Recta y plano

Recta definición y distintas formas de la ECUACIÓN de la recta

Definición de la línea recta

Lamamos recta al lugar geométrico de los puntos tales que tales

ECUACIÓN Vectorial de la recta

Ecuación Vectorial de la recta (punto dirección)

Ecuación Vectorial de la recta (que pasa por dos puntos)

Ecuaciones paramétricas de la recta

De

De donde se deducen las ecuaciones paramétricas

Ecuación Cartesiana o Simétrica de la recta en

Demostración

De esta igualdad efectuando las operaciones necesarias es posible obtener las formas de ecuación antes enunciadas

Angulo entre dos rectas

Dadas las rectas de ecuaciones de ecuaciones y y sea el ángulo entre ellas

Como consecuencia es posible deducir que:

Angulo entre dos rectas de la forma vectorial

Sean los vectores y que indican las direcciones de dos rectas el ángulo entre las mismas esta dado por:

Posiciones relativas de dos rectas

Este tema se ve mejor en sistemas de ecuaciones lineales

Familias de rectas

Se llama así al conjunto de las rectas que satisfacen una única condición geométrica.

Distancia de un punto a una recta

Demostración

De la definición de seno trigonométrico

(1)

Pero también de la definición de producto vectorial sabemos

Remplazando en (1)

De lo que se concluye

ECUACIÓN del plano

Gráficamente representaremos al plano por medios de un paralelogramo o en ocasiones un rectángulo

Ecuación vectorial del plano determinado por tres puntos

Consideramos el plano y determinado por el ponto y la dirección de un vector normal a el. Suponemos un punto genérico perteneciente al plano entonces:

Ecuación que se verifica para todos los vectores

Ecuación vectorial del plano determinada por un punto y la dirección de un vector normal

Demostración

Consideramos el plano de la figura se verifica:

pues el producto vectorial de dos vectores cualesquiera es un vector perpendicular al plano que los contiene de manera.

De manera que:

Desarrollando es posible representar la ecuación anterior de la siguiente forma

Ecuación Cartesiana del Plano que contiene a un punto.

Demostración

Si para la ecuación vectorial del plano que contiene un punto tomamos

Entonces

Ecuación que responde a la forma Cartesiana del Plano

Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o Implícita.

Donde A, B y C no pueden ser nulos al mismo tiempo

Demostración

De

Operando

Se obtiene la Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o implícita.

Ecuación Vectorial Hessiana del Plano

Resulta de dividir ambos miembros por el módulo del vector normal

Demostración

Resolviendo y agrupando

Ecuación Normal o Hessiana del Plano

Demostración

Si para la ecuación vectorial hessiana del plano que contiene un punto tomamos

Entonces

Donde p es la proyección del vector posición de cualquier punto perteneciente al plano sobre la perpendicular al mismo que pasa por el origen de coordenadas.

Demostración

Como

y del triángulo rectángulo

Remplazando

De lo anterior es posible concluir que LA ECUACIÓN NORMAL O HESSIANA ES ÚNICA PARA CADA PLANO

Por convención se toma la normal con sentido positivo

Si comparamos veremos que los coeficientes A,B,C son proporcionales a los cosenos directores

Por consiguiente es posible obtener un vector convencional normal al plano en función de los coeficientes mencionado mediante la siguiente expresión:

Transformación de la forma Explícita a la forma Hessiana.

Demostración

Analizando ecuaciones en sus formas vectoriales vemos:

Aplicando esta ultima expresión y resolviendo

Como al comparar

y por convención en la ecuación hessiana p es mayor que cero tomamos el signo de la raíz utilizando el siguiente artilugio reemplazamos

Por

De manera que la expresión final es

Posiciones particulares del plano respecto a los ejes y planos coordenados

Al considerar la ecuación:

Impusimos que A, B y C no podían ser nulos al mismo tiempo. Pero puede darse que:

Que cada uno de los coeficientes se lo sea separadamente

				Ecuaciones significativas	Grafica
NO	NO	SI	NO	Donde	Plano paralelo al eje z
SI	NO	NO	NO	Donde	Plano paralelo al eje x
NO	SI	NO	NO	Donde	Plano paralelo al eje z

Que el término independiente sea nulo indica que el plano de esa ecuación pasa por el punto

Dos de los coeficientes separadamente

				Ecuaciones significativas	Grafica
SI	SI	NO	NO	Donde	Plano paralelo al eje z
NO	SI	SI	NO	Donde	Plano paralelo al eje z

SI

NO

SI

NO

Donde

Plano paralelo al eje z

Que ninguno de los coeficientes ni el término independiente sea igual a cero implica

Angulo entre dos Planos

Sean dos planos

El ángulos determinado por los mismos al cortarse está dado por la expresión:

Demostración

Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

En particular

Ecuación del haz de planos

Se llama haz de planos al conjunto de todos los planos que contienen a una recta denominada eje de haz

Sean dos planos

la ecuación del haz de planos cuyo eje de haz es la recta de intersección de los planos antes mencionados es:

Demostración

La expresión se obtiene efectuando una combinación lineal de las ecuaciones del los planos

Luego pueden dividirse ambos miembros por r y llamar k a s/r.

Distancia de un Punto a un Plano

Dados un punto y el plano la distancia entre los mismos esta dada por la expresión

Demostración

Sabemos que:

Pasando por la forma hessiana

Llegamos a la expresión

La Recta en el Espacio

Podemos considerar la recta en el espacio como la intersección de dos planos. De manera que hablaremos de las ecuaciones de la Recta en el espacio puesto.

Si la recta es la intersección de dos planos diferentes cualesquiera:

Es la Expresión General de las Ecuaciones de la Recta en

Trazas

Las intersecciones de un plano con los ejes coordenados determinan rectas denominadas trazas

Planos Proyectantes

Llamamos así a los planos que contienen una recta y son perpendiculares a los planos coordenados

Caso1

Sean dadas las ecuaciones paramétricas de una recta

Tomando igualdades de a dos es posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al plano que contiene a los ejes de las variables presentes en las mismas.

Caso2

Sean dadas las ecuaciones Generales de las recta

Tomando igualdades empleando el método de resolución de sistemas de ecuaciones que se prefiera es posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al plano que contiene a los ejes de las variables presentes en las mismas.

Angulo entre dos rectas

Sean dos rectas

El ángulos determinado por las mismas al cortarse está dado por la expresión:

Demostración

Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

En particular

Angulo Recta Plano

Sean la recta

y el plano

El ángulos determinado por la recta y su proyección sobre el planos esta dado

Demostración

Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

En particular

Angulo entre dos rectas

Sean dos rectas alebeadas (o no coplanares)

Donde

la distancia entre ellas está dada por la expresión:

Demostración

La distancia d de es igual al módulo de al módulo de la único segmento ortogonal a ambas rectas

La dirección de dicho segmento esta dada por el vector

Del dibujo vemos que

Aplicando la definición y sustituyendo

Transformaciones de sistemas de coordenadas

Traslación

Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen

Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' y origen como

Demostración

De la gráfica

Renombrando y despejando obtenemos

Rotación

Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen

Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' que han rotado un ángulo respecto del sistema original

Demostración

Del triangulo formado por las coordenadas originales

(1)

Del triangulo formado por las coordenadas de rotación

(2)

Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno

Del triangulo formado por las coordenadas originales

(1)

Del triangulo formado por las coordenadas de rotación

(2)

Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno

Cónicas o Secciones Cónicas

DEFINICIÓN

Tipos de curvas que reciben ese nombre debido a que primeramente fueron estudiadas por los griegos como intersecciones de un plano con una superficie cónica circular.

Superficie cónica

Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.

Aunque también pueden ser estudiadas desde la perspectiva de que son casos particulares de la Ecuación General de Segundo Grado de dos variables.

