TEMA Nº1

Individuo, población o universo y muestra:

-Individuo o Unidad de análisis: el tipo de objeto a que hace referencia la variable que se estudia

-Población. Una población Estadística o Universo se define como el conjunto de objetos -individuos- que verifican una definición bien determinada.

-Muestra: Llamamos muestra a cualquier subconjunto de una población.

-Parámetro. Es toda función definida sobre los valores numéricos de una población. La media aritmética de todos los universitarios españoles es un ejemplo de parámetro.

-Estadístico. Es toda función definida sobre los valores numéricos de una muestra .Un ejemplo de estadístico será la media de las alturas de 300 universitarios.

Características o variables, variables cualitativas o atributos y variables cuantitativas o simplemente variables.

-Modalidades: son características (propiedades) de los objetos que se manifiestan de diversas formas llamadas modalidades. Así, por ejemplo, las personas manifiestan la característica "sexo" según dos modalidades: varón y mujer.

-Variable: Es toda característica o propiedad de un objeto capaz de adoptar diferentes valores o nombres (modalidades). Cuando la característica solo puede adoptar una modalidad se le denomina constante.

• -Variable cuantitativa: Una variable o característica diremos que es cuantitativa cuando las distintas modalidades de la misma se pueden expresar con números, susceptibles de sumar, restar etc. Ejemplo; salario, edad, gastos etc

• -Variable cualitativa o atributo: es una característica cuyas modalidades toman valores no susceptibles de realizar operaciones aritméticas sobre ellas. Ejemplo, sexo, religión que profesa, partido al que vota etc.

• -Variables discretas y variables continuas: Una variable diremos que es discreta, cuando dados dos valores consecutivos de la misma, la variable no puede tomar valor alguno. Ejemplo: la variable sexo, puede tomar dos valores hombre o mujer. Entre ambos la variable no puede tomar valor alguno.

• -Variable continua: Una variable diremos que es continua, cuando entre dos valores cualesquiera de la misma, la variable puede tomar infinitos valores.

Niveles de medida.

-Nivel Nominal: Diremos que estamos en un nivel de medida nominal, si dadas dos o más modalidades, sólo podemos comprobar empíricamente si son iguales o distintas. De esta forma, entre los números atribuidos a las mismas sólo aceptaremos como válida la relación igualdad-desigualdad (los números no gozan aquí de ninguna propiedad aritmética).

-Nivel Ordinal: Diremos que estamos en un nivel de medición ordinal o en una escala ordinal si dadas dos o más categorías no sólo podemos comprobar si son iguales o distintas, sino, establecer un orden entre ellas. Entre los números atribuidos a las modalidades admitiremos como válidas las relaciones igualdad- desigualdad, mayor, menor. La escala ordinal permanece invariante frente a cualquier transformación monótona creciente.

-Nivel de Intervalo: Si no sólo estamos en condiciones de ordenar objetos según el grado en que presenten un carácter determinado, sino que podemos indicar la distancia que hay entre dos categorías diremos que estamos ante una escala de intervalo. Este nivel de medición requiere el establecimiento de una unidad física de medida.

La multiplicación y la división entre los números asignados a las categorías sólo es posible si tenemos un origen empírico absoluto y no arbitrario. La arbitrariedad del origen es propia de las escalas de intervalo; otro ejemplo de escala de intervalo es la escala de temperaturas centígrada, pues el origen (cero grados) es arbitrario, es la temperatura a la que el agua se hace hielo, y se podría haber elegido cualquier otro criterio.

-Nivel de Razón: Lo que diferencia a las variables de razón con las de intervalo es que aquellas tienen un cero absoluto y no arbitrario como ocurre en las variables medidas a nivel de intervalo. Ahora el origen empírico corresponde siempre a la carencia total de la característica, a la categoría nula (cero significa ninguno).

Variables independientes, dependientes y de control.

Se llama variable independiente a la que influye en otras variables. Estas también se llaman predictoras, puesto que a partir de su conocimiento vamos a tratar de predecir los valores de otras variables, y explicativas, puesto que van a ser utilizadas para explicar otras variables.

Se llama variable dependiente si sus valores (categorías) dependen de los de la variable independiente. Las variables dependientes también reciben el nombre de explicadas, por ser las variables que hay que explicar en la investigación social.

Las variables de control sirven para comprender mejor la relación entre una variable independiente y otra dependiente. Hay tres situaciones típicas de la investigación social donde las variables de control son imprescindibles. La primera se presenta cuando una técnica estadística muestra que dos variables están relacionadas, y nosotros dudamos si entre ambas variables existe una relación no sólo estadística, sino causal o de dependencia.

Otra situación en la que son necesarias las variables de control es aquella en la que no dudamos de la dependencia de dos variables, pero nos preguntamos el porqué. Así, por ejemplo, está comprobado que el nivel de estudios influye en el voto, podemos preguntarnos por qué el nivel de estudios hace que la gente vote de manera diferente. Al introducir la variable de control ingresos se tiene una parte de la explicación: a mayor nivel de estudios corresponde mayor nivel de ingresos, y el hecho de ser más o menos rico puede determinar el comportamiento político. También esa variable de control nos puede indicar que el comportamiento político no se puede explicar solo por el nivel de ingresos, puesto que, aun a igualdad de ingresos, los que tienen un nivel de estudios superior votan de manera diferente de los que tienen menor nivel.

TEMA 2

Organización de los datos.

Agrupar en intervalos: No hay reglas únicas para definir las clases, aunque pueden ser útiles las siguientes:

- El número de intervalos no debe ser ni muy grande ni muy pequeño, en general, no debe ser inferior a 5 ni superior a 20.

- Es conveniente que, en lo posible, las marcas de clase coincidan con valores observados, por el contrario los límites de clase no deben coincidir con valores observados.

- Es recomendable que las clases tengan la misma amplitud; pero si resultan clases con muchos individuos y otras con muy pocos, conviene subdividir las primeras y reagrupar las segundas.

Análisis comparativo.

Para comparar dos variables es necesario contar con una “norma” en la que se pueden expresar los datos y por tanto se transforman en comparables. Entre estos procedimientos destacan las proporciones, los porcentajes, las razones y las tasas. En las proporciones se comparan las frecuencias de una determinada categoría con el total de observaciones; coinciden con las frecuencias relativas

Gráficos para variables nominales y ordinales.

Para este tipo de variables son muy utilizados los llamados diagramas de sectores o de tarta. Consisten en asignar a cada categoría de la variable un sector (porción de tarta) que sea proporcional a la frecuencia relativa. Otro gráfico muy utilizado para variables nominales y ordinales es el diagrama de Pareto, que se construye como sigue: se ordenan las categorías de la variable por su frecuencia relativa; cada categoría se representa por un rectángulo cuya altura es su frecuencia relativa. Es frecuente que la mayoría de los datos se agrupen en unas pocas clases, en la mayoría de los casos en la cuarta parte de las clases se encuentran aproximadamente el 75% de las observaciones.

Gráficos para variables de intervalo y razón.

Para datos de variables discretas, y en general para distribuciones de frecuencias de datos sin agrupar, se utiliza el diagrama de barras. Este diagrama representa los valores de la variable en el eje de abscisas levantando en cada punto una barra de longitud proporcional a su frecuencia relativa.

La representación gráfica más frecuente para datos agrupados es el histograma. Un histograma es un conjunto de rectángulos, uno para cada una de las categorías de la variable. La base de cada uno de ellos es igual a la amplitud del intervalo y su altura se calcula para que su área sea proporcional a la frecuencia de la clase. En el caso particular en que todos los intervalos tengan la misma amplitud, es cómodo tomar como la altura de cada rectángulo la frecuencia absoluta de la categoría que representa. Al gráfico que resulta de unir los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulo se le conoce con el nombre de polígono de frecuencias.

Medidas de centralización.

Cuando se dispone de un gran número de datos, resulta conveniente completar la información que nos da la distribución de frecuencias con algunas medidas resumen.

- medidas de centralización o de tendencia central, que indican el valor medios de los datos

Las medidas de tendencia central son:

Moda: es el valor de la variable que más veces se repite, es, por tanto, el valor de la variable al que corresponde mayor frecuencia.

Mediana: es el valor de la variable tal que, ordenados los datos, el 50% es menor que ella y el 50% mayor. De la definición se deduce que no puede calcularse para variables nominales. Para variables ordinales se considerará como mediana el valor de la variable que sin incluirlo tenemos menos del 50% de los datos, pero al incluirlo tenemos al menos el 50% de los datos. Para variables cuantitativas (intervalo o razón), si los datos no están agrupados, la mediana será el valor central ordenados los datos de menor a mayor, si el número de datos es impar, o la media de los dos valores centrales si el número de datos es par. Para datos agrupados en intervalos usar la formula:

Media aritmética: es el valor que resulta al dividir la suma de todos los valores de la variable por el número de valores. Para poder calcularla necesitamos un nivel de media de intervalo o de razón. En el caso en que los datos estén agrupados en intervalos para calcularla supondremos que todos los datos del intervalo coinciden con la marca de clase del intervalo. Dado que en la mayoría de las ocasiones eso no es cierto, al calcular la media con datos agrupados se comete un error que se conoce con el nombre de error de agrupamiento.

Entre sus propiedades destacamos:

- La media es el centro de los datos en el sentido de que equilibra los valores por defecto y por exceso respecto a la media; por tanto, la suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es cero, pues los datos menores que la media originarán desviaciones negativas y los datos mayores desviaciones positivas y unas compensarán a las otras.

- En su cálculo intervienen todos los valores de la variable, lo que puede suponer, según los casos, una ventaja o un inconveniente. Tiene la ventaja, de que al utilizar toda la información, es más fiable, sobre todo si la población o muestra en la que se calcula es homogénea; sin embargo tiene el inconveniente de que es muy sensible a valores extremos que pueden ser poco representativos. En estas ocasiones, es mejor la mediana, pues al utilizar menos información , ya que solo tiene en cuenta el orden de los datos y no su magnitud, no se ve afectada por los valores extremos, que en la mayoría de los casos pueden estar originados por errores de medición.

- La media se ve alterada por los cambios de origen y de escala; ello significa que: si a todos los datos se les suma la misma cantidad (cambio de origen) la media de los nuevos datos es la antigua más esa cantidad; si todos los datos se multiplican por la misma cantidad (cambio de escala) la media de los nuevos datos es igual a la antigua multiplicada por esa cantidad.

- La suma de los cuadrados de las desviaciones a la media es menor que la suma de los cuadrados de las desviaciones a cualquier número distinto de la media.

