PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA

INTRODUCCIÓN

UNIDADES

P1. Escribe las siguientes expresiones utilizando los prefijos y abreviaturas adecuadas. Por ejemplo, 10000 metros = 10 km.

a) 12·10-6 Culombios. b) 2430000 Ohmios.

c) 0,000056 Amperios. d) 48,2·10-11 Faradios.

a) para el factor 10-6 se utiliza la abreviatura micro (µ), y para la unidad Culombio la abreviatura C. Por tanto, 12·10-6 Culombios son 12 µC.

b) 2430000 = 2,43·106,Ohmios = ð,

ð 2430000 Ohmios = 2,43 Mð.

c) 0,000056 = 56·10-6,Amperios = A,

ð 0,000056 Amperios = 56 µA.

d) 48,2·10-11 = 482·10-12,Faradios = F,

ð 48,2·10-11 Faradios = 482 pF.

O también es posible expresarlo como: 48,2·10-11 = 0,482·10-9,

ð 48,2·10-11 Faradios = 0,482 nF.

P2. Escribe las siguientes expresiones sin utilizar prefijos. Por ejemplo, 10 km = 10000 metros.

a) 3,12 µF. b) 102 mV. c) 14,8 pC. d) 0,29 kðð

a) El prefijo µ (micro) equivale a10-6, el símbolo F representa "Faradios". Por tanto, 3,12 µF es igual a 3,12·10-6 Faradios.

b) m ð 10-3, V ð Voltioð 102 mV = 102·10 -3 V = 0,102 Voltios.

c) p ð 10 -12, C ð Culombioð 14,8 pC = 14,8·10-12 Culombios.

d) k ð 1000, ð ð Ohmioð 0,29 kð = 0,29·103 ð = 290 Ohmios.

P3. Sea la magnitud física V(x,y,z), que se mide en Voltios (V). ¿En qué unidades se expresa
?

El gradiente de la función V(x,y,z) viene dado por:

donde, la función derivada parcial no tiene dimensiones, los vectores
, tampoco tienen dimensiones, y x, y, z tienen dimensiones de distancia. Por lo tanto, las dimensiones de
serán las de V, dividido por distancia:

y por tanto sus unidades serán V/m (Voltio/metro).

P4. Escribe la ecuación de dimensiones de la magnitud carga eléctrica, y determina cual es su unidad en el Sistema Internacional. Nota: recuerda que en el S.I., la intensidad de corriente es una magnitud fundamental, mientras que la carga eléctrica es una magnitud derivada. Consulta el tema 5, donde se explica la relación entre la intensidad de corriente, y la carga eléctrica.

En el tema 5 se define la intensidad de corriente eléctrica como

al igual que en el problema anterior, la función derivada no tiene dimensiones, y por lo tanto,

A la vista de este resultado, la unidad de la carga eléctrica será la unidad de intensidad de corriente (A), multiplicado por la unidad de tiempo (s), es decir As (amperio por segundo). Dicha unidad recibe el nombre de Culombio (C).

ANÁLISIS DIMENSIONAL

P5. Tomando como magnitudes M, L y T escribe las ecuaciones de dimensiones de las siguientes magnitudes:

a) Fuerza. b) Energía. c) Trabajo. d) Potencia.

e) Densidad volumétrica de masa. f) Densidad volumétrica de carga.

a) Para resolver este tipo de ejercicios, es conveniente recurrir a leyes físicas que relacionen la magnitud física de la cual queremos conocer sus dimensiones con otras magnitudes más sencillas.

Para el caso de la fuerza, es posible utilizar la segunda ley de Newton, que dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración:

F = m a

Por tanto, las dimensiones de F serán la dimensión de masa (m), multiplicado por las dimensiones de la aceleración (a):

[F] = [m] [a]

La masa es una magnitud fundamental,

[m] = M

La aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo:

y por tanto sus dimensiones serán:

Por tanto, las dimensiones de Fuerza son:

[F] = [m][a] = M L T-2

La unidad del sistema internacional para medir la magnitud Fuerza se denomina Newton (N).

b) En este caso es posible recurrir a la definición de energía cinética (Ec) de una partícula de masa m, que se mueve a velocidad v:

Ec = ½ mv2

[Ec] = [m][v]2

La velocidad es espacio dividido por tiempo:

[v] = [ x ]/[ t ] = L T-1

[Ec] = M L2T-2

Y en general, las dimensiones de la energía son M L2 T -2.