Ecuación General de Segundo Grado con dos variables

La expresión general de la forma

Términos Cuadráticos

Término Rectangular

Términos Lineales

Término Independiente

Clasificación de las Curvas cónicas

Considerando las posibles intersecciones de un plano y una superficie cónica circular las cónicas pueden clasificarse en:

Cónicas Verdaderas o Irreducibles

Corresponde a las intersecciones con planos que no pasan por el vértice de la superficie

Sub.-clasificación

Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre el ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus diferentes posiciones)

y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según este criterio las cónicas verdaderas se clasifican:

Si se denominan Elipses Verdaderas (En particular si obtendríamos una circunferencia que es un caso particular de Elipse Verdadera).

Si se denominan Parábolas Verdaderas

Si se denominan Hipérbolas Verdadera

Cónicas Degeneradas o Reducibles

Corresponde a las intersecciones con planos que pasan por el vértice de la superficie

Clasificación

Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre

el ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus diferentes posiciones)

y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según este criterio las cónicas Degeneradas se clasifican:

Si se denominan Elipses Degeneradas que están degeneradas en dos rectas imaginarias que se cortan en un punto real (En particular si obtendríamos una circunferencia degenerada en un punto real)

Si se denominan Parábolas Degeneradas y degeneran en semirrectas opuestas y concientes

Si se denominan Hipérbolas Degeneradas y degeneran en dos rectas reales concurrentes

circunferencia

Definición

Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo perteneciente al mismo plano.

Elementos:

Centro

Es el punto fijo

Radio

Es la distancia R constante que relaciona los puntos con el centro.

Sila circunferencia degenera en un punto

Sila circunferencia degenera en una circunferencia imaginaria.

Conjunto de Puntos

Que forma la curva y que designaremos

Forma Canónica de la Ecuación del la circunferencia

.

Demostración

Forma General de la Ecuación del la circunferencia

es la ecuación de una Circunferencia o una circunferencia degenerada (un punto o un conjunto vacío) si

Demostración

Desarrollando la ecuación Canónica de la Circunferencia

La ordenamos de manera de poder compararla con la Ecuación General de Segundo Grado.

y observamos que la ecuación obtenida es un caso particular de la misma en que

En consecuencia

Elementos de la circunferencia

Demostración

Completando Cuadrados en la ecuación general

Elipse

Definición

Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante

Elementos:

Punto Generador

punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

Focos

Son los puntos fijos y de la definición

Distancia Focal

Es la distancia entre los focos

Ejes

Eje Principal

Es el segmento que contiene a los dos focos y tiene como extremos los puntos de intercepción con la gráfica. Designaremos su longitud como

Eje Secundario

Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un ponto que se encuentra equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica

Designaremos su longitud como

Relación entre los ejes de una elipse

Demostración

Como a es un punto de la elipse cumple

También como es un punto de la elipse cumple

y como y son triángulos concurrentes

Resulta

Como por el teorema de Pitágoras

Vértices

Principales

Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la elipse (son dos)

Secundarios

Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)

Centro

Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse

Ecuación de una Elipse

.

Demostración

La definición dice que la suma de la distancia de uno de los focos a un punto que llamamos genéricamente mas la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que designaremos

Ecuaciones Canónicas de la Elipse

Son las ecuaciones de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

Existen dos clases:

Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las X centro

Demostración

Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

tenemos

Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

pero como en una elipse

Entonces

Efectuando traslación desde un eje

Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y centro

Demostración

Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

tenemos

Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

pero como en una elipse

Entonces

Efectuando traslación desde un eje

Ecuación General de una Elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de coordenadas si

Demostración:

Desarrollando

y como

Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que

Excentricidad de las elipses

Es la razón entre las distancia focal y el eje principal

En especial cuando e=0 la elipse es una circunferencia (caso particular de la elipse) circunferencia de radio a puesto que

también

reemplazando

parábola

Definición

Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que equidistan de un punto y una recta fijos.-

Elementos:

Punto Generador

punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

Foco

Es el punto fijo de la definición

Directriz

Es la recta de la definición

Distancia Focal

Es la distancia entre el foco y directriz

Eje

Eje Principal

Es la recta perpendicular a la directriz que contiene al foco.

