Hallar el ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos:

F(2,0) , F´ (-2,0) y suma de distancias 5

Calculamos los parámetros de la elipse:

2a =5, d donde a es igual a 2,5, y de aquí a2=6,25

c = 2

b2= a2 - c2= 6,25- 4 =6,25 - 4=2,25

Por lo tanto, la ecuación reducida es:

F( 0,2) F´(0,-2) y suma de distancias 5

Calculamos los parámetros de la elipse:

2a =5, d donde a es igual a 2,5, y de aquí a2=6,25

c = 2

b2= a2 - c2= 6,25- 4 =6,25 - 4=2,25

Por lo tanto, la ecuación reducida es:

Halla la ecuación reducida de la elipse conociendo:

a(10,0) a´(-10,0) y la excentricidad es E(0,2)

Calculamos los parámetros de la elipse:

a = 10 de donde a2=100

de donde c = 2

b2 = a2 - c2 = 100 - 4 = 96

Por lo tanto la ecuación reducida es :

B (0,4) B´(0, -4) y excentricidad e = (0,5)

Calculamos los parámetros de la elipse:

b = 4 de donde B2= 16

de donde c = 0,5 a

16 = a2 - 0,25 a2 = 0,75 a2

a2 = 64 / 3

Por lo tanto la ecuación reducida es :

Hallar la ecuación de la elipse conociendo 2 puntos

C(0,0) F (0,2) a = 4

Calculamos los parámetros de la elipse:

a = 4 de donde a2 = 16

c = 2 de donde c2 = 4

b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12

La ecuación reducida de la elipse vertical es

C (0,0) F(-3,0) a = 5

Calculamos los parámetros de la elipse

a = 5 de donde a2= 25

c = 3 de donde c2 = 9

b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16

La ecuación reducida de la elipse es

C(0,2) F(0,0) a = 3

El centro C es el punto medio del segmento que determinan los focos, luego las coordenadas del F´ son (0,4)

Aplicando la definición de elipse tenemos :

Desarrollando y racionalizando se obtiene 9x2 + 5y2 -20y -25 = 0

C(-3,0) F(-3,-2) a = 4

El centro C es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del F´ (-3,2)

Aplicando la definición de elipse, tenemos

Desarrollando obtenemos 256x2+ 192y2 +1537x + 208y + 727 =0

C (2,2 ) F (-1,2 ) a =

El centro C es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del F´ (5,2)

Aplicando la definición de elipse, tenemos

Desarrollando obtenemos x2+ 10y2- 4x- 40y+ 34=0

También podemos hacerlo trasladando los ejes. Los parámetros son:

A2 = 10

C2 = 9

De donde B = 1

Por tanto:

Si reducimos a común denominador y efectuamos las operaciones coinciden con la ecuación de arriba.

Hallar la ecuación reducida de la elipse que tiene :

un vértice en a (6,0) y su distancia focal es 10

Calculamos los parámetros de la elipse

a = 6 de donde a2= 36

c = 5 de donde c2= 25

b2= a2 -c2 = 36 - 25 = 11

La ecuación reducida es

Un vértice en B (0,4) y su distancia focal es 10

Calculamos los parámetros de la elipse

b = 4 de donde b2=162

c = 5 de donde c2 =25

a2+ b2 + c2 = 16 + 25 =41

La ecuación reducida es

El problema n° 20 se hace por derivadas.

Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la elipse cuya ecuación es :

x2 +y2 = 9

Esta ecuación podemos escribirla de forma reducida

Por lo tanto a2 = b2 = 9

Luego a y b es =
= 3

a2 = b2 + c2

9= 9 + c2

Luego c = 0

Si c es 0 su excentricidad es 0

Por lo tanto es una circunferencia

16x2 +9y2 = 144

Seguimos los mismos pasos de la anterior

Es una elipse vertical, por tanto :

b2 = 16 luego b =
= 4

a2 = 9 luego a =
= 3

a2 = B2 + C2

9 = 16 + C2

c2 = 7

c =

Como la excentricidad es c/ a esto es =

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que tiene por focos:

F (3,0) F´(-3,0) y diferencia de distancias 4

Calculamos por parámetros de la hipérbola: 2a = 4

a = 2

a2= 4

c = 3

c2 = 9

b2 = c2 - a2 = 9 - 4 = 5

Ecuación reducida

B) F (0,6) F´(0,-6) y diferencia de distancias 2

2a = 2

a2= 1

c = 6

c2 = 36

b2 = c2 - a2 = 36 -1 =35

Ecuación reducida

Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene por focos

F (1,3) F´(4,2) y diferencia de distancias 6

Aplicando la definición e la hipérbola

Desarrollando resulta 27x2+ 35y2+ 6xy - 150x -190y + 191 =0

F (0,0) F´(0,8) y diferencia de distancias 6

Aplicando la definición e la hipérbola

Desarrollando resulta 9x2+ 7y2+ 56y - 49 =0

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo q tiene por vértices :

a (10,0) a´(-10,0) e = 2

Calculamos por parámetros de la hipérbola: a = 10

a2= 100

2 =

c = 20

c2 = 400

b2 = c2 - a2 = 400 - 100 = 300

Ecuación reducida

B (0,4) B´(0,-4) e = 2

Calculamos los parámetros de la hipérbola:

b = 4

b2 = 16

2 =

c = a

b2 = c2 - a2 =

Sustituyendo nos queda a2 = 16 / 3

Ecuación reducida

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que:

Semieje mayor es 3 y la semidistancia focal 5

Calculamos los parámetros de la hipérbola:

a = 3

a2 = 9

c = 5

b2 = c2 - a2 = 25 - 9 =16

Ecuación reducida

El semieje menor es 6 y la semidistancia focal es 10

Los parámetros de la hipérbola son;

b= 6

b2 = 36

c = 10

a2 = b2 - c2 =100 - 36 = 64

La ecuación reducida es :

Hallar la ecuación de la tangente y la normal a :

36 x2 - 12 y2 = 216 en el punto P (3, -3 )

Se hace por derivadas

Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la hipérbola cuya ecuación es :

x2 - y2 = 9

La ecuación la podemos escribir en la forma reducida
:

Por tanto a2 = b2 = 9 , luego a y b es la raíz cuadrada de 9 es decir a = b = 3

Como c2 = a2 + b2 sustituimos y tenemos 9 + 9 = 18 luego c =
=

E= c / a =

16x2 - 9y2 = 144

La ecuación la podemos escribir en la forma reducida
:

a2 = 9

a = 3

b2 = 16

b = 4

c2= a2 + b2 = 9 + 16 = 25

c = 5

E= c / a =

Calcular los parámetros y vértices de las siguientes hipérbolas equiláteras

xy = 2

La ecuación de la hipérbola referida a sus asuntotas es xy = a2 / 2

a partir de la definición de hipérbola obtenemos:

Parámetros a2 = 2xy

a = B

C = a

Focos F´ (- 2,- 2) F (2,2)

Vértices A
,
) A´(-
-
)

B (-
,
) B´(
-
))

xy = 8

Parámetros a2 = 2xy = 16

a = b = 4

c = 4

Focos F´ (- 4,- 4) F(4,4)

Vértices A (2,2) A´(-2,-2)

B (-2,2) B´(2,-2)

xy = 4

Parámetros a2 = 2xy = 8

a = b =

c = 4

Focos F´
, -
) F
,
)

Vértices A (
,
) A´(-
, -
)

B (-
,
) B´(
, -
)

xy =

Parámetros a2 = 2xy = 20

a = b =

c =

Focos F´
, -
) F (
,
)

Vértices A (
,
) A´(-
, -
)

B (-
,
) B´(
, -
)

Representar las parábolas

Están en hoja adjunta.

Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x + 4 = 0 y del punto P (3,0).