Media ponderada. Hay situaciones en las que todos los datos no tienen la misma importancia o peso; en estos casos la media aritmética no los representa correctamente. Así pues la media ponderada es resultado de dividir la suma de cada valor de la variable multiplicado por su coeficiente de ponderación entre la suma de los coeficientes de ponderación. Hay situaciones en las que los coeficientes de ponderación vienen expresados en tanto por ciento, en esos casos el denominador para calcular la media ponderada será 100.

Medidas de posición

Las medidas de posición nos indican el lugar que un dato (valor de la variable) ocupa en una distribución de frecuencias. Una medida de posición es la mediana, que es el valor de la variable que ocupa la posición central, es decir acumula al 50% de la población.

-Cuartiles: Se trata de dividir la frecuencia en cuatro partes (cada una con el 25%).El 1º cuartil: es el valor de la variable que acumula al 25% de la población (por debajo de él se encuentran el 25% de los valores de la variable). El segundo cuartil coincide con la mediana y el tercer cuartil es el valor de la variable que acumula el 75% de la distribución; es decir, el 75% de los datos son inferiores a ese valor y el 25% son superiores.

-Deciles: Si dividimos la distribución en 10 partes iguales, surgen los deciles. El decil 5 coincide con la mediana el segundo cuartil y centil cincuenta

-Percentiles: Si dividimos la distribución en 100 partes iguales, cada una con el 1%. Así el percentil 20 será el valor de la variable que acumula el 20% de la distribución. El percentil 25 coincide con el primer cuartil; el percentil 50 coincide con el segundo cuartil y con la mediana; el percentil 75 coincide con el tercer cuartil. Aunque para el cálculo de los percentiles es suficiente que la variable esté medida a nivel ordinal, cuando adquieren su verdadera importancia es en el caso de variables cuantitativas continuas o discretas agrupadas en intervalos.

Medidas de dispersión.

Las medidas de dispersión completan la información de las medidas de centralización y nos dan una idea de la variabilidad de los datos. Su objetivo es cuantificar la variabilidad de las observaciones, de manera que nos sirvan de referencia para considerar a las medidas de tendencia central como muy representativas del conjunto, poco representativas o nada representativas, según los valores que adopten.

-rango o recorrido: diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. El recorrido, al estar basado sólo en la información de los dos valores extremos, aporta poca información sobre el conjunto de la distribución, por lo que se utiliza en pocas ocasiones.

-recorrido intercuartílico: diferencia entre el tercer y el primer cuartil, tiene la ventaja respecto a la anterior de que elimina la distorsión que pueden producir los valores extremos. Da la dispersión del 50% de la distribución.

-Desviación típica y VARIANZA: Está basada en la diferencia que hay entre cada valor de la variable y la media; dado que la suma de todas las desviaciones a la media es cero, propiedad de la media, se utiliza la media de las desviaciones al cuadrado; a ese valor se le conoce con el nombre de varianza.

….y a su raíz cuadrada es la desviación típica; así pues, la desviación típica es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de cada valor de la variable y su media aritmética.

Tanto la varianza como la desviación típica son siempre positivas, pues la varianza es la media aritmética de valores positivos (las desviaciones al cuadrado) y su raíz cuadrada también. La desviación típica viene expresada en las mismas unidades que la variable; para poder calcularla la variable ha de estar medida a nivel de intervalo o de razón. Tanto la varianza como la desviación típica permanecen invariables ante un cambio de origen, esto es, si a todos los datos se les suma la misma cantidad la varianza y la desviación típica no varía; sin embargo, si se ven afectadas por un cambio de escala, es decir, si todos los valores de la variable se multiplican por el mismo número, la desviación típica de los nuevos valores es igual a la de los antiguos multiplicada por ese número.

Interpretación conjunta de la media y la desviación típica: Se demuestra que si consideramos el intervalo de extremos la media menos k veces la desviación típica y la media más k veces la desviación típica, fuera de ese intervalo, queda una proporción de individuos no superior a 1 dividido por el cuadrado de k. Así, si k = 2, en el intervalo de extremos la media menos dos desviaciones típicas y la media más dos desviaciones típicas se encuentra más del 75% (1-1/4) de las observaciones; en el caso en que k = 3, obtenemos que entre la media y tres desviaciones típicas se encuentra al menos el 89% (1-1/9) de los valores de la variable. En el caso de la distribución normal veremos que esas cifras mejoran sustancialmente.

-Coeficiente de variación. Dado que la desviación típica viene expresada en las mismas unidades que la variable, no sirve para establecer comparaciones entre la dispersión de dos variables que estén expresadas en unidades diferentes, incluso si están expresadas en las mismas unidades si el orden de magnitud es diferente tampoco podríamos establecer correctamente las comparaciones. Un ejemplo que aclara lo anteriormente expuesto es la comparación de la dispersión de las edades de un grupo de personas con la dispersión de sus salarios. Por una parte, la desviación típica de la edad viene expresada en años y la de los salarios en euros, con lo que la comparación no es posible; pero por otra parte dado que el rango de variación de la edad es mucho menor que la de salarios, puede ocurrir que la desviación típica de los salarios valga 200 euros (sería un valor pequeño) y que las edades tuvieran una desviación típica de 30 (valor grande) si comparamos en términos absolutos la variabilidad de los salarios es mayor que la de las edades, lo que no es razonable, pues con esos valores es seguro que la dispersión de las edades es mayor.

Para solucionar este problema se utilizan los coeficientes de variación; el más utilizado es el coeficiente de variación de Pearson: se define como el resultado de dividir la desviación típica entre la media. Suele expresarse en porcentaje y nos indica que tanto por ciento de la media representa la dispersión de la variable. Así, si se obtiene un valor del coeficiente de variación de 0.42, significa que la dispersión de esa variable es el 42% de su media. Dado que el coeficiente de variación es una medida de dispersión, que no pueden ser negativas, en el caso en que la variable tenga una media negativa, para el cálculo del coeficiente de variación consideraremos la media en valor absoluto.

Datos atípicos y diagramas de caja.

Datos atípicos: Como los datos pueden presentar en las observaciones errores de medida o de grabación o ser heterogéneos con el resto porque se han obtenido en circunstancias distintas nos encontramos con ciertos datos atípicos. Es frecuente que aparezcan entre un 1 y un 3% de datos atípicos.

Para poder distinguir los datos atípicos se suele utilizar la diferencia entre el tercer y primer cuartil (Q3 - Q1 ). Se consideran atípicos aquellos valores que se alejan 1.5 veces esa diferencia, por la izquierda del primer cuartil o por la derecha del tercero. A los que se alejan más de 3 veces esa diferencia se le llama extremos.

El diagrama de caja es una representación que nos da una idea de las características de una distribución de frecuencias y permite identificar los datos atípicos: L I = Q - 1.5 (Q3 - Q1) y L S = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1 ); los valores que queden fuera de ese intervalo se considerarán atípicos.

Medidas de forma.

Las medidas de forma nos indicarán cómo es la forma de una distribución de frecuencias sin necesidad de dibujar su gráfica. En la forma de una distribución de frecuencias se estudia su simetría y su apuntamiento.

Se dice que una distribución es simétrica si ambos lados de la media y equidistantes de ella hay parejas de valores con la misma frecuencia. Si una distribución es simétrica se verifica que la media, la moda y la mediana son iguales.

Si la distribución no es simétrica, se distinguen dos tipos de asimetría:

- asimetría positiva o por la derecha si la mayoría de los individuos se sitúan en torno a los valores inferiores de la variable, mientras que unos pocos presentan los valores grandes; dado que los valores de la variable se representan de menor a mayor, la asimetría positiva (por la derecha) se caracteriza porque la gráfica de la distribución tiene un ascenso fuerte hasta alcanzar la frecuencia correspondiente a la moda, pues a los valores pequeños les corresponden frecuencias grandes, para descender a continuación suavemente, ya que a los valores grandes, al ser pocos, les corresponderán frecuencias pequeñas. Por el contrario, si los valores pequeños de la variable tienen frecuencias pequeñas, esto es, hay pocos valores pequeños, y hay muchos valores grandes, por lo que estos tendrán frecuencias grandes, la gráfica de la distribución ascenderá suavemente hasta la frecuencia más alta (correspondiente a la moda), para disminuir bruscamente a la derecha de la moda, en este caso se dice que presenta asimetría negativa o por la izquierda. En el caso de asimetría positiva o por la derecha (mayoría de valores pequeños y unos pocos grandes) la media se verá afectada por los valores grandes y en consecuencia será mayor que la moda y que la mediana.

-asimetría por la izquierda o negativa (mayoría de valores grandes y pocos pequeños) la media se verá afectada por esos valores pequeños y, en consecuencia, será menor que la moda y la mediana.

Esta idea nos sugiere una forma de comprobar si una distribución es simétrica y en caso de que no lo sea, determinar si la simetría es positiva o negativa. Basta comparar la media con la moda o la mediana, si es igual la distribución es simétrica, si la media es mayor la distribución será asimétrica por la derecha, si es menor asimétrica por la izquierda.

Coeficiente de asimetría de Pearson: Si dividimos la diferencia (media -moda) o (media-mediana) por la desviación típica obtenemos un coeficiente adimensional (no depende de las unidades en que esté medida la variable). Ese coeficiente se conoce con el nombre de coeficiente de asimetría de Pearson.

Fisher propuso un coeficiente basado en el momento central de tercer orden. En general, se define el momento central de orden r (r = 1, 2, 3, …) como el resultado de dividir la suma de las desviaciones a la media elevadas a la r-ésima potencia entre el número total de observaciones. Si r =1, obtenemos el momento central de orden 1 que siempre vale cero, pues la suma de las desviaciones a la media es cero (propiedad de la media); si r = 2, obtenemos el momento central de segundo orden que coincide con la varianza; si r = 3, obtenemos el momento central de tercer orden: resultado de dividir por el número de observaciones la suma de las desviaciones a la media elevadas al cubo.

En las distribuciones simétricas los momentos centrales de orden impar son cero, pues al tener parejas de valores equidistantes de la media y con la misma frecuencia, las desviaciones positivas y negativas se van a compensar y al estar elevadas a exponente impar mantendrán su signo, con lo que la suma será cero.

Esta idea es la que tomó Fisher para su coeficiente: dado que el momento central de orden uno vale siempre cero, tomó como medida de la simetría (asimetría) el momento central de orden 3, y para obtener un coeficiente adimensional propuso dividirlo por el cubo de la desviación típica; así pues, se llama coeficiente de asimetría de Fisher al resultado de dividir el momento central de orden tres por la desviación típica elevada al cubo.

Interpretación: si da cero la distribución es simétrica; si da positivo la distribución presenta asimetría positiva o por la derecha, si da negativo presenta asimetría negativa o por la izquierda.

