INDICE

PARTE I

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ................................. pág. 3

DISTRIBUCION BINOMIAL ....................................................... pág. 5

DISTRIBUCION DE POISSON ...................................................... pág. 11

PARTE II

DISTRIBUCION NORMAL ...................................................... pág. 19

CONCLUSION ............................................................................ pág. 29

BIBLIOGRAFIA ............................................................................ pág. 30

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Definición

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

• x  Variable que define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

0"p(xi)1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Ejemplo para variable aleatoria discreta

Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara (50%), o cruz (50%).

La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una moneda:

PRIMER LANZAMIENTO	SEGUNDO LANZAMIENTO	NUMERO DE CARAS EN 2 LANZAMIENTOS	PROBABILIDAD DE LOS 4 RESULTADOS POSIBLES
CARA	CARA	2	0.5 X 0.5 = 0.25
CARA	CRUZ	1	0.5 X 0.5 = 0.25
CRUZ	CARA	1	0.5 X 0.5 = 0.25
CRUZ	CRUZ	0	0.5 X 0.5 = 0.25

Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que resulta de lanzar una moneda dos veces, se obtiene:

NÚMERO DE CARAS	LANZAMIENTOS	PROBABILIDAD DE ESTE RESULTADO P(CARA)
0	(CRUZ, CRUZ)	0.25
1	(CARA, CRUZ) + (CRUZ, CARA)	0.50
2	(CARA, CARA)	0.25

NOTA: Esta tabla no representa el resultado real de lanzar una moneda dos veces sino la del resultado teórico es decir representa la forma en que se espera se comporte el experimento de lanzar dos veces una moneda.

Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Por ejemplo:

• x  Variable que define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, )

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

• p(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

• El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

(LAS MAS UTILIZADAS)

• Distribución Binomial

• Distribución de Poisson

• Distribución Normal

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o su contrario A', llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A') = 1 - p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que facilitan el trabajo.

Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas binomiales

Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:

• P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento

• p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)

• q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como

q = 1 - p (0.50)

• X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla binomial tómese como r)

• n = número de intentos = 6

a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando el Minitab 15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (Referirse a la figura 1)

Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial

En seguida aparecerá la ventana “Binomial Distribution” (“Distribucion Binomial”).

• Seleccionar Probability

• En el campo de “Number of trials” (Número de intentos) colocar 6 (n)

• En el campo de “Event probability” colocar 0.50 (probabilidad de éxito)

• En el campo de “Input column” colocar el puntero del mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se selecciona con el puntero del mouse y luego presionar “Select”

• Una vez alimentado los datos presionar “OK” .

• Para obtener así el resultado.

La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda 6 veces es 0.234375.

Por lo tanto:

b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando las tablas binomiales.

• Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de obtener un valor específico de r (ocurrencia del evento).

• Para localizar la entrada, cuando p"0.50, localizar el valor de p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localizar n y r en el margen izquierdo.

• Para localizar la entrada, cuando p"0.50, localizar el valor de p en la parte inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.

Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas binomiales se tiene que:

p = 0.50, n = 6 y r = 2

Obteniendo resultado directo de tablas

NOTA: Para este caso en particular donde p = 0.50 se puede obtener el resultado de las tablas trabajando como si p"0.50 (encerrado en azul) o como si p"0.50 (encerrado en rojo)

DISTRIBUCION DE POISSON

La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó durante la última etapa de su vida.

Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- # de bacterias por c m2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar es:

donde:

p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es .

 = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)

X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Calculo de la distribución de probabilidad de Poisson por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas de Poisson

Por ejemplo:

Si un banco recibe en promedio (=) 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba:

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado (x),

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

(e= 2.718281828)

 

a) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando el Minitab 15.

Resolviendo para:

a) x = 4;  = 6 cheques sin fondo por día

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número 4 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la probabilidad de que el banco reciba 4 cheques sin fondos en un día dado). (Referirse a la figura 2)

Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Poisson

En seguida aparecerá una ventana “Poisson Distribution” (“Distribución de Poisson”).

• Seleccionar Probability

• En el campo de “Mean” (media =  ) colocar 6 (promedio de cheques diarios recibidos sin fondos)

• En el campo de “Input column” colocar el puntero del mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X. Seleccionarlo con el puntero del mouse y presionar “Select”

• Una vez alimentado los datos presionar “OK” .

• Para obtener así el resultado.

Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado es:

Resolviendo de igual manera para:

X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos.

• Para obtener así el resultado.

Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en dos días consecutivos es:

b) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando la fórmula

Resolviendo para:

a) x = 4;  = 6 cheques sin fondo por día y sustituyendo en la fórmula

Resolviendo:

Resolviendo de igual manera para:

b) X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos.

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando las tablas de Poisson

• Valores directos para determinar probabilidades de Poisson.

• Para un valor dado de , la entrada indica la probabilidad de obtener un valor específico de X

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día dado?

Se tiene  x = 4;  = 6 cheques sin fondo por día; obteniendo resultado directo de tablas :

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en dos días consecutivos?

Se tiene X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos, obteniendo resultado directo de tablas :

9

pX qn - X

x!(n - x)!

n!

P(X=x) =

pX qn - X

x!(n - x)!

n!

P(X=x) =

pX qn - X

x!(n - x)!

n!

P(X=x) =

figura 1

pX qn - X

x!(n - x)!

n!

P(X=x) =

(0.52) (0.56 - 2)

2!(6 - 2)!

6!

P(2 caras) =

P(2 caras) = 0.234375

P(2 caras) = 0.234375

(.25) (0.0625)

2(24)

720

P(2 caras) =

(0.25) (0.0625)

2(24)

720

P(2 caras) =

Tabla Binomial

P(2 caras) = 0.2344

X!

 xe-

P(X,  ) =

figura 2

X!

 xe-

P(X,  ) =

P(4 cheques sin fondo) = 0.133853 (13.39%)

P(10 cheques sin fondo) = 0.104837 (10.4837%)

X!

 xe-

P(X,  ) =

4!

64 e-6

P(X=4, =6 ) =

24

1296 x 0.0025

P(X=4, =6 ) =

P(4 cheques sin fondo) = 0.133853 (13.39%)

10!

1210 e-12

P(X=10, =12 ) =

61917364224 x 0.000006144212

P(X=10, =12 ) =

3628800

P(10 cheques sin fondo) = 0.104837 (10.4837%)

P(4 cheques sin fondo) = 0.1339 (13.39%)

P(10 cheques sin fondo) = 0.1048 (10.48%)

MAESTRIA EN ADMINISTRACION Y LIDERAZGO

TEMA:

"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD"

PARTE I

MATERIA: ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS