UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial II-B

Tema 1

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, asíntotas, etc. según corresponda) y representar gráficamente: 4x2 - 9y2 - 24x -18y - 9 = 0

2.- Deducir para qué valores reales del parámetro t, la ecuación x2 + y2 + tx + 2= 0 representa:

a.- Circunferencias b.- Un punto (obtenerlo) c.- Ningún lugar geométrico real

3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, el eje focal es el eje x y que pasa por los puntos A (-3; 2√3) y B (4; 4√5 )

3

4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:

12x2 - 4y2 + 12z2 = 48

b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o imaginario según corresponda.

c.- ¿Es la anterior una superficie de revolución? Justifique su respuesta

5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal semejante.

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial II-B

Tema 2

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc. según corresponda) y representar gráficamente: x2 - 4x + 8y + 8 = 0

2.- Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto O' (-1; -3) y que es tangente a la recta de ecuación 3x + 4y - 10 = 0

3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, sus vértices se corresponden con los puntos A (0; 10) y A' (0; -10), y cuya excentricidad es 4/5

4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:

x2 - 4y2 - 12z2 = 24

b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o imaginario según corresponda.

c.- Representar gráficamente

5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal semejante.

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial II-B

Tema 3

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc. según corresponda) y representar gráficamente: 4x2 + y2 + 40x - 6y + 105 = 0

2.- Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto O' (-2; 3) y que es tangente a la recta definida por su vector normal n (20; -21) y que contiene al punto A (0, -2)

3.- Hallar la ecuación de la parábola de eje de simetría paralelo al eje x y que contiene a los puntos A (-2; 1), B (1,2) y C (-1,3)

4.- Sea la siguiente cuádrica:

Ax2 + 8y2 + Bz2 = 32

a.- Indicar para qué valores reales de A y de B dicha cuádrica representa:

* Un hiperboloide de una hoja cuya intersección con el plano z = 0 es una elipse de semidiámetro mayor 2√2.

* Un elipsoide

* Una superficie esférica

b.- Para A= 16 y B = 32, obtener la intersección de la superficie resultante con los ejes coordenados e identificarla.

5.- Sea T: R2 → R2 / T (x; y) = (-6x - 3y; 7x + 4y)

Calcular la base P = {u, v} en la que dicha transformación lineal se materializa a través de una matriz diagonal. Obtener dicha matriz diagonal.

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial II-B

Tema 4

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Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

...............................................................................................................................................................................

1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc. según corresponda) y representar gráficamente: x2 + 4y2 + 4x - 16y + 4 = 0

2.- Obtener la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F (6, -2) y cuya directriz es la recta

L: x - 2 = 0

3.- Calcular el ángulo que forman las asíntotas de la hipérbola: 7(x + 2)2 - 9(y + 4)2 = 63

4.- Sea la siguiente cuádrica:

Ax2 + 4y2 - Bz2 = 64

a.- Indicar para qué valores reales de A y de B dicha cuádrica representa:

* Un hiperboloide de una hoja cuya intersección con el plano z = 0 es una elipse de semidiámetro menor 2√2.

* Un hiperboloide de dos hojas

* Una superficie cilíndrica recta de directriz elíptica

b.- Para A= 4 y B = 16, obtener la intersección de la superficie resultante con los ejes coordenados e identificarla.

5.- Sea T: R2 → R2 / T (x; y) = (x + 3y; 5x + 3y)

Calcular la base P = {u, v} en la que dicha transformación lineal se materializa a través de una matriz diagonal. Obtener dicha matriz diagonal.

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Parcial II-B

Tema 5

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

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1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, asíntotas, etc. según corresponda) y representar gráficamente: 9x2 - 4y2 - 18x + 8y - 31 = 0

2.- Obtener la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto O' (1; 2), uno de los focos es el punto F (6, 2) y que pasa por el punto M (4,6)

3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (5,3); B (6,2) y C (3,-1)

4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:

24x2 + 4y2 - 12z2 = 96

b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o imaginario según corresponda.

c.- ¿Es la anterior una superficie de revolución? Justifique su respuesta

5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal semejante.

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Parcial II-B

Tema 6

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………….................................

Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..

La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios:

1	2	3	4	5	Calificación Final

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

...............................................................................................................................................................................

1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc. según corresponda) y representar gráficamente: y2 + 6x - 4y - 8 = 0

2.- Obtener la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos P (-3; 5) y

Q (7; -3)

3.- Sea la siguiente cuádrica:

8x2 + 4y2 - 12z2 = K

a.- Indicar para qué valores reales de K la misma representa:

* Una superficie cónica

* Un hiperboloide de dos hojas

* Un hiperboloide de una hoja

Justifique su respuesta

b.- Calcular la intersección de dicha superficie con los planos y ejes coordenados cuando K = 24

4.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal semejante.

5.- Sea la transformación lineal T: R3 → R3 / T(x,y,z) = (x; 3x + 3y - 4z; -2x + y - 2z)

Obtener los valores de λ ε R que verifique:

a.- T(0,1,1) = λ (0,1,1)

b.- T(0,4,1) = λ (0,4,1)