Otra característica de la forma de una distribución es su apuntamiento o Curtosis: mide cómo se reparte la frecuencia relativa entre el centro y los extremos de la distribución. Diremos que una distribución tiene alto apuntamiento si la mayoría de los valores se agrupan en el centro de la distribución con unos pocos valores extremos; por el contrario diremos que es poco apuntada o que tiene un apuntamiento bajo si los valores se reparten entre el centro y los extremos de la distribución, sin que se produzca una alta concentración de valores en el centro de la distribución.

El apuntamiento se mide por el coeficiente de Curtosis (para ver la homogeneidad de la distribución) que se define como el resultado de dividir el momento central de orden cuatro por la desviación típica elevada a la cuarta potencia. Cuanto mayor es el valor del coeficiente, mayor es el apuntamiento y en consecuencia mayor la homogeneidad de la mayoría de los datos, aunque puede haber algunos datos atípicos; por el contrario si su valor es pequeño, la distribución es poco apuntada, lo que sugiere heterogeneidad de los datos. Suelen considerarse muy pequeños los valores inferiores a 2 y muy grandes los valores superiores a 5; la normal tiene un valor del coeficiente de Curtosis igual a 3.

Puntuaciones directas, puntuaciones de desviación y puntuaciones tipificadas o típicas.

Sea X una variable estadística, cuyos valores son x1 , x2 ......... xn. Sea X , la media de dicha variable y x S la desviación típica de dicha variable. Se definen las puntuaciones directas de la variable X, como los distintos valores que puede tomar dicha variable, x1 , x2 ......... xn.

Se definen las puntuaciones de desviación de la variable X, como las diferencias de los valores de la variable X con respecto a su media. Así: x1 - X , x2 - X ......... xn- X .

Se define las puntuaciones Z o típicas como los valores que se obtienen al dividir las puntuaciones de desviación por la desviación típica. Así:

Propiedades de las puntuaciones Z ó típicas.

-La media de las puntuaciones Z es igual a cero

-La desviación típica de las puntuaciones Z es igual a uno.

-medidas de dispersión que miden su variabilidad

-las medidas de posición que nos indican el lugar que ocupa un determinado dato en la distribución de frecuencias.

TEMA 3

Distribuciones bi-variables: presentación y análisis de tablas bi-variables.

Distribuciones marginales y condicionadas.

-Las distribuciones bivariables permiten examinar la distribución porcentual de una variable (variable dependiente) dentro de las diferentes categorías de otra variable (la independiente); éstas surgen cuando se consideran simultáneamente dos características de una misma población o muestra; en este caso, a cada unidad de análisis le corresponde un par de categorías (numéricas si se trata de variables cuantitativas). Los valores (en sentido amplío) de las dos variables y sus correspondientes frecuencias suelen disponerse en una tabla de doble entrada que recibe el nombre de Tabla de Correlación en el caso de variables cuantitativas y Tabla de Contingencia cuando sean cualitativas.

Las categorías de la variable independiente se representan en las columnas de la tabla, (ej: las categorías hombre y mujer figurarían en las columnas y las categorías a favor y en contra en las filas). A las distribuciones que coinciden con las de cada una de las variables por separado se les llama distribuciones marginales. Como las frecuencias absolutas son poco informativas se hace necesario calcular porcentajes para estandarizar los datos. Resulta que es posible calcular varios tipos de porcentajes:

- Tomando como base la distribución marginal de la variable Actitud

- Tomando como base la distribución marginal de la variable Sexo

- Tomando como base el total de los casos

-¿¿Cómo calcular los porcentajes??: deben calcularse tomando como base la distribución marginal de la variable independiente. No siempre es posible determinar qué variable es la independiente; así, por ejemplo, si consideremos las variables “posición en una escala ideológica” y “percepción de la situación económica del país”, resulta difícil decidir qué variable influye. En casos como este, los porcentajes deben calcularse dependiendo de la pregunta formulada; si es:¿cuál es la distribución de las preferencias ideológicas entre los que consideran como buena (o regular o mala) la situación económica?, hemos de calcular los porcentajes tomando como base la marginal de la situación económica. Para una correcta presentación y lectura de las tablas bivariables han de tenerse en cuenta las siguientes consideraciones:

Distribuciones Condicionadas.

Llamamos distribución condicionada de la variable “X”, a la categoría “k” de la variable “Y”, a la distribución que a cada categoría de la variable “X” se le asocia la frecuencia que figura en la correspondiente categoría “k” de la variable “Y”. De la misma forma se puede considerar la distribución condicionada de la variable “Y” por alguna de las categorías de la variable “X”. Si el nivel de medida de las variables lo permite, se pueden calcular las medianas, medias, varianzas, etc. de una de las variables condicionadas a alguna de las categorías de la otra. (por ejemplo: distribución condicionada de la variable edad, condicionada a ser mujer)

Asociación de dos variables. El coeficiente Gi-Cuadrado.

De igual modo que las distribuciones univariables quedan caracterizadas mediante el estudio de su tendencia central, dispersión y forma, se puede caracterizar la relación entre dos variables mediante el estudio de las siguientes características:

1) Existencia de asociación. Existe asociación entre dos variables cuando las correspondientes distribuciones condicionadas porcentuales difieren entre sí.

Si entre dos variables no existe ningún tipo de relación se dice que son independientes. Para comprobar si dos variables son independientes calculamos las respectivas distribuciones marginales y condicionadas. Si las frecuencias relativas condicionadas coinciden con sus respectivas frecuencias relativas marginales las variables son independientes. En caso contrario diremos que hay algún tipo de dependencia o asociación.

2) Grado o fuerza de la asociación. Se distinguen dos tipos de asociación entre las variables:

-funcional, si existe una expresión matemática que nos permite obtener de manera inequívoca los valores de una de las variables a partir de los de la otra;

-estadística, si existe un tipo de relación que no puede representarse de manera exacta por una fórmula matemática. Es en el caso de dependencia estadística cuando cabe hablar de fuerza de la asociación, ya que es un caso intermedio entre los extremos de independencia y dependencia funcional.

3) Dirección y naturaleza de la asociación. Cuando, en una tabla, la tendencia de variación conjunta de las dos variables los valores altos de una variable se corresponden con valores altos de la segunda y los valores bajos se corresponden igualmente, se dice que hay una asociación positiva. Por el contrario si a los valores altos de una de las variables le corresponden los valores bajos de la otra y recíprocamente, diremos que hay una asociación negativa.

Es claro que para poder hablar de la dirección de la asociación es imprescindible que las variables consideradas se hayan medido, como mínimo, a nivel ordinal. La naturaleza de la asociación se refiere a la forma en que se distribuyen los datos en una tabla. Tienen especial interés las asociaciones lineales tanto en la estadística general como en la investigación sociológica en particular, aunque con frecuencia los datos sociológicos se distribuyen siguiendo formas curvilíneas o de otra naturaleza.

El coeficiente Gi-Cuadrado.

Una forma de comprobar la existencia de asociación entre dos variables es comparar las frecuencias observadas con las que cabría esperar si no hubiera asociación (frecuencias esperadas). Si entre ambas no hay diferencia afirmaremos que no hay asociación entre las variables. Dado que las frecuencias esperadas son las que tendríamos en el supuesto de no asociación y esto ocurre cuando las distribuciones condicionadas coinciden con las marginales, para calcular las frecuencias esperadas (fe) haremos que las frecuencias marginales y las condicionadas coincidan.

La comparación entre los valores observados y los esperados se hace calculando sus diferencias (a cada valor observado se le resta su correspondiente valor esperado). Si alguna de esas diferencias es distinta de cero, se puede hablar que existe algún tipo de asociación entre las variables, si por el contrario, todas son nulas concluiremos que no hay asociación entre las variables.

Coeficiente chi-cuadrado

Es una mediada de asociación de las denominadas de "distribución libre", ya que no depende de condiciones especiales que deban cumplir los datos. Su expresión es:

Para obtenerlo, los cálculos se pueden organizar en una tabla con cuatro columnas y tantas filas como casillas tenga la tabla:

-1º columna: se escriben las frecuencias observadas,

-2º columna: las esperadas,

-3º columna: sus diferencias

-4º columna: el resultado de dividir el cuadrado de la diferencia por la frecuencia esperada.

El valor del coeficiente es la suma de la cuarta columna.

El coeficiente chi-cuadrado siempre es positivo (es la suma de números positivos), y vale cero cuando no hay asociación entre las variables, pues para que valga cero es necesario que todos los sumandos sean nulos, y eso solo ocurre en el caso de que todas las frecuencias observadas coincidan con sus correspondientes esperadas. El valor máximo no es fijo, sino que vale

X² < N (K-1)

En el caso particular de una tabla (2xj) o (ix2) el valor máximo de X² es N, pues K=2. El que su valor máximo dependa del número de observaciones y del número de filas y columnas de la tabla supone un gran inconveniente ya que si tenemos, por ejemplo, dos tablas en las que las variables tengan el mismo grado de asociación, pero una tenga doble número de filas y columnas que la otra, sus valores de x² no serán iguales como deberían ser, sino que uno será doble del otro. Estos problemas de estandarización hacen que no se utilice apenas como medida de asociación. Es más utilizado en la estadística inferencial que en la descriptiva. Como medidas de la fuerza de la asociación se utilizan algunos coeficientes derivados de él que no presentan ese inconveniente.

Coeficientes basados en el coeficiente

1º )El coeficiente Fi cuadrado.

Este coeficiente tomaría un valor comprendido entre cero y K-1, siendo K el numero más pequeño de filas y columnas de que conste la distribución bidimensional. K = min (i, j); siendo "i" el número de filas y "j" el número de columnas. En el caso particular de una tabla (2xj) o (ix2) el valor máximo de Fi cuadrado sería de 1. Así el coeficiente Fi Cuadrado tomaría para dichas tablas un valor comprendido entre cero y uno.

2º) El coeficiente Fi.

Este coeficiente tomaría un valor comprendido entre cero y la raiz cuadrada de K-1.

3º) El coeficiente de contingencia C de Pearson.

Este coeficiente tomaría un valor comprendido entre cero y la raiz cuadrada del cociente entre K y K-1.

El valor de este coeficiente es siempre un numero más pequeño que la unidad, ya que su valor se obtiene al extraer la raíz cuadrada a un cociente, en el que el numerador es menor que el denominador, en todos los casos.

Con este coeficiente, se puede comparar la fuerza con que están asociadas dos distribuciones bidimiensionales, siempre que estas tengan la misma dimensión., así para tablas cuadradas de tamaño 2x2, el coeficiente de contingencia C de Pearson, toma como valor máximo 0'707; para tablas de dimensiones 4x4, el valor máximo de C sería de 0'87. etc.