Sea x (xy) un punto cualquiera de lugar geométrico que nos han pedido

Entonces d (x, r) = d ( x,p)

d (x, r) =
x + 4

d (x, p) =

Igualamos las distancias x + 4 =

Racionalizamos y nos queda x2 + 8x + 16 = x2 - 6x + 9 + y2

Simplificamos, realizamos operaciones y nos queda que y2 = 14x + 7, también podemos poner la formula de la siguiente forma y2 = 2 * 7 (x +
), porque la parábola es de la forma y2 = 2p (x - x0) .

P es la distancia del foco a la directriz p = 7, y x0 es la distancia del vértice V (-
, 0)

Hallar la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y + 5 =0 y por foco el punto p (0,5)

Solución: El vértice es el origen Y, la parábola tiene de parámetro p = 10, su ecuación es x2 = 2 py, es decir, x2 = 20y

Halla el valor del parámetro p de modo que la parábola de ecuación y2= 2px pase por el punto p (3,-1)

Solución: Para que esto se cumpla, tenemos que sustituir los valores en la ecuación

(-1)2 = 2p * 3

1 = 6p

p =

Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de abcisas sabiendo que su vértice es el punto V (1, -2) y que pasa por el punto P (4,1).

Solución: La ecuación de la parábola será de la forma (y + 2)2 = 2p (x - 1).

Al pasar por el punto p lo sustituimos en la ecuación y nos queda (1 + 2)2 = 2p (4 - 1)

9 = 6p

p =

La ecuación de la parábola, es (y + 2)2 = 2
( x - 1)

(y + 2)2 = 3( x-1)

Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes de la tangente a la parábola y = x2 + 7x - 10 en el punto de abcisa x = 3.

Solución: Sustituimos x = 3 en la ecuación y nos da que y = 9 + 21 -10 = 20, luego el punto será (3,20).

Para lo de más se necesitarían derivadas.

Sea P un punto del plano que dista 15 m del centro de una circunferencia de radio 9 m .por p trazamos una secante a la circunferencia que corta esta en los puntos a y B. Calcular AB sabiendo que PB mide 16m.

PA . PB = d2 - r2

(16 -AB) . 16 = 152 - 92

256 -16 AB = 225 - 81

256 +144 = 16 AB

AB = 400/16

En uno de los lados de un ángulo, y a partir del vértice tomamos dos longitudes OA = 6 m y Ob = 8 m y en el otro lado la longitud OC = 4 m . Si hacemos pasar una circunferencia por los tres puntos A,B,C, ¡Cuánto medirá el segmento OD, siendo D el punto en el que corta esa circunferencia al lado en que esta C

OA .OB = OC .OD

6 . 8 = 4 . OD

OD = 48/ 4

OD = 12

Los puntos a(-2,0) b(2,0) son vértices de un triangulo ABC cuyo vértice C recorre la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 6y = 0. Hallar la ecuación del lugar geométrico del baricentro del triangulo ABC al variar C sobre la circunferencia dada

La circunferencia tiene como centro el punto (o,3),

Como el baricentro se encuentra a 1/3 del lado AB y a 2/3 del vértice C, a medida que el punto c recorre la circunferencia, el baricentro recorre un circunferencia de centro O y razón 1/3 Por tanto el centro estar en el punto C' (0,1) y el radio será r
, luego el lugar geométrico pedido , es la circunferencia de ecuación x2 + ( y -1)2 = 1.

x2 + y2 - 2y + 1 = 1

x2 + y2 - 2y = 0

La máxima distancia de la Tierra al Sol es 94,56 millones de millas y su distancia mínima es 91,45 millones de millas.¡Cual es la excentricidad de la orbita y cuales son los diámetros mayor y menor ¿

