + h/2 - d1

4.- Trasladamos las fuerzas Nd con el momento que produce (Md ) a la arm. de

tracción.

Md = Nd * e

5.- Calculamos el M lim de la sección:

3,5 ‰ y

= X lim

Xlim d - Xlim

fyk

Donde y = Ea

M lim = 0,85* fcd* b*0,8* X lim*(d-0,4* X lim)

6.- Comparamos Md con Mlim y puede surgir 3 casos:

(Tanto en flex. compuesta como en compr. Compuesta

a) Md < Mlim U2= 0 (0.05* Nd ) la capacidad mecánica de las armaduras es el 5 % de Nd)

Md = 0,85* fcd* b*y* ( d - y/2 ) y

Us = 0,85* fcd* b* y U1 = 0,85* fcd* b* y - Nd

U1 U2

A 1 = A 2 =
fyd fyd 4000

b) Md > Mlim U2 " 0

Md - M lim

U2 =

d - d2

Us= 0,85* fcd* b*0,8* X lim + U2 U1= 0,85* fcd* b*0,8* X lim + U2 - Nd

U1 U2

A1 = A2 =
fyd fyd 4000

c) Md = Mlim U2= 0 (0.05* Nd )

Us = 0,85* fcd* b*0,8* X lim U1 = 0,85* fcd* b* 0,8* X lim - Nd

U1 U2

A 1 = A 2 =
fyd fyd 4000

EN CUALQUIERA DE LOS CASOS ANTERIORES, SI

U1 SALE NEGATIVO PASAMOS A COMPRESIÓN COMPUESTA

COMPRESIÓN COMPUESTA

Es el caso de pequeñas excentricidades en donde toda la sección

trabaja a compresión. Llamaremos A1 = Armadura menos comprimida

A2 = Armadura más comprimida.

Datos: fck fyk c s f Mo No Incognitas: A1 A2

PASOS:

1.- Calculamos la excentricidad ( eo ) respecto del centro de gravedad:

Mo

eo =

No

2.- Mayoramos el Axil ( Nd )

Nd = No * f

3.- Obtenemos la excentricidad de las fuerzas respecto de la armadura más

comprimida ( e2 )

e 2 = h/2 - eo - d2

4.- Trasladamos las fuerzas Nd con el momento que produce (Md ) a la arm. de

tracción.

Md = Nd * e2

5.- Calculamos el M máx que es capaz de absorber el hormigón junto con la arm.

más comprimida.

Mmáx = 0,85* fcd* b* h* ( h/2 - d 2)

6.- Comparamos Md con Mmáx y puede surgir 3 casos:

(Tanto en flex. compuesta como en compr. Compuesta

a) Md < Mmáx U1= 0 (0.05* Nd ) la capacidad mecánica de las armaduras es el 5 % de Nd)

Md = 0,85* fcd* b*y* (y/2 - d2) y

( Si U2 sale negativa, quiere

decir que no hace falta arnadura

U2 = Nd - 0,85* fcd* b* y ni arriba ni abajo, pondremos

0,05 Nd )

U1 U2

A 1 = A 2 =
fyd 4000 fyd 4000

b) Md > Mmáx U1 " 0

Md - M máx

U1 =

d - d2

U2= Nd - 0,85* fcd* b* h - U1

U1 U2

A1 = A2 =
fyd 4000 fyd 4000

c) Md = Mlim U1= 0 (0.05* Nd )

U2 = Nd - 0,85* fcd* b * h

U1 U2

A 1 = A 2 =
fyd 4000 fyd 4000

TANTO EN FLEXIÓN COMPUESTA COMO EN COMPRESIÓN COMPUESTA EN CASO DE HORMIGONADO VERTICAL (PILARES) CONSIDERA LA NORMA QUE:

fcd = 0,9 * fck / c

COMPRESIÓN SIMPLE

Se produce cuando sobre la sección actua un axil en el centro de gravedad.

No " 0

Mo = 0

Lo haremos como compresión compuesta añadiendo una excentricidad mínima que sera el mayor de estos dos valores:

h / 20

eo "

2 cm.

TEORÍA

H - 175 INDICA que la resistencia característica (fck) es de 175 K/cm2.

u es la deformación de aplastamiento o de rotura del hormigón a flexión y su

valor normalizado es 3.5 ‰.

fcm es la resistencia estimada del hormigón.

b en teoría clásica es la tensión admisible del hormigón y su valor aproximado se

obtiene dividiendo la rot entre un coeficiente de seguridad n = 3.

fck

fcd es la resistencia de cálculo del hormigón y su valor se obtiene fcd = --------

c

Eb es el módulo es elasticidad del hormigón.

Ea

n en teoría clásica es el coeficiente de equivalencia, y su valor se obtiene n =

Eb

AEH-500-N indica que la resistencia característica de este acero es de 5.100

K/cm2.

fyk es la resistencia característica o límite elástico del acero.

s es el coeficiente de seguridad del acero y su valor de 1,15 corresponde a nivel

de control NORMAL.

S es la deformación del acero.