4º) El Coeficiente T de Tschruprow

df son los grados de libertad de una tabla, y se obtiene multiplicando el numero de filas

menos uno por el numero de columnas menos uno.

Con este coeficiente se obtiene que el valor máximo que puede tomar dicho coeficiente

es uno, siempre que la tabla sea cuadrada, no así cuando no lo es.

5º )El coeficiente V de Cramer.

Este coeficiente se obtiene sustituyendo los grados de libertad en el coeficiente T de Tschruprow por un valor t = al valor más pequeño de (m-1) o (n-1), siendo m y n las filas y columnas, respectivamente de la tabla estadística. Este coeficiente es de los más utilizados.

TEMA Nº 4

Repaso de Combinatoria:

Factorial de un numero

Variaciones

Variaciones con repetición

Permutaciones

Permutaciones con repetición

Combinaciones o números combinatorios

Ejemplos: ¿De cuantas formas distintas se podrían elegir comisiones de dos alumnos de entre siete?¿Cuántas muestras distintas de dos libros de estadística se podrían tomar de un estante donde hubiera 10 de estadística?

1. Introducción.

Estadística inferencial, cuyo objetivo es inferir propiedades de la población a partir de las observadas en una muestra de la misma.

El instrumento conceptual que permitirá esta generalización es un modelo de la población, es decir, una representación simbólica de su comportamiento. Los modelos estadísticos van a actuar de puente entre lo observado (muestra) y lo desconocido (población). Su construcción y estudio es el objetivo del cálculo de probabilidades.

2. Concepto de Probabilidad

“La probabilidad de que se presente un determinado resultado es igual al número de casos favorables a ese resultado dividido por el número total de casos posibles, siendo todos los resultados igualmente probables”. (Probabilidad a priori)

El problema práctico de esta definición consiste en que la definición sólo es válida cuando todos los resultados tienen la misma probabilidad, situación que no siempre se da. Ello condujo a que en el siglo XIX se definiera la probabilidad como “el número al que tienden las frecuencias relativas cuando el número de repeticiones es muy grande”. (Probabilidad a posteriori)

Para evitar inconvenientes (que hay probabilidades inciertas, que se estiman las probabilidades suponiendo que las frecuencias observadas del pasado se mantendrán en el futuro….), la probabilidad se definió, en los años treinta del siglo pasado, axiomáticamente; esto es, como un número que debe cumplir determinadas propiedades o axiomas (las de las frecuencias relativas).

Un hecho verificable empíricamente es que la frecuencia relativa de aparición de determinados fenómenos tiende, al aumentar el número de repeticiones, hacia un valor constante.

Posteriormente, se observó esta misma propiedad en datos demográficos (por ejemplo, la frecuencia relativa de nacimiento de varones tiende a 0.51), así como en multitud de fenómenos económicos, industriales y sociales. A los fenómenos que presentan esta característica se les llama aleatorios, así pues, llamaremos fenómeno aleatorio al que presenta las siguientes características:

• Repetido en igualdad de condiciones puede presentar resultados distintos y además no puede predecirse en cada caso cuál será el resultado.

• Si se repite un número elevado de veces, la frecuencia relativa de un determinado resultado tiende a aproximarse a una cantidad fija. Esta característica se conoce con el nombre de “regularidad estadística” de las frecuencias relativas.

-Sucesos elementales. Llamaremos sucesos elementales de un experimento o fenómeno aleatorio a un conjunto de resultados posibles que verifican: siempre ocurre alguno de ellos y son mutuamente excluyentes.

-Espacio muestral. Llamaremos espacio muestral al conjunto de resultados posibles del experimento. A los distintos subconjuntos del espacio muestral les llamaremos sucesos y los representaremos por letras mayúsculas del alfabeto latino. Los sucesos elementales son un caso particular de suceso.

-Suceso seguro y suceso imposible. Por conveniencia se considera al propio espacio muestral como suceso y se le llama suceso seguro porque siempre ocurre, suele representarse por E. Suceso imposible es el que no se verifica nunca.

-Sucesos incompatibles. Dos sucesos diremos que son incompatibles si son mutuamente excluyentes, esto es si no se pueden verificar los dos a la vez.

-Suceso contrario. Dado un suceso A, llamaremos contrario o complementario de A al suceso que se verifica siempre que no se verifica A. Al suceso contrario de A lo representaremos por. Obsérvese que un suceso A y su contrario son incompatibles; pero el que A y B sean dos sucesos incompatibles, no significa que necesariamente uno sea el contrario del otro.

Representaremos por (A o B) al suceso que se verifica cuando se verifica A, o se verifica B, o se verifican los dos; y por (A y B) al suceso que se verifica cuando se verifican los dos.

Definición axiomática de probabilidad. : Llamaremos probabilidad a un número que asociamos a cada suceso y que nos da una medida de la incertidumbre de que ocurra ese suceso; ese número debe cumplir las propiedades siguientes:

La probabilidad de cualquier suceso es un valor entre cero y uno.

La probabilidad del suceso seguro es uno.

Si A y B son dos sucesos incompatibles se tiene que la probabilidad del suceso (A o B) es igual a la suma de P(A) y de P(B).

3. Reglas para asignar probabilidades.

1. Sucesos igualmente probables: regla de Laplace.

Si tenemos n sucesos A1, A2, …, An ;que cumplen las siguientes condiciones:

siempre se verifica alguno de ellos,

son mutuamente excluyentes o incompatibles,

todos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Por una parte se verifica:

P(A1 o A2 o … o An ) = P ( E ) = 1 (axioma 2).

Por otra:

P(A1 o A2 o … o An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + … + P (An) (axioma 3)

Como todos tienen igual probabilidad resulta que

n P(Ai ) = 1; luego P(Ai ) = 1/n

Si consideramos el suceso A que se descompone en k sucesos que cumplen esas condiciones: A1 , A2 , …, Ak con k menor que n, resulta que

P(A) = P(A1 o A2 o … o Ak ) = k P (Ai ) = k * 1/n = k/n

Al número de sucesos en que se descompone el suceso A, (k), se le suele llamar casos favorables y al número total de sucesos, (n), casos posibles, y la expresión anterior coincide con la definición clásica de probabilidad: la probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles. Esa regla se conoce con el nombre de regla de Laplace, para aplicarla hay que estar seguro de que se cumplen las tres condiciones impuestas.

2. Suceso contrario.

Sea un suceso A y su contrario . Por una parte, A y son incompatibles, luego P(A o ) = P(A) + P() (axioma 3º); y por otra, el suceso (A o ) es el suceso seguro, luego P(A o ) = 1 (axioma 2º). En consecuencia:

P(A) + P() = 1; P() = 1 - P(A).

3. Sucesos compatibles. Regla de la suma

Supongamos que A y B son dos sucesos compatibles, esto es, la P(A y B) es distinta de cero. El suceso (A o B) podemos descomponerlo en tres sucesos que si son incompatibles: (A y B), (A y ), ( y B).

Luego: P(A o B) = P(A y B) + P(A y ) + P( y B). (*)

Por otra parte: P(A) = P(A y B) + P(A y ); P(A y ) = P(A) - P(A y B)

P(B) = P(A y B) + P( y B); P( y B) = P(B) - P(A y B)

Sustituyendo en (*) queda:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Expresión que se conoce con el nombre de Regla de la Suma y que es una generalización del tercer axioma, pues si A y B son incompatibles, como se pide en dicho axioma, P(A y B) = 0, y la regla de la suma coincide con dicho axioma.

4. Probabilidad condicionada. Regla de la multiplicación.

Dado un suceso A con probabilidad no nula, a la probabilidad de que ocurra un suceso B, una vez que ha ocurrido el suceso A, le llamaremos probabilidad condicionada del suceso B por el suceso A y la representaremos por P(B/A). Se define como:

P(B/A) = P(A y B) / P(A).

Esta definición nos indica que la probabilidad de un suceso puede verse modificada si tenemos una información adicional (ocurrencia de A). En este caso diremos que los sucesos A y B son dependientes; por el contrario diremos que son independientes si la información de A no altera la probabilidad de B, esto es, cuando P(B/A) = P(B).

Si en la expresión de la definición de probabilidad condicionada quitamos el denominador queda:

P(A y B) = P(A) * P(B/A)

Expresión que se conoce con el nombre de regla de la multiplicación. En el caso particular en que los sucesos A y B sean independientes, la regla de la multiplicación se puede formular de la siguiente forma:

P(A y B) = P(A) * P(B);

5. Pruebas compuestas. Probabilidad total.

Consideremos una prueba que se realiza en dos etapas: en la primera los sucesos posibles, A1, …, Ai, son mutuamente excluyentes, con probabilidades conocidas, P (Ai), y tales que: P(Ai) = 1. En la segunda etapa, los resultados posibles, B1, …, Bj, dependen de los de la primera, y se conocen las probabilidades condicionadas P(Bj / Ai ) de obtener cada posible resultado Bj, cuando aparece en la primera etapa el Ai .

En el caso particular de que i varíe de 1 a 3 y de que j varíe de 1 a 2, podemos representar el enunciado anterior en el siguiente diagrama:

Si deseamos calcular la probabilidad del suceso B , sin tener en cuenta lo que ha sucedido con los sucesos A1, …, Ai, hemos de tener en cuenta que el suceso: Bj es el mismo suceso que (Bj y A1 ) o (Bj y A2) o … o (Bj y Ai ); como estos sucesos son incompatibles se verifica que P(B ) será la suma de las probabilidades de cada uno de ellos; probabilidades que para calcularlas no tenemos más que aplicar la regla de la multiplicación. Esta regla se conoce con el nombre de probabilidad total y puede formularse:

P(Bj ) = P(Bj y A1 ) + P (Bj y A2) + … + P (Bj y Ai );

En la práctica, es útil obtener el diagrama en árbol correspondiente y determinar todas las “ramas” o “caminos” que conducen al suceso Bj. Para obtener la P(Bj) bastará calcular la probabilidad de cada una de ellas (regla de la multiplicación) y sumarlas.

Inversión de condiciones.

Consideremos, como en la regla de la probabilidad total, una prueba que se realiza en dos etapas: en la primera los sucesos posibles, A1, …, Aj, son mutuamente excluyentes, con probabilidades conocidas, P (Ai ), y tales que la suma de las probabilidades de todos ellos sea 1. En la segunda etapa, los resultados posibles, Bj , dependen de los de la primera, y se conocen las probabilidades condicionadas P(Bj / Ai ) de obtener cada posible resultado Bj , cuando aparece en la primera etapa el Ai . Esta regla nos va a permitir calcular las probabilidades de los resultados obtenidos en la primera etapa, conocido el resultado obtenido en la segunda; es decir, las probabilidades de (Ai / Bj ).