En el sistema internacional, la unidad de energía se denomina Julio (J).

c) Para una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza constante, el trabajo (W) es el producto escalar de la fuerza (
) por el desplazamiento (
):

Las unidades del trabajo son, como en el caso de la energía, Julios (J).

d) La potencia (P) es el trabajo realizado por una fuerza (W), en la unidad de tiempo (t):

La unidad en el sistema internacional para la potencia es el vatio (W).

e) La densidad volumétrica de masa (d) es igual a la masa (m), dividido por el volumen (v):

La unidad en el S.I. para la densidad volumétrica de masa será pues Kg/m3.

f) La densidad volumétrica de carga (ρ) es igual a la carga (q), dividido por el volumen (v):

La unidad en el S.I. para la densidad volumétrica de carga será por tanto C/m3.

P6. Sabiendo que el campo eléctrico 
se define como la fuerza por unidad de carga, determina las dimensiones y unidades del campo eléctrico.

Utilizando la primera igualdad de la ecuación anterior, la unidad del campo eléctrico
es la unidad de fuerza, dividido por la unidad de carga, es decir, N/C.

P7. La ley de Coulomb dice que la fuerza (
) ejercida entre dos cargas eléctricas puntuales, q1 y q2, separadas por una distancia r, viene dada por:

siendo

el vector unitario en la dirección de la línea recta que une las cargas. Determina las dimensiones y unidades de la constante ð 0.

A partir de la expresión de la ley de Coulomb, y teniendo en cuenta que el factor 4ð no tiene dimensiones, y que el vector unitario
tampoco las tiene, obtenemos:

de donde podemos despejar las dimensiones de ð 0:

 

Utilizando la primera igualdad de la ecuación anterior, las unidades de ð 0 son C2/Nm2.

P8. La fuerza electromotriz de un generador se define como la energía desarrollada, por unidad de carga:

Calcula las dimensiones de la fuerza electromotriz.

P9. La fuerza electromotriz (ð) inducida en una autoinducción es igual al coeficiente de autoinducción (L) multiplicado por la derivada de la intensidad respecto del tiempo y cambiado de signo:

Determina las dimensiones del coeficiente de autoinducción L.

Las dimensiones de los dos miembros de la ecuación deben ser iguales,

de donde podemos despejar las dimensiones de L,

En el sistema internacional, la unidad de la autoinducción es el Henrio (H).

P10. En el proceso de carga de un condensador, la carga almacenada por el condensador en función del tiempo, q(t), viene dada por,

donde Q es la carga máxima del condensador. Calcula las dimensiones de la constante ð.

El argumento de toda función matemática no debe tener dimensiones. Por tanto, las dimensiones del exponente e deben ser,

de donde obtenemos que,

[ ð ] = [ t ] = T

P11. El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie dividido por ð o:

Demuestra la homogeneidad de dicha ley.

La homogeneidad de una ley física implica que ambos miembros de la igualdad deben tener las mismas dimensiones.

Las dimensiones del primer miembro de la ley de Gauss son:

Y las dimensiones del segundo miembro de la ley de Gauss son:

Como se ve, las dimensiones de ambos miembros de la ley de Gauss son iguales, y por tanto la ley de Gauss es homogénea.

P12. La característica tensión-corriente de un generador viene dada por la expresión,

ð I = r I2 + (VA -VB) I

donde ð representa la fuerza electromotriz, r la resistencia, I la intensidad, y VA - VB la diferencia de potencial. Comprueba que dicha ecuación es homogénea.

Primeramente, para simplificar el problema, podemos dividir la ecuación completa por I, obteniendo:

ð = r I + (VA -VB)

y ahora hay que comprobar que las dimensiones de cada uno de los miembros de dicha ecuación son las mismas.

Las dimensiones de la fuerza electromotriz son,

[ ð ] = M L2T-3I-1

Puesto que la diferencia de potencial entre dos puntos (tema 3) es,

sus dimensiones son,

[ VA - VB ] = [E][I] = M L2T-3I-1

Las dimensiones de la resistencia r las podemos determinar a partir de la ley de Ohm,

y multiplicándolo por I,

[rI] = [r][I] = M L2T-3I-2I = M L2T-3I-1

Con lo cual vemos que cada uno de los miembros de la ecuación tiene las mismas dimensiones, y por tanto la ecuación es homogénea.

P13. Suponiendo que la energía almacenada por un condensador (W) depende de la carga que almacena (Q) y de su capacidad (C), determina mediante análisis dimensional la expresión de la energía almacenada por un condensador en función de estas variables.

Si la energía almacenada por un condensador (W) depende de la carga (Q) y de la capacidad (C), esto quiere decir que W será una función de Q y C, es decir,

W = K Qx Cy

donde K es una constante numérica sin dimensiones que no se puede determinar mediante análisis dimensional, y x e y son los exponentes que tenemos que determinar mediante análisis dimensional.

Como toda ley física debe ser homogénea, tenemos que

[W] = [K] [Q]x [C]y = [Q]x [C]y

Las dimensiones de W, Q y C son conocidas de otros ejercicios (ver problema propuesto número 6 para el caso de la capacidad),

ML2T-2 = Ix+2y Tx+4y M-y L-2y

para que esa igualdad sea cierta, los exponentes de M, I, T y L deben ser iguales en ambos miembros:

Por tanto,

La constante K no se puede determinar mediante el análisis dimensional. (En el tema 4 se muestra que K=1/2).

