ÍNDICE

Elementos fundamentales

Ángulos

Triángulos y cuadriláteros

Áreas y volúmenes

Poliedros

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA

Conceptos fundamentales

Punto ·

Recta

Plano

Semirecta : porción de recta limitada en un extremo por un punto

*

Semiplano : es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas .

semiplano A

semiplano B

Segmento : porción de recta comprendida entre dos de sus puntos , llamados extremos .

A* *B

Rectas paralelas : son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en común .

Rectas secantes : son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones .

Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares , que dividen al plano en cuatro regiones iguales .

Mediatriz de un segmento : es la recta perpendicular trazada en su punto medio .

a* *b

Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento .

Ángulo : es una región del plano limitada por dos semirectas , que se llaman lados , y que tienen un punto común que se llama vértice .

lado

vértice *

lado

Clasificación de los ángulos :

- recto : cuando los dos lados son perpendiculares

- agudo : la abertura de los lados es menor que un ángulo recto

- obtuso : la abertura de los lados es mayor que un ángulo recto

Bisectriz de un ángulo : es la semirecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales .

Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo .

Linea poligonal : es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos .

B

D

C

A

Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero , la linea poligonal se llama cerrada , y en caso de que no coincidan , abierta .

Polígono : es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada .

A

B

C

D

Los elementos de los polígonos son :

a) Lados : segmentos que limitan el polígono , AB , BC , CD , DA .

b) Perímetro : suma de las longitudes de los lados .

c) Vértices : Puntos donde se unen dos lados consecutivos , A , B , C , D . En todo polígono el nº de lados y vértices coincide .

d) Diagonales : son los segmentos que unen vértices no consecutivos .

e) Ángulos interiores : son los ángulos formados por lados consecutivos .

f) Ángulos exteriores : son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo .

A Ángulo interior = ABC

B Ángulo exterior = CBF

F

C

Clasificación de los polígonos :

a) Por el número de lados :

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

b) Por su forma :

Equilátero : lados iguales

Equiángulo : ángulos iguales

Regular : lados y ángulos iguales

Irregular : lados y ángulos desiguales

Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella . Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono .

Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes ( tocan en un solo punto ) a la misma . Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono .

Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia

o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágono .

Medida de ángulos

Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos , se definen otro tipo de unidades :

a) División sexagesimal

La unidad que habitualmente se utiliza es el grado centesimal , que es la noventava parte de un ángulo recto . Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 = 360º

Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal . 1º = 60'

Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal . 1' = 60''

b) División centesimal (no se suele utilizar)

La unidad es el grado centesimal , que es la centésima parte de un ángulo recto . Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100g = 4·100g = 400g

Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal . 1g = 100m

Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal . 1m = 100s

c) Radián

Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice .

Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos . Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes , es decir :

1 revolución = 360º = 2· radianes

Si hacemos una regla de tres :

360º 2· radianes

xº 1 radián

x = 360/2· = 57'29º

En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres , siempre dejando el valor de  sin operar , por ejemplo :

¿ Cuántos radianes son 30º ?

360º 2· radianes

30º x radianes

x = 30·2·/360 = /6 radianes

¿ Cuántos grados son /4 radianes ?

360º 2· radianes

x /4 radianes

x = (360·/4)/2 = 45º

Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal

La medida de un ángulo puede venir expresada en grados , minutos y segundos , o en una sola unidad :

8º 30' 36'' 8'51º

Forma compleja Forma decimal

Veamos como se pasa de una a otra :

8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º

8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''

Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales

a) Suma

Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados , minutos con minutos y segundos con segundos .

32º 15' 6''

+ 2º 8' 29''

34º 23' 35''

Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60 , lo pasamos a la unidad inmediatamente superior .

15º 20' 16''

+ 20º 30' 54''

35º 50' 70''

Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresariamos como :

35º 51' 10''

Importante : si la suma de dos ángulos es 90º , es decir , juntos forman un ángulo recto , se dice que son complementarios . Si la suma de dos ángulos es 180º , es decir , forman un ángulo llano , se dice que son suplementarios .

b) Resta

La operación se dispone igual que la suma

30º 31' 12''

- 22' 48''

Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos : 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''

Con lo cual ya podemos realizar la resta :

30º 30' 72''

- 22' 48''

30º 8' 24''

c)Multiplicación

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por ese número :

4º 20' 10''

x 5

20º 100' 50''

Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que : 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''

d) División

Par dividir un ángulo entre un número natural , se dividen por separado grados , minutos y segundos entre este número natural :

206º 37' 46'' 5

06º 41º 19' 33''

1ºx60 = 60'

97'

47'

2'x60 = 120''

166''

16

1''

Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar con ellos , y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos .

32º 15' 6'' = 32º + 15/60º + 6/3600º = 32º + 0'25º + 0'00166 = 32'25166º

2º 8' 29'' = 2º + 8/60º + 29/3600º = 2º + 0'133º + 0'00805º = 2'14105º

34'39271º

34º

0'39271·60 = 23'5626'

0'5626·60 = 35''

Por lo que obtendriamos el mismo resultado : 34º 23' 35''

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

Triángulos . Clasificación .

Como ya vimos los triángulos son poligonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos . Se pueden clasificar :

a) Por sus lados :

Equilátero , si tiene los tres lados iguales

Isósceles , si tiene dos lados iguales

Escaleno , si tiene los tres lados diferentes

b) Por sus ángulos :

Rectángulo , si tiene un ángulo recto

Acutángulo , si sus tres ángulos son agudos

Obtusángulo , si tiene un ángulo obtuso

En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados , catetos .

Propiedades del triángulo

1.En todo triángulo , un lado es menor que la suma de los otros dos , pero mayor que su diferencia .

b c

a

En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus lados . Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir .

2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

a c b

a b

Los lados alternos internos a las paralelas son iguales .

Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º

3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes .

b

180-a=b+c a c

a

Rectas y puntos notables de un triángulo

Mediatrices : son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados .

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo .

Bisectrices : son las semirectas que dividen en dos partes iguales los ángulos interiores al triángulo .

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo .

Alturas : son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación , trazados desde el vértice opuesto .

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro .

Medianas : son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad .

Teorema de Pitágoras

'' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ''

b a a2 = b2 + c2

c

Cuadriláteros . Clasificación .

Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto cuatro ángulos . Se clasifican segun el paralelismo de sus lados en :

1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro .

2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos .

Los trapecios se pueden clasificar en :

- Trapecio rectángulo , es el que tiene dos ángulos rectos

- Trapecio isósceles , es el que tiene los lados no paralelos iguales

- Trapecio escaleno , sin ninguna propiedad específica

3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos

y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son iguales .

Los paralelogramos se pueden clasificar en :

- Rectángulo , es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales

(rectos) , pero los lados adyacentes no son iguales .

- Cuadrado , es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales .

- Rombo , es el que tiene los 4 lados iguales , y los ángulos opuestos iguales .

- Romboide , cuando no es niguno de los anteriores .

ÁREAS Y VOLÚMENES

Áreas de figuras planas

Cuadrado Rectángulo Triángulo

l h h

l b b

A = l · l A = b · h A =