En efecto, si aplicamos la regla de la multiplicación a los sucesos: (Ai y Bj),

(Bj y Ai), resulta:

P (Ai y Bj) = P(Ai )* P(Bj / Ai )

P (Bj y Ai) = P(Bj ) * P (Ai / Bj )

Como en esas expresiones los dos primeros miembros son iguales, también deberán serlo los segundos. Por tanto:

P(Ai )* P(Bj / Ai ) = P(Bj ) * P (Ai / Bj ) ;

De donde:

P (Ai / Bj ) = P(Ai )* P(Bj / Ai ) / P(Bj )

Expresión que se conoce con el nombre de teorema de Bayes, en honor del clérigo y matemático inglés del siglo XVIII, Thomas Bayes que la formuló, aunque su publicación tuvo lugar en 1763, después de su muerte.

7. Distribuciones de Probabilidad discreta y continua.

-Variable aleatoria. Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. A cada suceso de dicho espacio se le puede asignar un número de tal modo que a distintos sucesos les corresponden distintos números. Pues bien llamamos Variable aleatoria definida sobre un espacio muestral a una función que permite asignar a cada suceso de E un numero real y sólo uno.

Tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas

-Una variable es discreta cuando entre dos valores consecutivos de la misma, la variable no puede tomar ningún otro valor. (nº de caras de una moneda)

-Una variable es continua cuando entre dos valores cualesquier de la misma, la variable puede tomar infinitos valores (altura de los individuos de un colectivo).

Conviene precisar que las variables aleatorias continuas deben considerarse como idealizaciones matemáticas, pues en la práctica los instrumentos de media sólo posibilitan mediciones discretas.

Características de las variables aleatorias DISCRETAS

1.- Función de probabilidad. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de probabilidad definida sobre la variable aleatoria X, como la función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad de ocurrencia de dicho valor o suceso. Así:

F(xi)=P(X=xi) f: X ---------- > [0,1]

xi---------- >P(X=xi)

Son propiedades que cumple la función de probabilidad:

a) f(xi)"0

b)  f(xi) = 1

c) Si a <b<c son valores de la variable aleatoria X, entonces

P(a"X"c)=P(a"X"b)+ P(b"X"c)

2.- Función de distribución. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de distribución de dicha variable a aquella función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad acumulada hasta ese valor. Así:

F(xi)=P(X"xi) F:X---------- > [0,1]

xi--------- > F(xi)= P(X"xi)

Son propiedades que cumple la función de distribución:

F(-")=0

F(+")=1

F(x) es monótona creciente

P(a"X"b)= F(b)-F(a)

3.- Media, valor esperado o Esperanza matemática. Dado un experimento aleatorio, entendemos por media o esperanza matemática de una variable aleatoria asociada a dicho experimento al valor al que tiende a estabilizarse, cuando el experimento se repite un numero elevado de veces. Se nota por E(X) y es igual a la suma de los productos de cada uno de los valores de la variable aleatoria por su función de probabilidad, así:

E(X)=  xif(xi)

Propiedades de la Esperanza matemática:

a) E(a)=a siendo a un valor constante.

b) E(aX)= aE(X)

c) E(a+X)= a+ E(X)

Ejemplo de Esperanza matemática. En una lotería que sólo produce beneficios al ganador, ¿Cuál creéis que debiera ser la Esperanza matemática de la variable euros ganados en dicha lotería? La solución E(X)= 0

4.- Varianza y desviación típica. La Varianza se define como la Esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a su Esperanza matemática. Así

²(X) = Var(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²)-[E(X)]² siendo la desviación típica la raíz cuadrada de la varianza

Propiedades de la varianza

²(a) = 0 siendo a un valor constante

²(a+X) = ²(X)

²(a•X) = a²• ²(X)

Variables aleatorias DICOTÓMICAS. Media y varianza de dichas variables.

Una variable aleatoria diremos que es dicotómica cuando dicha variable sólo puede tomar dos valores distintos; x1=0 y x2=1. La función de probabilidad de una variable dicotómica sería, si f(1)= p como  f(xi) = 1, entonces f(0)+f(1)= 1 y como f(1)=p, tendríamos que f(0)=1-p.

La esperanza matemática de una variable aleatoria dicotómica en la que f(1)=p, sería:

E(X)= 0•(1-p) + 1•p = p

E(X²) = 0² • (1-p) + 1² • p = p y la varianza sería ²(X) = p - p² = p•(1 - p)

Variables aleatorias TIPIFICADAS. Media y varianza de dichas variables.

Sea X una variable aleatoria cuya media o esperanza matemática es E(X)=µ y la desviación típica (X) = . A partir de estos valores y de la variable aleatoria X podemos construir una nueva variable Z cuyos valores se obtiene mediante la siguiente expresión

X - µ

Z = ------



Esta nueva variable tendrá una media igual a cero y una desviación típica igual a uno.

E(Z) =E(------) = -- E(X - µ ) = -- [E(X) - µ] = 0, ya que E(X) = µ

²(Z) = E(z²) - [E(z)]² = E(z²) ya que E(z) = 0

luego ²(Z) = E(z²) = E( ------)² = E[ ------] = -- E(X - µ)² = -- • ² = 1

Por tanto toda variable aleatoria tipificada tiene de media cero y desviación típica uno.

Características de las variables aleatorias CONTINUAS

1.- Función de densidad de probabilidad. Es aquella función que asigna a cada valor xi de la variable X la densidad de probabilidad de la variable X en el punto xi. Así

f(xi) = P(X=xi)

Propiedades:

f(x) " 0

"f(x) dx = 1

2.- Función de distribución. Es aquella función que asigna a cada valor de la variable X su probabilidad acumulada.

F(xi) = P(X"xi)

Propiedades:

F(-") = 0

F(+") = 1

F(x) es monótona creciente

P(a " x " b) = F(b) - F(a)

3.- Valor Esperado. E(x) = "xi•f(x) dx

4.- Varianza. ²(X) = E(X²) - [E(X)]² = "xi²•f(x) dx - ("xi²•f(x) dx)²

Distribuciones de Probabilidad

Es una función de probabilidad o de densidad de probabilidad, definida sobre un conjunto de sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes.

Estas distribuciones de probabilidad son teóricas y desconocidas en general, para muchas variables aleatorias.En el caso que se conozca la distribución de probabilidad, podemos averiguar la distribución de frecuencias que cabe esperar que se obtenga en una muestra de tamaño “n” extraída de dicha población. Si f(x) es la probabilidad asociada a un intervalo, la frecuencia que cabe esperar que se presente dicho intervalo cuando se elige una muestre de tamaño “n” sería nf(x)

Tema 5. Modelos de Distribución de Probabilidad.

Distribución muestral: A partir del muestreo repetido, es una descripción matemática de todos los resultados posibles de los eventos muestrales y la probabilidad de cada uno.

Distribución binomial

Un experimento aleatorio sigue el modelo binomial si cumple:

En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados, a uno de ellos se le suele llamar éxito y al otro fracaso (carácter mutuamente excluyente de ambos).

El resultado obtenido en cada prueba del experimento es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.

La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los dos resultados posibles es constante, y por tanto, no varía de una prueba del experimento a otra; la probabilidad de uno de ellos suele representarse por p y la de su contrario por q (p + q = 1)

La variable binomial es una variable discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n.

Para indicar que X es una variable binomial de parámetros n y p, escribiremos

B(X, n, p)

X es la Variable binomial, n representa el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad del suceso llamado éxito, que es constante en todas las pruebas del experimento.

Dado que la tabla, por ser una función de distribución, lo que da es la P (X " x), si queremos calcular la P(X = x) hemos de restar a la probabilidad de que X sea menor o igual a x, la probabilidad de que X sea menor o igual a x -1.

Así: P(X = x) = P (X " x)- P (X " x-1)

Tiene:

media n•p ----------- varianza n•p•q.

2. La distribución normal.

El modelo de distribución de probabilidad para variables continuas más importante es la distribución normal. La gráfica de su función de probabilidad es la campana de Gauss.

Al tratarse de una distribución simétrica unimodal, la media, la moda y la mediana coinciden. Cuando una variable tiene una función de probabilidad cuya gráfica sea la de la figura diremos que dicha variable sigue una curva Normal de media µ y desviación típica , se expresa así N (µ,). Cuanto mayor sea la desviación típica, más aplastada será la función de probabilidad.

En toda distribución normal en el intervalo de extremos:

-La media menos la desviación típica, la media más la desviación típica se encuentra el 68.3% de la distribución.

P(µ-1<X< µ+1)=0.683

-La media menos dos veces la desviación típica, la media más dos veces la desviación típica se encuentra el 95.5% de la distribución.

P(µ-2<X< µ+2)=0.955

-La media menos tres veces la desviación típica, la media más tres veces la desviación típica se encuentra el 99.7% de la distribución.

P(µ-3<X< µ+3)=0.997

Al estudiar la función de distribución de una variable continua, el calcular la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo equivale a calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función de probabilidad, los extremos del intervalo y el eje de abscisas.

En el caso de que el valor dado sea menor que cero o que deseemos conocer el porcentaje de casos superiores a uno dado (área a la derecha) utilizaremos la simetría de la distribución normal. En los casos en que la variable no tenga media cero o desviación típica uno, habrá previamente que tipificarla para transformarla en una nueva variable cuya media sea 0 y su desviación típica sea 1. La variable tipificada suele representarse por la letra Z y sus valores por z.

3. La normal como aproximación de otras distribuciones.

3.1. El Teorema central del límite.

El teorema central del límite establece que si tenemos n variables aleatorias independientes con media µ, varianzas ² y distribuciones de probabilidad cualquiera, la variable suma de las n variables anteriores, si n es muy grande, se aproxima a una normal de media la suma de las medias y varianza la suma de las varianzas.

Ritchey: sin tener en cuenta la forma de la distribución de las puntuaciones directas de una variable de intervalo/razón, la distribución muestral de las medias se aproximará a una normal en su forma.

3.2 Aproximación de la binomial.

La variable binomial X = “número de éxitos al repetir n veces un experimento binomial” puede considerarse como suma de n variables (cada una de las repeticiones) que toman el valor 1 si en esa repetición se obtiene un éxito y 0 en caso contrario. Si le aplicamos el teorema anterior podemos afirmar que si n es grande la distribución de X se aproxima a una normal que tiene de media n•p y por varianza n•p•q. La aproximación será mejor cuanto mayor sea el valor de n. En la práctica, se suele considerar que la aproximación es buena si n mayor que 30 y p no es un valor muy cercano a cero o uno.