P14. Suponiendo que la potencia disipada (P) por una resistencia eléctrica depende de la intensidad (I) que circula por ella, y el valor de la resistencia (R), determina por análisis dimensional la expresión de la potencia disipada por una resistencia en función de estas variables.

Suponiendo que P es una función de I y R, tenemos,

P = K Ix Ry

y aplicando homogeneidad,

[P] = [I]x [R]y = Ix(ML2T-3I-2)y = Ix-2y My L2y T-3y

[P] = ML2T-3

igualando los exponentes en ambas ecuaciones,

y por tanto,

P = KI2R

siendo K una constante que no se puede determinar por análisis dimensional. En el tema 5 se ve que K=1.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

P1. Calcula la derivada direccional de la función U = x2y2z + 3xz2 en el punto P(1,-2,-1) y en la dirección del vector
.

La derivada direccional de la función U en la dirección dada por el vector
viene dada por la expresión
, que nos da la variación de la función por unidad de longitud en esa dirección.

Así, el vector unitario en la dirección y sentido del vector
, es:

y el vector gradiente:

luego la expresión de la derivada direccional en la dirección y sentido pedido es:

y en el punto P(1,-2,-1), sustituyendo las coordenadas del punto en la expresión anterior, tenemos:

Resultado que se expresaría en las unidades de la magnitud U por unidad de longitud.

P2. El campo de temperaturas creado por un foco esférico caliente tiene por expresión T=100/r (ºC), con r>0.1 m, donde r es la distancia al foco medida en metros. Si fijamos el origen de coordenadas en el foco. Determina:

a) Las superficies de nivel.

b) Vector gradiente en el punto (0,1,0) m.

c) Derivada direccional en la dirección del vector
y en el punto (0,1,0) m.

d) ¿En qué dirección en torno al punto (0,1,0) es nula la derivada direccional?.

a) Las superficies de nivel serán de la forma T=cte, es decir,

que corresponden a superficies esféricas centradas en el origen y radio mayor de 0,1 m.

b) El gradiente viene dado por:

calculando las tres componentes del vector, resulta,

La máxima variación de temperatura se da en dirección radial, aumentando al aproximarnos al foco de calor, o sea, en sentido contrario al del vector
.

En el punto pedido (0,1,0), resulta:

A este resultado podríamos haber llegado más fácilmente sabiendo que T = T (x,y,z), presenta simetría radial, por lo que:

c) La derivada direccional en la dirección del vector
, en el punto (0,1,0) se obtiene a partir de la expresión:

siendo,

resultando,

d) La derivada direccional será nula cuando nos desplacemos sobre una superficie de nivel, o lo que es lo mismo, en sentido perpendicular al vector gradiente. Si llamamos

al vector que indica nuestro desplazamiento, este vector debe cumplir:

en el punto (0,1,0):

La derivada direccional entorno al punto (0,1,0) es nula en las direcciones dadas por vectores de la forma:
, pudiendo adoptar dx y dz cualquier valor.

Este apartado se podría haber resuelto gráficamente, conocida la superficie de nivel que pasa por (0,1,0), el desplazamiento se realizaría en el plano y=1 (plano paralelo al XZ que pasa por el punto (0,1,0)).

P3. Comprueba que el campo

deriva de un potencial y halla la función U que lo representa.

Las condiciones para que el campo
derive de un potencial, son:

luego el campo
sí deriva de una función potencial.

Para encontrar la función potencial, se procede de la siguiente forma.

La función escalar U = U(x,y,z) de la cual deriva el campo vectorial
, ha de cumplir que
De este modo establecemos la igualdad entre las componentes de ambos vectores,

Ahora, la función escalar U = U(x,y,z), la obtenemos integrando las expresiones anteriores. Así, de la primera componente del vector, se obtiene,

Al resolver esta integral, las variables y, z son constantes, ya que la variable de integración es la x. La constante de integración K(y,z) es entonces un sumando que agrupa todos los términos de la función escalar que no dependen de x.

A partir de la segunda igualdad entre las componentes de los vectores, y teniendo en cuenta el resultado obtenido para la función U = U(x,y,z)   resulta,

luego,

recogiendo ahora el sumando K(z), los términos que sólo dependen de la variable z.

La función U = U(x,y,z) queda ahora,

Por último, aplicando la tercera igualdad entre componentes vectoriales, y arrastrando el valor obtenido para U,

es decir,

En definitiva, resulta para la función U:

siendo C una constante de integración que se obtendría conociendo el valor de U en algún punto del espacio.