Eje Secundario

Es la recta paralela a la directriz que equidista de la misma y del foco

Vértice

Es el punto de intercepción del la gráfica y el eje principal tiene coordenadas

Principales

Los puntos de intercepción del eje principal con la grafica de la elipse (son dos)

Secundarios

Los puntos de intercepción del eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)

Ecuación de una parábola

.

Demostración

La definición dice que la distancia del foco a un punto genérico es igual a la distancia desde ese punto a la recta directriz

Ecuaciones Canónicas de la parábola

Son las ecuaciones de las parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los eje. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

Existen dos clases:

Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje y

El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola

Demostración

Que la directriz sea paralela a x implica que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

tenemos

Efectuando traslación desde un eje

Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje x

El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola

Demostración

Que la directriz sea paralela a x implica que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

tenemos

Efectuando traslación desde un eje

Ecuación General de la Parábola

Es la ecuación de una parábola o parábola degenerada de directriz paralela al eje de las x o la eje de las y

Si

Demostración

Caso1

La directriz es paralela al eje de las x

Desarrollando

Caso2

La directriz es paralela al eje de las y

Desarrollando

Lado Recto de una Parábola

Es la longitud de un segmento paralelo a la Directriz de una parábola con extremos en el foco de la misma y en un punto perteneciente a la gráfica de la parábola.

Hiperbola

Definición

Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante

Elementos:

Punto Generador

punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

Focos

Son los puntos fijos y de la definición

Distancia Focal

Es la distancia entre los focos

Ejes

Eje Principal Real o Transverso

Es el segmento contenido en la recta que pasa por los focos y tiene como extremos los puntos de intercepción con la gráfica. Designaremos su longitud como

Eje Secundario Imaginario o Conjugado

Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un punto que se encuentra equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica

Designaremos su longitud como

Relación entre los ejes de una hipérbola

Demostración

Vértices

Principales

Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la hipérbola (son dos)

Secundarios

Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la hipérbola (son dos)

Centro

Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse

Asíntotas

Rectas a las cuales se aproxima la curva sin interceptarlas nunca en el caso de las parábolas poseen dos

y

Ecuación de una Hipérbola

.

Demostración

La definición dice que el valor absoluto de la diferencia de la distancia de uno de los focos a un punto que llamamos genéricamente menos la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que designaremos

Ecuaciones Canónicas de la hiperbola

Son las ecuaciones de las hipérbolas cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

Existen dos clases:

Correspondiente a las hipérbolas cuyo eje principal es paralelo al eje de las X

Demostración

Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

tenemos

Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

Efectuando traslación desde un eje

Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y

Demostración

Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

y

para simplificar tomaremos h=0 y k=0

Remplazando en

Tenemos

Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

Efectuando traslación desde un eje

Ecuación General de una hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de coordenadas si

Demostración:

Desarrollando

y como

Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que

Excentricidad de las Hipérbola

Es la razón entre las distancia focal y el eje principal

ECUACIÓN general de segundo grado con dos variables como EXPRESIÓN general de las cónicas

Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada Con Ejes Paralelos A Los Ejes De Coordenadas

Es la ecuación general de una cónica o una cónica degenerada con ejes (en el caso de tenerlos) paralelos a los ejes de coordenadas si

Demostración

La demostración se sigue como conclusión inmediata de los teoremas que establecen las expresiones generales de cada uno de los tipos de cónicas.

Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada

La Ecuación General de Segundo Grado es la ecuación general de una cónica o una cónica degenerada para cualquier posición de sus ejes pues puede transformarse mediante la rotación de los ejes una ángulo

en

Tal que esta expresión cumpla con la condición

Demostración

Efectuamos la rotación de ejes utilizando la fórmula

De donde se obtienen los coeficientes de la nueva expresión producto de la transformación. Como lo que se pretende es encontrar una expresión en que no exista el termino rectangular.

Ahora debe demostrarse que

para ello consideramos el hecho de que si sobre

efectuamos una rotación de obtendremos

pero si los coeficientes cuadráticos pudieran ser nulos al mismo tiempo tendríamos

si efectuamos una rotación de obtendremos

que es una expresión lineal y no se corresponde con la expresión de partida en conclusión dada una expresión que cumple

los coeficientes de la nueva expresión producto de la rotación de ejes para cualquier ángulo cumplirán

Clasificación la Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada

es una cónica o cónica degenerada. Solo en los casos que no sea degenerada se verifica que es:

Una Parábola si

Una elipse si

Una Hipérbola

Demostración

La expresión de los coeficientes

se denomina discriminante y tiene la propiedad de ser invariante respecto de la rotación de ejes, esto quiere decir que

esto puede probarse fácilmente reemplazando los coeficientes obtenidos en la demostración del teorema anterior.

En nuestro caso la rotación se emplea con el objeto de hacer cero el termino rectangular de manera que:

al analizar la expresión

si

Es la condición para que la misma sea una parábola entonces remplazando

si

Es la condición para que la misma sea una elipse entonces remplazando

si

Es la condición para que la misma sea una Hipérbola entonces remplazando

Superficies o cuádricas

Introducción

Definición

Se llama superficie al conjunto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen una única ecuación

Discución sobre la ecuación de una superficie

Consiste en hacer una investigación preliminar de la ecuación de la misma para identificar ciertas características antes de proceder al trazado su trazado.

Indicaremos los pasos a seguir utilizando el siguiente ejemplo.

Para esta investigación consideraremos los siguientes enfoques

Intersección con los ejes coordenados

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Trazas con los planos coordenados

La traza de una superficie con los planos coordenados es la intersección de los misma con dichos planos.

Traza sobre el plano XY

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

Traza sobre el plano XZ

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola

Traza sobre el plano YZ

Ej

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola

Simetría

Si una ecuación de una superficie no se altera cambiando de signo:

Una variable

Es simétrica respecto al plano coordenado de las dos variables que no cambiaron de signo

Dos variables

Es simétrica respecto al eje coordenado de la variable que no cambió de signo.

Tres variables

Es simétrica respecto al punto origen de coordenadas.

Trazas por planos paralelos a los planos coordenados

Planos paralelos al plano XY

Los planos paralelos al XY tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación donde

Planos paralelos al plano XZ

Los planos paralelos al XZ tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

Planos paralelos al plano YZ

Los planos paralelos al YZ tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

Extensión de la superficie

Consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x, y, z son reales.

Para ellos es necesario expresar cada una de las variables en función de las restantes, efectuar el análisis de cada una de las expresiones resultantes.

Superficies

Superficies cilíndricas

Son aquellas generadas por una recta móvil generatriz que se mueve a lo largo de una curva fija denominada directriz.

Las superficies cilíndricas pueden ser

Rectas

Cuando la generatriz es perpendicular al plano que contiene a la directriz

Oblicuas

En el caso contrario.

Estudiaremos solamente aquellas cuyas rectas generatrices sean paralelas a uno de los ejes coordenados.

Una ecuación que contenga solo dos variables representa es este tipo de superficies.

Ej

La expresión

tiene como directriz la parábola

las directrices son todas las rectas paralelas al eje coordenado z que interceptan la parábola

Superficies cónicas

Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.

Nosotros veremos solo las superficies cónicas cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas.