Un criterio comúnmente aceptado y que incluye a los dos anteriores, es considerar la aproximación como buena si los productos n p y n q son mayores que cinco.

4. Distribuciones deducidas de la normal.

4.1. La distribución chi-cuadrado

Supongamos que tenemos k variables independientes que tienen como distribución de probabilidad la normal estandarizada. Así, definimos una nueva variable sumando los cuadrados de las k variables anteriores, al número de variables independientes se le llama grados de libertad y a su función de distribución se le llama distribución chi-cuadrado con k grados de libertad.

La media vale k (grados de libertad) y su varianza 2k.

En la tabla, para valores de los grados de libertad superiores a 30 puede aproximarse por la normal tal y como se indica en la tabla.

-grados de libertad: número de oportunidades de muestreo para compensar las limitaciones, distorsiones y debilidades potenciales en los procedimientos estadísticos. Cálculo: si solo hay una variable es el número de modalidades -1. En el caso de que sean 2 variables se hace el producto del número de filas menos uno por el número de columnas menos uno

4.2. La distribución t de Student.

La ley de números grandes sostiene que, para una distribución muestral de medias, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n, menor será el error estándar. A la inversa, las muestras especialmente pequeñas tienen errores estándar tan grandes que la curva de la probabilidad se estira y se aplana. Así, la t de Student, al ser generalmente de muestras <30 y por ello se aproxima a la normal.

La distribución t es simétrica y está tabulada. La media es cero y tiene mayor dispersión que la normal estandarizada, siendo su varianza para n mayor que 2 igual a n / (n-2).

Tema 6. Métodos de muestreo. Distribuciones muestrales.

-población a un conjunto homogéneo de elementos en los que se estudia una característica dada.

-muestra: En ocasiones en que es imposible de estudiar a la población en toda su extensión, seleccionaremos un conjunto representativo de elementos. A los valores numéricos que describen características de la población se les llama parámetros y a los que describen características de la muestra estadísticos. Así, la media de una población diremos que es un parámetro, mientras que la media de una muestra diremos que es un estadístico. Al porcentaje que representa el tamaño de la muestra sobre el de la población, (n / N) 100, se le llama fracción de muestreo y al número de veces que la muestra está contenida en la población coeficiente de elevación.

El proceso seguido para extraer una muestra de una población se conoce con el nombre de muestreo. El muestreo puede ser de dos tipos: probabilístico o aleatorio y no probabilístico. En el primero se conoce, o puede calcularse, la probabilidad asociada a cada una de las muestras que es posible extraer de una determinada población; cada elemento de la población tiene una probabilidad conocida, o al menos calculable, de pertenecer a la muestra. En el segundo tipo de muestreo se desconoce, o no se tiene en cuenta, la probabilidad asociada a cada una de las muestras posibles. El investigador selecciona aquella muestra que, según su opinión, es más representativa o, simplemente, aquella que puede extraer con mayor comodidad o menor costo.

Distintos tipos de muestreos aleatorios.

6.2.1. Muestreo aleatorio simple. (Para poblaciones pequeñas fundamentalmente)

Es un método de extracción de muestras que garantiza que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra aleatoria. En el muestreo aleatorio puede procederse con reposición y sin reposición y suele distinguirse entre poblaciones finitas e infinitas. Nosotros estudiaremos sólo el caso de poblaciones finitas.

-muestreo aleatorio con reposición: cada elemento seleccionado es devuelto a la población antes de la siguiente extracción. Si llamamos N al tamaño de la población, cada elemento tiene una probabilidad igual a 1/N de ser elegido.

-muestreo aleatorio sin reposición: los elementos seleccionados no son devueltos a la población. La población ahora ya no permanece idéntica en cada extracción, pues en cada extracción hay un elemento menos que en la anterior. Con ello en la primera extracción la probabilidad asociada a cada elemento de la población será 1/N, en la segunda 1/(N-1), en la tercera 1/(N-2) y así sucesivamente. En este caso, en cada extracción todos los elementos poblacionales disponibles tienen la misma probabilidad de ser elegidos (característica del muestreo aleatorio) pero, a diferencia de lo que ocurría antes, el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior.

Siempre que la población con la que trabajemos sea muy grande, tanto si es con reposición como si no, entenderemos que se dan las dos condiciones características del muestreo aleatorio simple: igualdad de probabilidades en todas las extracciones e independencia del resultado de cada una respecto a las anteriores. Aunque no existe una regla fija para determinar cuando una población es lo bastante grande, puede afirmarse que cuanto más grande sea mejor.

6.2.2. Muestreo sistemático.

En el muestreo aleatorio sistemático, o simplemente sistemático, se comienza elaborando una lista con los N elementos de la población numerados del 1 al N. A continuación se determina el tamaño n de la muestra que se desea obtener y se calcula el cociente k = N / n. Si k no es un número entero se redondea al entero más próximo. Se selecciona al azar un elemento entre los k primeros. Si ese elemento suponemos que ocupa el lugar i, los restantes elementos de la muestra serán los elementos poblacionales que ocupen los lugares: i+k, i+2k, i+3k, .... hasta elegir todos los componentes de la muestra.

Si la lista está ordenada al azar, este procedimiento es equivalente al muestreo aleatorio simple, aunque resulta más fácil de llevar a cabo sin errores.

6.2.3. Muestreo estratificado.

Si sabemos que la población no es homogénea respecto a la característica a estudiar, sino que está formada por estratos diferentes que constituyen categorías importantes para la investigación, la selección de la muestra no debe hacerse globalmente, pues nos expondríamos a que los estratos estuvieran desigualmente representados (ej: encuestas de opinión, tenemos diferentes sexo, edad , etc.). Dado que interesa que la muestra tenga una composición análoga a la población, debe elegirse en estos casos una sub-muestra de cada estrato. Se denomina muestreo estratificado aquel en que los elementos de la población se dividen en estratos. La muestra se toma asignado un número o cuota de miembros a cada estrato y escogiendo los elementos por alguno de los procedimientos anteriores dentro de cada estrato.

En general, la precisión aumenta con el número de estratos si estos están bien elegidos, pero no conviene prodigar su número si tal aumento no compensa las complicaciones de cálculo y disminución del tamaño de la muestra dentro de cada estrato, pues un gran número de estratos puede originar que aparezcan estratos vacíos o casi vacíos. Se da el nombre de afijación al reparto de los “n” elementos de la muestra entre los distintos estratos. Esta puede ser:

-Proporcional. Se extrae de cada estrato el número necesario de individuos para que la distribución por estratos en la muestra y la población coincidan. Así, por ejemplo, si en la población hay un 55% de mujeres y un 45% de hombres y un 40% de casados y un 60% de solteros, viudos o separados, elegiremos para la muestra tantos individuos de cada estrato como sea preciso para que esos porcentajes se mantengan.

-Simple o no proporcional. Si no se conoce la distribución de la población en los distintos estratos puede asignarse el mismo número de unidades muestrales a cada estrato. También puede ocurrir que conociéndose, resulta un número muy pequeño de individuos en un estrato, por lo que las unidades deben elegirse de forma no proporcional, al objeto de que esos estratos tengan representación suficiente en la muestra para poder obtener conclusiones, aunque ello vaya en detrimento de la representatividad global de la muestra.

-Óptima. Si conocemos la variabilidad de la característica a estudiar en cada estrato, tomaremos muestras reducidas de los estratos homogéneos y muestras más grandes de los heterogéneos.

6.2.3. Muestreo por conglomerados.

Es otro procedimiento de muestreo, también aleatorio, en el que las unidades muestrales no son individuos, sino un conjunto de individuos que, bajo determinados aspectos, se puede considerar que forman una unidad. A este tipo de muestreo se le denomina muestreo por conglomerados (ej de conglomerados naturales: los hospitales, las escuelas, los departamentos universitarios, etc.). Existen otros tipos de conglomerados no naturales formados también por conjuntos de elementos, que pueden recibir el mismo tratamiento muestral que los caso anteriores como, por ejemplo, las urnas electorales.

La elección de los conglomerados que forman parte de la muestra se hace por alguno de los procedimientos anteriores. Si los conglomerados tienen pocos individuos se procede a estudiarlos todos (muestreo monoetápico), si hay muchos individuos que pertenecen a un mismo conglomerado hay que recurrir al sub-muestreo (poli etápico).

En este tipo de muestreo el conocimiento de la población se simplifica, dado que basta con tener un listado de conglomerados, del que se van a seleccionar los elementos que van a formar parte de la muestra. Solo los seleccionados son los que van a servir para recoger la información que se pretende obtener.

Las ideas de estratificación y de conglomerado son opuestas: la estratificación funciona tanto mejor cuanto mayores sean las diferencias entre los estratos y más homogéneos sean éstos internamente; los conglomerados funcionan si hay muy pocas diferencias entre ellos y son muy heterogéneos internamente incluyendo la variabilidad de la población dentro de cada uno.

6.3. Muestreos no probabilísticas (no implican el criterio de aleatoriedad)

Se utilizan en algunas ocasiones porque tienen unos costes más bajos en la recolección de los datos, o porque al utilizarlas se evitan los problemas que a menudo se presentan al extraer una muestra al azar. El problema de las muestras no probabilísticas es que no permiten la estimación de los errores de muestreo. Entre las técnicas no probabilísticas destacan las siguientes:

-Muestras accidentales. Se toman los elementos que más fáciles son de obtener o que están más a mano, continuando el proceso hasta completar la muestra (las entrevistas que hacen los periodistas de radio o televisión para pulsar la opinión de la calle). En este tipo de muestreo no es posible conocer la representatividad de la muestra y no hay forma de calcular el error de muestreo.

-Muestras intencionadas. Una estrategia usual es elegir aquellos individuos que se consideran representativos de la población, suponiendo que los errores de juicio de la selección tenderán a compensarse entre sí. El problema está en la dificultad para conocer quienes son los elementos representativos de la población.

-Muestreo por cuotas. Este tipo de muestreo fue desarrollado en los años treinta y ha sido adoptado por muchos organismos dedicado a realizar encuestas de opinión pública, investigaciones de mercado, etc. Se aplica en la última etapa del muestreo y consiste en asignar a cada entrevistador un número de entrevistas a personas en un determinado grupo de edad, sexo, nivel económico, etc. Sujeto a estas restricciones, se deja en libertad al entrevistador para que éste elija a las personas que cumplen dichos requisitos. El margen de libertad dado al entrevistador puede introducir sesgos en el proceso de selección, que en general no podrán ser detectados. Al no conocer las probabilidades de selección no pueden estimarse los errores de muestreo.