P4. Dada la f.e.p. U=5x2+18. Calcula: a)Ñ U b) La circulación de Ñ U entre los puntos A y B a lo largo de la curva indicada en la figura y en el sentido señalado.

a) El gradiente de una función escalar viene dado por la expresión:

que aplicada a nuestra función nos da como resultado:

b) La circulación del gradiente de una función escalar, la podemos escribir como:

o sea que la circulación del gradiente entre los puntos A y B sobre la curva es igual al valor de la función U en B, menos el valor de la función U en A, y por tanto dicha circulación no depende del camino o curva que una ambos puntos sino únicamente de los valores de la función U en ambos puntos.

De esta forma obtenemos:

UB= U(2,1)=38 ; UA=U(0,0)=18

luego,

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL

P5. Calcula la circulación de entre los puntos A(1,0,0) y B(1,1,1): a) a lo largo del segmento que une A y B b) a lo largo de la curva x=1, y=t, z=t2 c) comprueba si la función deriva de potencial.

a) La circulación de un campo vectorial

a lo largo del tramo finito de la curva AB viene dada por la integral curvilínea:

que desarrollada es,

donde Fx, Fy, Fz son las componentes del campo vectorial, y dx, dy, dz las correspondientes componentes del vector
.

Teniendo en cuenta que, por un lado, la ecuación de la curva (recta) en forma paramétrica es:

y sus diferenciales se pueden expresar como,

y por otro lado, las componentes del campo vectorial también las expresamos en función del parámetro t, al sustituir x, y, z por sus valores sobre la curva:

quedándonos para la circulación una integral inmediata que depende exclusivamente del parámetro t,

Observa que los límites de integración los obtenemos al ver los valores que toma el parámetro t en los puntos correspondientes A y B. Así, t(A)=0 y t(B)=1.

b) Procediendo de igual forma, en este caso tenemos:

Ecuaciones paramétricas:

y como límites de integración: t(A)=0; t(B)=1

Ahora
la podemos expresar en función del parámetro t, como:

y para la circulación obtenemos:

Este resultado, el mismo que el del apartado anterior, no nos debe confundir respecto a que la circulación no dependa del camino elegido. El que los dos valores hayan sido iguales por caminos diferentes ha sido circunstancial, y no implica que la función
derive de un potencial, como podemos comprobar en el siguiente apartado.

c) Comprobamos si la función
deriva de un potencial, mediante la regla de las derivadas cruzadas,

;
;

De este modo, tenemos:

con lo cual vemos que
no deriva de potencial.

P6. Calcula la circulación de
entre los puntos A(1,1,1) y B(2,4,8):

a) A lo largo de la curva x=t, y=t2, z=t3 entre los puntos A y B.

b) Comprueba si la función deriva de un potencial.

a) La circulación del campo vectorial
, viene dada por:

siendo:

y expresando x, y, z en función del parámetro t:

Ecuaciones paramétricas:

nos queda:

y para la circulación, teniendo en cuenta los límites de la integral curvilínea, para A(1,1,1) ð t(A)=1 y para B(2,4,8) ð t(B)=2, resulta:

b) Comprobamos si la función
deriva de un potencial, mediante la regla de las derivadas cruzadas,

;
;

De este modo, tenemos para

con lo cual vemos que
no deriva de potencial.

FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL

P7. Calcula el flujo del campo vectorial a través de la superficie rectangular de la figura, situada sobre el plano YZ, con un lado de longitud a sobre el eje OY, y el otro, de longitud b, sobre el eje OZ.

El flujo de una función vectorial a través de una superficie, viene dado por:

 

Como la función solo depende de y tomamos el
de la figura, en el cual:

Así, sustituyendo en la expresión del flujo e integrando entre 0 y a, límites entre los que varía dy en el rectángulo, obtenemos:

P8. Calcula el flujo del campo vectorial a través de la superficie triangular de la figura, situada sobre el plano YZ, con un cateto de longitud a sobre el eje OY, y otro, de longitud b, sobre el eje OZ.

El flujo de un función vectorial a través de una superficie viene dado por:

Dado que la función depende solo de y, como diferencial de superficie elegimos el de la figura. La variable z la ponemos en función de y, teniendo en cuenta la relación de proporcionalidad entre catetos existente en el triángulo,

Así, sustituyendo en la expresión del flujo e integrando entre 0 y a, límites de integración de la variable y, resulta:

P9. Calcula el flujo de la función vectorial de punto a través de la superficie plana de la figura.

El flujo del campo
viene dado por la expresión:

El vector que define la superficie será normal a dicha superficie, de módulo a·b y sentido el que queramos (al no ser una superficie cerrada, es indistinto el sentido que tomemos para el vector que la define, aunque cambia el signo del flujo). Dibujamos la figura en el plano XY, y resulta para el flujo:

podríamos haber resuelto el problema realizando el producto escalar
, obteniendo el mismo resultado.