GEOMETRÍA ANALÍTICA

• Formas de expresar una RECTA en el espacio, con 1 punto y 1 vector dirección.

Ecuación de una recta: Es una fórmula que cumple todos los puntos que están en ella y solo en ella, existen varias formas de representar la ecuación de una recta:

• Ecuación vectorial:

Dado el punto (Xo,Yo,Zo) y el vector dirección (d1,d2,d3), la ecuación queda de la siguiente manera:

(x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t(d1,d2,d3). Dándole valor numérico a t, se consiguen todos los puntos de la recta

• Ecuaciones paramétricas:

Con en el mismo punto y dirección que la anterior la ecuación queda así:

X= xo + td1

Y= yo + td2

Z= zo + td3

• Ecuaciones de forma continua:

Con en el mismo punto y dirección que la anterior la ecuación queda así:

X-Xo = Y-Yo = Z -Zo

d1 d2 d3

• Ecuaciones Implícitas:

Estas ecuaciones se consiguen pasando a sistema de ecuaciones, la ecuación anterior:

(X-Xo)d2 = (Y-Yo)d1

(Y-Yo)d3= (Z-Zo)d2

Para poder pasar de una ecuación a otra: Sistema de Ecuaciones

Recta que pasa por dos puntos: Hallar la dirección restando el 2º punto - 1º punto

d= P - Q

Para averiguar si un punto es de una recta, con la ecuación implícita, se resuelve el sistema de ecuaciones y no puede ser Incompatible.

Recta paralelas al eje de coordenadas: Tienen que tener fijas 2 variables. Ej: Si x e y son fijas la recta será paralela al eje Z

Recta formada por un plano por 2 ejes de coordenadas

Una de sus variables tienen valor 0. Ej: Si el plano se forma con las variables x e y, la variable Z es 0.

Rectas paralelas a un plano coordenado:

Aquí mientras el punto de la recta conserva sus 3 variables, el vector dirección de la recta tiene valor 0 en una de sus variables.

Ej: Si la recta es paralela al plano formado por el eje de coordenadas, la variable z del vector dirección es 0.

• Formas de expresar un PLANO dado un punto y 2 vectores direcciones.

Para fabricar las ecuaciones de un plano, hacen falta un punto contenido en el plano y 2 vectores de dirección independientes.

• Ecuación vectorial:

Dado el punto (Xo,Yo,Zo) y los vectores u y v. La ecuación quedara de la siguiente manera: (x,y,z)= (Xo,Yo, Zo)+ t.u + s.v

• Ecuaciones paramétricas:

Con el mismo punto y las mismas direcciones que antes las ecuaciones quedan de la siguiente manera:

X= Xo + t.u1 + s.v1

Y= Yo + t.u2 + s.v2

Z= Zo + t.u3 + s.v3

• Ecuación Implícita:

Se forma un determinante entre los vectores dirección y (X-Xo, Y-Yo, Z-Zo) y al ser dependiente por estar en un mismo plano, el determinante tiene que ser igual a 0, así se forma la ecuación:

Adj11 * (x-xo) - Adj12 * (y-yo) + Adj13 * (z-zo) = 0

Después de hacer los cálculos necesarios sale la ecuación:

Ax + Bx + Cz + D= 0

• Ecuación normal

Un vector normal es un vector que es perpendicular al plano. En la ecuación normal en vez de utilizar los vectores direcciones, utiliza el vector normal del plano (n1,n2,n3)

La ecuación quedará de la siguiente manera: n1(x-Xo) + n2(y-Yo) + n3(z-Zo) = 0

El vector normal del plano se averigua mediante la ecuación implícita del plano.

Ya que el vector normal son los coeficientes de la (X,Y,Z)

Es decir en la ecuación implícita: Ax + Bx + Cz + D= 0. El vector normal es (A,B,C)

• Para averiguar un punto medio de un vector: B+A

2

• Para averiguar la ecuación de un plano dado 3 puntos: Fabricare 2 vectores direcciones con esos 3 puntos.

• Plano perpendicular a una recta por un punto dado: Crea la ecuación implícita con el vector normal, para hallar el coeficiente independiente (D) sustituye la X,Y,Z con el punto dado. Resuelve la ecuación y ya te saldrá el coeficiente (D)

• Averiguar si un punto dado esta en un plano: Se tiene que cumplir cualquiera de las ecuaciones del plano.

• Posiciones Relativas

Primero hay que decir que para averiguar posiciones relativas de cualquiera de las formas que vamos a ver se tiene que fabricar un Sistema de Ecuaciones de las ecuaciones implícitas de cualquiera de la forma de las que vamos a ver

• Posiciones Relativas de dos planos

Aquí pueden haber 3 posiciones relativas: Paralelos, coincidentes, o cortándose formando una recta

Si el sistema sale Incompatible: Planos paralelos

Si el sistema sale C.Indeterminado simple: Se cruzan formando una recta

Si el sistema sale C.Indeterminado doble: Planos coincidentes.

• Posiciones Relativas de tres planos.

Aquí hay 8 casos:

Si el sistema sale C.Determinado: Los planos son secantes en un punto.

Si el sistema sale C.Indeterminado Simple. Hay 2 casos: Que haya 2 planos coincidentes y uno distinto, cruzándose en una recta. Y 3 planos distintos que se corten en una recta.

Si el sistema sale C.Indeterminado Doble: Los planos son coincidentes.

Si el sistema sale Incompatible: Hay 4 casos: Planos paralelos (2 casos): 3 planos sean paralelos o 2 planos coincidentes y uno paralelo. Planos secantes 2 a 2 (2 casos): Se pueden cortar en forma de triángulos o los 2 planos paralelos y el 3º corta a los otros 2

NOTA: Para saber si un plano es coincidente, las ecuaciones implícitas de los planos son dependientes. Y para saber si es paralelo, solo son dependientes los coeficientes (A,B,C) de las ecuaciones implícitas.

• Posiciones Relativas de una recta y un plano:

Hay 3 casos:

Si el sistema sale C.Determinado: Se cruzan en un punto

Si el sistema sale C.Indeterminado: Recta contenida en el plano

Si el sistema sale Incompatible: Recta paralela al plano

• Posiciones Relativas de dos rectas:

Hay 4 casos:

Si el sistema sale C.Determinado: Se cortan en un punto

Si el sistema sale C.Indeterminado: Son coincidentes

Si el sistema sale Incompatible: Aquí hay 2 casos: Vectores de dirección de la recta proporcionales, las recta son paralelas. Si los vectores de dirección de la recta no son coincidentes, las rectas se cruzan sin cortarse.