Teorema sobre la ecuación de una superficie cónica

Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen, si y solo si:

Es homogénea en las tres variables x, y, z (es decir todos los términos son del mismo grado)

Y el grado de los mencionados términos no es menor a 2

Ej

Determinar la naturaleza de la superficie:

Intersección con los ejes coordenados

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

En consecuencia

Trazas con los planos coordenados

Traza sobre el plano XY

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

Traza sobre el plano XZ

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenida en el plano XZ

Traza sobre el plano YZ

Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

en consecuencia

o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenidas en el plano XY

Simetría

Presenta simetría respecto al origen de coordenadas puesto que

si aplicamos las condición de cambio de signo a las variables tenemos

la expresión no se altera

Trazas por planos paralelos a los planos coordenados

Planos paralelos al plano XY

Los planos paralelos al XY tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación

Planos paralelos al plano XZ

Los planos paralelos al XZ tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

Planos paralelos al plano YZ

Los planos paralelos al YZ tienen la forma

Analizando nuestro ejemplo:

Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

Graficar

Superficies de Revolución

Una superficie de revolución es engendrada por la rotación de una curva plana (generatriz) en torno a una recta fija contenida en el mismo plano de la curva (eje de rotación).

Como reconocer una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno de los ejes coordenados:

Si es posible encontrar un plano coordenado para el cual se cumple la condición de que todas las intersecciones de la superficie con planos paralelos al mismo son circunferencias que tienen como centro el respectivo origen de coordenadas. Entonces se trata de una superficie de revolución.

Como encontrar la ecuación de una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno de los ejes coordenados conociendo la ecuación de la generatriz y el eje de rotación

Sea

la curva y la ecuación del eje de rotación.

La superficie de revolución generada tendrá ecuación

Ej

Dada la ecuación

Determinar si se trata de una superficie de revolución.

El eje de rotación

La curva generatriz

Si consideramos los planos de forma paralelos al plano xy

Las posibles intersecciones tienen la forma

que geométricamente corresponde a circunferencias que tienen como centro el punto x=y=0

Analizando nuevamente la ecuación inicial

la ecuación de la generatriz es

Cuádricas (estudio de la ecuación general de segundo grado)

Dada la ecuación general de segundo grado

Donde por lo menos alguno de los seis primeros coeficientes es distinto de cero. Corresponde a una cuádrica.

Puede demostrarse que mediante una transformación apropiada de los ejes de coordenadas puede transformarse la ecuación mencionada de manera que tome una de las dos formas tipo:

Cuádricas con centro:

Tiene la forma

se denominan de esta forma por que presentan simetría respecto de tres planos es decir que representa simetría respecto de un punto que denominamos centro.

una cuádrica con centro puede ser:

Un elipsoide real

Si todos los

Ecuación Canónica de la elipsoide

Gráfica

Trazas

Plano

Demostración

Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

Plano

Demostración

Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

Plano

Demostración

Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

Un elipsoide imaginario

Si todos los

Un hiperboloide de una hoja

Si dos de los

y el restante es negativo

Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja

Trazas

Plano

Demostración

Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

Plano

Demostración

Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

Plano

Demostración

Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación

Gráfica

Un hiperboloide de dos hojas

Si dos de los

y el restante es positivo.

Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja

Trazas

Plano

Demostración

Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

Plano

Demostración

Es una elipse cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde elipse de ecuación

Plano

Demostración

Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación

Gráfica

Cuádricas sin centro:

Tiene la forma

a diferencia de las cuádricas con centro las cuádricas sin centro no son simétricas respecto de una punto.

Paraboloides Elípticos

Tienen la forma

donde

Forma Canónica

Trazas

Plano

Demostración

Es una parábola

Plano

Demostración

Es una parábola

Plano

Demostración

Es una elipse

Gráfica

Paraboloides Hiperbólicos

Tienen la forma

donde

Forma Canónica

Trazas

Plano

Demostración

Es una parábola

Plano

Demostración

Es una parábola

Plano

Demostración

Es una hipérbola

Gráfica

I-35

Generatriz

Directriz

Vértice

Eje