El sol ocupa uno de los focos

Calculamos los parámetros 2ª = 94,56 + 91,45

2a = 186,01

a = 93,005

2c = 94,56 - 91,45

2c = 3,11

c = 1,555

b2 = a2 - c2

b2 = 8649,93 - 2,42

b2 = 8647,51

b = 92,97

2b = 185,94

e =

La orbita del cometa Kohoutek es una elipse con una excentricidad e = 0,999925 y con el Sol en uno de sus focos. Si su distancia mínima al Sol es 0,13 UA ¡Cual es su máxima distancia al sol ¿

Del enunciado obtenemos los siguiente sistemas de ecuaciones

a - c =0,13

De este sistema sacamos que c = 0,999925 a, y que 0,000075 a es = 0,13 lo cual deducimos que a = 1733,33 y c = 1733,20

La distancia máxima es a + c = 1733,33 + 1733,20 =3476,53 UA

La luna recorre una trayectoria elíptica donde la Tierra esta en uno de los focos. Si la distancia máxima de la Tierra a la luna es de 405500Km y la mínima distancia es de 363300 Km. ¡Cual es la excentricidad de su orbita,?

T a´ = 405500 Km

T a =363300 Km

a´ T´ + T´ O + O T = 405500

a´ T´+ 2 O T = 405500

Sustituimos y obtenemos

363600 + 2 O T = 405500

2 O T = 405500 - 363300

O T =

O T = 21100 Km.

Entonces tenemos que a = 21100 +30063300 =384400 Km.

C = 21100

E = C / a = 0,0515

Hallar la tangente del ángulo bajo el cual se cortan las parábolas de las ecuaciones y2= 2x , x2 =2y

Calculamos el punto de corte de esas parábolas

Y2 = 2x

x2 = 2y

Resolviendo tenemos:

Sacamos factor común x y tenemos

x (x3-8) = 0

Luego las soluciones son:

x = 0

x3 = 8

x = 2

Por tanto para x = 0 , y = 0 , luego O (0,0)

Para x = 2, y = 2 luego a (2,2)

Se necesita hacer derivadas para poder solucionarlo

Dada la recta 3x+ y - m = 0 y la parábola y = x2 - 7x + 12 , a fin de que la recta sea tangente a la curva.

Para que la recta sea tangente a la parábola, a ep tener 1 solo punto de corte, para ello resolvemos el sistema formado por sus ecuaciones:

Y = m - 3x

Y = x2 - 7x + 12

Operando nos queda, x2 - 4x + 12 - m = 0

Hacemos el discriminante = 0 para que la ecuación de 2° grado solo tenga una sola solución.

(4)2 - 4 (12 - m) = 0

16 - 48 + 4m = 0

m = 8

Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y = x2+ x +1 que distan 3 unidades del eje de las abcisas,

Sea P (x, x2 + x + 1) un punto genérico de la parábola

La distancia de P al eje de abcisas es la ecuación, entonces, la igualamos a la distancia que es 3, operamos y nos queda la ecuación de la siguiente forma:

x2 + x - 2 = 0

Resolvemos esta ecuación y los valores obtenidos para x son x = -2 y x = 1

Para x = -2 lo sustituimos en la ecuación y nos queda (-2 )2 + (-2) + 1 = 3

Luego el punto a (-2,3) lo mismo hacemos para x = 1 y nos queda 12 + 1 + 1 =3 , luego el punto B (1,3)

Hallar los puntos de la parábola x = y2 - 5y + 6 que equidistan de los puntos (-3,-2)y (7,4)

Un punto cualquiera de la parábola tiene de coordenadas (y2 - 5y +6,y) como tenemos los puntos. Hallamos distancia entre P y a y P y B.

d (P,A) =

d (P,B) =

Como ambas distancias son iguales eliminamos raíces y

Operando nos queda 5 y2 - 22 y + 17 =0.

Resolvemos la ecuación de 2° Grado y los valores obtenidos para y son 1 y

Sustituyendo cada uno de los valores obtenidos en y2 - 5y + 6 obtenemos los siguientes puntos.

Para y = 1 x = 2

Para y =
x =

Luego los puntos pedidos son:

(2,1) y (
,
)