6.5 Concepto de distribución muestral.

Es una distribución de probabilidad de un estadístico calculado en todas las muestras posibles de tamaño “n”, elegidas al azar de una población determinada. Cuando la población es pequeña, se puede obtener experimentalmente la distribución muestral de un estadístico dado siguiendo los siguientes pasos:

Se obtienen realmente todas las muestras posibles de un tamaño dado.

Se calcula en cada una de ellas el valor del estadístico que nos interesa.

Se construye una tabla con los diferentes valores obtenidos y sus probabilidades de ocurrencia (frecuencias relativas).

Para poder hacer inferencias estadísticas no es necesario conocer todas las características de la distribución muestral, sino en concreto las características que necesitamos conocer: media, desviación típica y forma.

6.5.1. Distribución muestral de la media.

Llamaremos “media muestral” a la variable cuyos valores son las medias de todas las muestras de tamaño “n” que pueden obtenerse de una población determinada. La variable media muestral la representaremos por X y a sus valores por x , x , …x . La media muestral tomará tantos valores como muestras de tamaño “n” puedan extraerse de una población de tamaño “N”. A la distribución de la variable media muestral se le llama distribución muestral de la media o distribución de las medias maestrales.

-La media de la variable media muestral es la media de la población.

-La desviación típica de la variable media muestral depende de si el muestreo es con o sin reemplazamiento. Si el muestreo es con reemplazamiento:. Si el muestreo es sin reemplazamiento

Forma: la distribución de la variable media muestral es la normal, si la variable considerada tiene por función de distribución la normal. En caso contrario, la distribución de la variable media muestral es aproximadamente normal, siendo la aproximación mejor cuanto mayor sea el tamaño de la muestra (buena para muestras de tamaño igual o superior a 30 )

6.5.2. Distribución muestral de la proporción.

Representemos por la proporción de individuos de la población que presentan una determinada característica. Si de esa población extraemos todas las muestras de tamaño “n” y en cada una de ellas calculamos la proporción de individuos que presentan esa característica, a la variable cuyos valores son las proporciones obtenidas en todas y cada una de las muestras le llamamos proporción muestral, la representaremos por “P”, y a su función de distribución distribución de la proporción muestral.

Si la población es pequeña, y en consecuencia el tamaño de la muestra también, la distribución de la proporción muestral puede obtenerse de la siguiente forma:

Se toman todas las muestras (con o sin reemplazamiento) de tamaño n.

Se calcula la proporción de individuos que presentan la característica considerada en cada una de ellas.

Se ordenan de menor a mayor en una tabla los valores obtenidos, colocando al lado de cada uno de ellos su frecuencia relativa acumulada.

-La media de la variable proporción muestral es la proporción poblacional.

-La desviación típica de la variable proporción muestral, si el muestreo es con reemplazamiento vale: Si el muestreo es sin reemplazamiento :

Forma: la distribución de la variable proporción muestral es aproximadamente la normal, siendo la aproximación mejor cuanto mayor sea el tamaño de la muestra; en la literatura se considera buena para muestras de tamaño igual o superior a 30.

Tema 7. TEORIA DE LA ESTIMACION

1. ESTIMADOR Y ESTIMACIÓN.

Un estimador es, en general, una expresión matemática que para valores concretos de una muestra nos da un valor concreto, que llamamos estimación.

Ejemplo: la expresión que utilizamos para determinar una media aritmética sería un estimador. Al elegir una muestra, esta muestra tendrá una media aritmética que se obtiene al aplicar la formula de la media, a ese valor concreto le llamamos estimación.

2. PROPIEDADES DE UN “BUEN” ESTIMADOR

1º_ofrecer estimaciones correctas: Pero un estimador, en cuanto estadístico que es, no es una constante sino una variable, pues su valor concreto depende de la muestra en la que se calcule y no todos los valores muestrales coincidirán exactamente con el valor del parámetro que deseamos estimar. Aun así, podemos esperar de un buen estimador que ofrezca, al menos como promedio, estimaciones correctas. A esta propiedad de ofrecer, en promedio, estimaciones correctas se le llama carencia de sesgo y, se dice, por tanto, que un estimador es insesgado o sin vicio si su valor esperado coincide con el parámetro que estima.

LA MEDIA MUESTRAL DEBE COINCIDIR CON LA MEDIA POBLACIONAL

2º_eficiencia. Un estimador es tanto más eficiente cuanto menor es su varianza. Una mayor eficiencia indica que el estadístico en cuestión varía menos de una muestra a otra, por lo que las estimaciones que se pueden realizar con él serán más precisas que las efectuadas con un estimador menos eficiente. Si un estimador insesgado ofrece, en promedio, estimaciones correctas, si ese estimador no es eficiente (es decir, si su varianza es muy grande) nos encontraremos con que muchas de esas estimaciones estarán muy por encima del verdadero valor del parámetro y otras muchas muy por debajo de ese verdadero valor.

3º_consistente. La consistencia como propiedad garantiza que, a medida que va aumentando el tamaño de la muestra, también va aumentando la probabilidad de que el estadístico utilizado como estimador coincida exactamente con el parámetro estimado.

INSESGADO + VARIANZA=0

4º_suficiente. Se dice que un estimador es suficiente si utiliza toda la información muestral relacionada con el parámetro que se desea estimar, es decir, si un estimador es suficiente, nuestra estimación no puede ser mejorada considerando otros aspectos de los datos no incluidos en su cálculo. El estadístico "media muestral" es insesgado, consistente, es más eficiente que, por ejemplo, la mediana y además es suficiente pues para calcular la media se utilizan todos los datos. La proporción muestral también es un buen estimador de la proporción poblacional.

3. ESTIMACIÓN PUNTUAL.

La estimación puntual consiste en atribuir a un parámetro poblacional desconocido el valor concreto (valor muestral) tomado por un estadístico utilizado como estimador. Ese valor muestral será uno u otro dependiendo del método de estimación que se utilice.

Uno de los métodos de estimación más simples, ideado por Pearson y llamado método de los momentos, consiste en atribuir al parámetro poblacional desconocido, el valor que toma en una muestra concreta, su correspondiente estadístico. Así, estamos efectuando una estimación puntual cuando utilizamos la media muestral para inferir el valor de la media poblacional. Uno de los problemas de la estimación puntual es que, dado un parámetro concreto, siempre es posible disponer de más de un estadístico para efectuar una estimación del mismo. El riesgo de ésta es que, difícilmente el valor tomado por un estadístico en una muestra concreta coincidirá exactamente con el valor del parámetro que se desea estimar. Debido a la variación muestral, existirá, en general, cierta discrepancia entre la estimación concreta efectuada y el valor del parámetro. A esa discrepancia se le llama error muestral, el cual no es posible averiguar en la estimación muestral, pero si en la estimación por intervalos.

4. ESTIMACION POR INTERVALOS.

Se trata de obtener dos valores que permitan afirmar que existe una alta probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentra entre ellos. Procediendo de esta forma es posible determinar el tamaño del error muestral máximo cometido en la estimación, es decir, el tamaño de la distancia máxima que, con una determinada probabilidad, esperamos que exista entre el verdadero valor del parámetro estimado y el valor del estadístico utilizado como estimador.

Un intervalo de confianza se obtiene, siempre, sumando y restando a la estimación el producto del coeficiente de confiabilidad por el error típico.

-Intervalo de confianza se obtiene:

Estimación ± Coeficiente de confiabilidad x Error típico. (error muestral)

-coeficiente de confiabilidad: son los valores de la distribución teórica del estimador que contiene un área igual al NIVEL DE CONFIANZA.

-error típico: es la desviación típica de la distribución muestral del estimador.

-nivel de confianza: Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional esté dentro del intervalo de confianza. Se expresa mediante 1- .

- es el nivel de riesgo: la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional desconocido se encuentre fuera del intervalo de confianza, es decir la probabilidad de No acertar con la estimación.

5. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA Y UNA PRPORCIÓN POBLACIONAL

5.1 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA POBLACIONAL CON NIVEL DE CONFIANZA 1 - .

 (desviación típica poblacional conocido) y población infinita

En este caso se toma una muestra de la población de tamaño n y para dicha muestra se determina el valor de la estimación, asociada al estimador la media aritmética. Este estimador se aproxima a . Se determinan los coeficientes de confiabilidad, que son los valores de la distribución teórica del estimador, en este caso los valores de z, pues el estimador está distribuido según una normal de media el parámetro poblacional desconocido  y desviación típica el cociente entre la desviación típica poblacional y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. El valor de z se expresa así por utilizar la tabla de la curva normal que nos da la relación entre el área desde -" hasta un valor de z positivo.

 (Desviación típica poblacional conocido) y población finita

De forma análoga al apartado a, tenemos que el estimador, la media aritmética, se aproxima a una distribución normal como sigue

 (Desviación típica poblacional desconocida) población infinita y tamaño de la muestra n"30.

En este caso se estima la desviación típica poblacional desconocida  por la desviación típica de la muestra . El estimador, la media aritmética, se aproxima a una Normal

 (Desviación típica poblacional desconocida) población finita y tamaño de la muestra n"30.

En este caso se estima la desviación típica poblacional desconocida  por la desviación típica de la muestra . El estimador, la media aritmética, se aproxima a una Normal

 (Desviación típica poblacional desconocida) población infinita y tamaño de la muestra n<30.

En este caso se estima la desviación típica poblacional desconocida  por la desviación típica de la muestra . . El estimador, la media aritmética, en este caso se aproxima mediante una distribución t de Student con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra.

 (Desviación típica poblacional desconocida) población finita y tamaño de la muestra n<30.

En este caso se estima, la desviación típica poblacional desconocida, , por la desviación típica de la muestra . El estimador, la media aritmética, se aproxima mediante una distribución t de Student con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra.

5.2 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL CON UN NIVEL DE CONFIANZA DE 1-

Para poblaciones infinitas.

Para estimar la proporción poblacional, consideramos como estimador la proporción muestral y dado que este estimador está distribuido según una normal

Para poblaciones finitas.

Para estimar la proporción poblacional, consideramos como estimador la proporción muestral y dado que este estimador está distribuido según una normal

6. TAMAÑO DE UNA MUESTRA

6.1 PARA ESTIMAR MEDIAS POBLACIONALES

Supongamos que la población de la que se va a tomar la muestra está normalmente distribuida y es infinita. El error típico será igual a y la cantidad que se va a sumar y restar a nuestro estimador es .Como este valor es la mitad de la amplitud del intervalo, si antes de tomar la muestra podemos conocer la amplitud de ese intervalo, podremos utilizar esa expresión para calcular el tamaño de la muestra.

Determinar el tamaño del intervalo significa determinar como de cerca nos gustaría que estuviera nuestra estimación de la media verdadera. Así, por ejem­plo, si queremos que nuestra estimación diste como máximo 2 unidades del valor verdadero de la media, significa que el intervalo de confianza tendrá una amplitud de 4 unidades y por tanto. Expresión que nos permitirá despejar el valor de n. En general, si determinamos la amplitud del intervalo antes de tomar la muestra, y llamamos e a la mitad de esa amplitud (distancia máxima a la que nos gustaría que estuviera nuestra estimación del valor verdadero del parámetro) tenemos:

Población desconocida (infinita)

Población conocida (finita)

En el caso de que no tengamos la desviación típica, las posibles formas de calcularla son:

1. Muestra piloto. Consiste en obtener una muestra pequeña de la población y de ella obtener la desviación típica, considerando este valor como si fuese la desviación típica poblacional desconocida .

2. Recurrir a estudios anteriores similares y utilizar la desviación típica de esos estudios para estimar .

6.2 PARA ESTIMAR PROPORCIONES POBLACIONALES.

Como en ese caso hemos de especificar el tamaño del intervalo que vamos a construir, esto es como de cerca queremos que esté nuestra estimación p del valor verdadero.

Si llamamos “e” a la mitad de la amplitud elegida resulta la ecuación:

Las estimaciones de pueden tomarse en base a una muestra piloto o en base a estudios anteriores o lo que es más frecuente, considerar el caso “más desfavorable”, a saber =0'5, que nos determina el tamaño de muestra mayor.

Tema 8. Contraste de Hipótesis: Contrastes paramétricos y No paramétricos.

Definiciones de hipótesis.

Una hipótesis es una afirmación que está sujeta a una verificación o comprobación.

Una hipótesis es una suposición que se utiliza como base para una acción.

Hipótesis de investigación. La formulación de esta hipótesis puede estar basada en la experimentación, observación, experiencia u observación del propio investigador. Esta hipótesis, cuando menos, nos incita a llevar a cabo una investigación

Hipótesis Estadística. Surge cuando una hipótesis de investigación es reformulada de forma que se pueda medir con los instrumentos que aporta la estadística. Esta nueva hipótesis se le llama Hipótesis Estadística. Es una afirmación sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones. Las hipótesis estadísticas son de dos tipos:

a) Hipótesis nula: Es una afirmación en la que se dice que no hay ninguna diferencia entre dos poblaciones, entre dos parámetros poblacionales o entre el valor verdadero de algún parámetro y su valor hipotético, es aquella que se va a comprobar, también se suele llamar hipótesis de ninguna diferencia.. El término nula indica que la diferencia puede ser explicada por fluctuaciones aleatorias del muestreo y no que la diferencia tenga que ser exactamente cero.

b) Hipótesis alternativa
: Es la hipótesis complementaria a la nula, que aceptamos como verdadera cuando ésta se rechaza.

Procedimientos para llevar a cabo un contraste de hipótesis.

1.- Planteamiento de las hipótesis:

Para enunciar la hipótesis alternativa y por ende la hipótesis nula, debemos contestarnos a la siguiente pregunta ¿Qué deseo concluir en nuestra investigación? ¿Qué creo que es verdadero? La contestación a esta pregunta nos daría la hipótesis alternativa y por tanto el planteamiento complementario nos daría la hipótesis nula.

2.- Selección del nivel de significación:

En el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula se corre el riesgo de equivocarnos.

	La hipótesis nula es:
Decisión estadística	Verdadera	Falsa
Rechazo la	Error tipo I	Decisión correcta
No rechazo la	Decisión correcta	Error tipo II

Error de tipo I, nivel de riesgo .

Se produce un error de este tipo cuando rechazamos la siendo esta verdadera. La probabilidad de cometerlo se le denomina riesgo , riesgo de error, nivel de significación o riesgo de primera especie. Este riesgo , inherente a toda prueba de decisión, es conocido y se fija a priori de forma arbitraria. Habitualmente se suelen seleccionar valore pequeños como 0'05 ó 0'01.

A la probabilidad (1-) complementaria al nivel de significación, se le suele llamar Nivel de Confianza. Por eso cuando se rechaza la , solemos concluir que la diferencia es significativa al nivel de confianza del (1- ).

Error de tipo II, nivel de riesgo 

Se produce un error de este tipo cuando no rechazamos la hipótesis nula siendo esta falsa. La probabilidad de cometerlo se le denomina riesgo  o riesgo de segunda especie. Este riesgo es siempre desconocido porque aún cuando un estadístico caiga dentro de la zona de no rechazo de la hipótesis nula, no prueba que ésta sea verdadera.

3.- Descripción de la población y planteamiento de las suposiciones necesarias.

Es el momento de determinar si la variable está distribuida según una normal o se aproxima a una normal. Determinar si la población es finita o infinita. Si el muestro se realiza con reposición o no. Tamaño de la muestra y finalmente en su caso describir las suposiciones necesarias.

4.- Selección y especificación del estadístico de prueba y consideración de su distribución.

Consiste en observar el parámetro que se quiere contrastar, siendo el estadístico pertinente aquel que se corresponde con el parámetro poblacional. Si el parámetro poblacional es una media, el estadístico será una media. También se debe tener presente el conocimiento de la distribución muestral del estadístico elegido.

5.- Especificación de la zona o zonas de rechazo de la hipótesis nula

Cuando en la hipótesis alternativa se quiere comprobar que el parámetro es distinto de un valor dado, sin especificar la dirección, el contraste que se debe realizar es un contraste bilateral o de dos colas. La hipótesis nula se podrá rechazar por valores “muy grandes” o por valores “muy pequeños”.

Las hipótesis deben estar formuladas de la siguiente forma:

: parámetro poblacional = un valor concreto (:
)

: parámetro poblacional " un valor concreto (
:
)

Cuando en la hipótesis alternativa se indica una dirección del parámetro poblacional, no sólo es distinto, sino que se indica si es mayor o menor que, en este caso el contraste debe ser unilateral o de una sola cola. Esto nos indica que toda la zona de rechazo de la hipótesis nula se encuentra en una sola zona. A la izquierda o a la derecha de la distribución del estadístico de prueba.

Cuando las hipótesis nula y alternativa estén formuladas de la siguiente forma

: parámetro poblacional " un valor concreto (:
)

: parámetro poblacional > un valor concreto (
:
)

La hipótesis nula no se podrá rechazar para valores “pequeños” es decir por valores situados a la izquierda, sino que sólo se podrá rechazar para valores “grandes” o valores situados a la derecha. En este caso la zona de rechazo de la hipótesis nula se situará a la derecha de la distribución teórica.

Cuando las hipótesis nula y alternativa estén formuladas de la siguiente forma

: parámetro poblacional " un valor concreto (:
)

: parámetro poblacional < un valor concreto (
:
)

La hipótesis nula no se podrá rechazar para valores “grandes” es decir por valores situados a la derecha, sino que sólo se podrá rechazar para valores “pequeños” o valores situados a la izquierda. En este caso la zona de rechazo de la hipótesis nula se situará a la izquierda de la distribución teórica.

6.- Obtención de la información y cálculo de los estadísticos necesarios.

En es te apartado se realizan todos los procedimientos encaminados a obtener información de la población, a través de una muestra. Construyendo con dichos datos el valor real del estadístico de prueba, que será comparado, posteriormente, con el valor teórico del estadístico de prueba, que se obtiene del conocimiento de la distribución muestral del estadístico de prueba y buscando en las tablas estadísticas pertinentes.

7.- Decisión estadística.

La decisión estadística se toma comparando los valores reales y teóricos del estadístico de prueba, de tal forma que si el valor real del estadístico de prueba pertenece a la zona de rechazo de la hipótesis nula, se rechaza dicha hipótesis y se aceptaría la hipótesis alternativa. El valor teórico del estadístico de prueba tambén se le conoce como punto / os críticos. Son aquellos puntos que delimitan la zona de rechazo de la hipótesis nula.

Contrastes paramétricos:

• Contraste de hipótesis sobre una media poblacional

• Contraste de hipótesis sobre una proporción poblacional

-Contrastes no paramétricos basados en el coeficiente Chi-Cuadrado

Cuando nos encontramos con informaciones categorizadas en escalas nominales u ordinales con un numero de categorías superior a dos, en estos casos la prueba del Chi cuadrado resulta de una gran utilidad en cuanto permite comparar las frecuencias observadas con las frecuencias que cabría esperar, si fueses verdaderas las condiciones hipotéticas de las que se parte. Las posibilidades de aplicación de esta prueba:

Prueba de Bondad de ajuste: Esta prueba se aplica a una sola muestra con un solo carácter o variable. Es una de aplicaciones más sencillas, tendentes a contrastar si una distribución observada o empírica es diferente o no de una de una distribución o ley teórica dada. Para ello tabulamos en modalidades las frecuencias de la muestra - que llamamos frecuencias observadas - y a continuación se calculan las frecuencias esperadas o lo que es lo mismo el numero de individuos que deberían estar contenidos en cada modalidad de la distribución observada, si esta reprodujera exactamente las probabilidades del modelo teórico asumido.

-frecuencias esperadas para cada una de las modalidades: se obtienen multiplicando el tamaño de la muestra por la probabilidad asignada a dicha modalidad, así para cada una de las modalidades .Una vez conocidas las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, se obtiene el estadístico de prueba ideado por Pearson

Dicho estadístico obedece aproximadamente a una distribución con k-1 grados de libertad, siempre que n sea moderadamente grande (n>30) y las frecuencias esperadas para cada una de las celdillas no sea inferior a 5, en caso de que alguna celdilla presente una frecuencia inferior a cinco debemos agrupar las celdillas para obviar dicho problema. Luego, si:

no podemos rechazar la hipótesis nula y si rechazamos la hipótesis nula.

Prueba de Homogeneidad. O prueba para verificar si dos o mas muestras con una misma variable proceden de una misma población.

Prueba de independencia o relación de dos o más variables de una misma muestra.

-La distribución Chi cuadrado . Sean Z1, Z2, .............Zn, n variables aleatorias distribuidas normalmente con media cero y desviación típica 1, N(0,1) independientes entre sí y consideremos la variable Esta nueva variable diremos que se distribuye según una (Chi cuadrado) para n grados de libertad.

Propiedades de la Chi cuadrado:

La forma de esta función no es simétrica, crece rápidamente y decrece más lentamente.

Los valores de son mayores o iguales que cero.

Dichos valores están condicionados por los grados de libertad y por el área que deja bajo la curva y el valor de

No existe una única curva sino una familia de curvas, dependiendo de los grados de libertad.

El área bajo la curva es igual a uno.

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