Determinación de momentos de inercia y Teorema de Steiner

Introducción:

La segunda práctica que hemos realizado este segundo cuatrimestre consta de la determinación del momento de inercia de una serie de sólidos (barra, barra con pesas, cilindros macizo y hueco, disco, esfera) a partir del periodo de las oscilaciones de rotación que realizan, producidas por un muelle en espiral acoplado al eje de giro.

La práctica consta de tres partes, que son:

a)determinar la constante del muelle experimentalmente

b)cálculo del momento de inercia de una masa

c)determinar una serie de momentos de inercia

d)Teorema de Steiner

Objetos de estudio:

Para realizar esta práctica contamos con un instrumental y cierto “aparato” matemático, pero antes de comentarlos, citaremos los objetos con los que contamos:

• Varilla de metal dividida en secciones de un centímetro.

• 2 pesas que pueden acoplarse perfectamente a la varilla.

• *Un cilindro homogéneo.

• *Un cilindro hueco.

• *Una esfera.

• *Un plato.

• Una aguja que hemos pegado en un extremo de la barra para que atraviese el haz de luz.

(*Todos de plástico y de masa no puntual)

Instrumentos:

Cuando realizamos algún tipo de experimentación, es obvio que, aparte de necesitar un fenómeno para estudiar, necesitaremos también el instrumental adecuado para llevarlo a cabo.

En este caso, contamos con:

• Un dispositivo que se basa en un muelle en espiral, al que está fijado un eje vertical, que nos permite una gran variedad de oscilaciones con sólidos muy diferentes.

• La constante de este muelle la hallaremos experimentalmente de dos formas, como veremos más adelante.

• Un cronómetro accionado mediante una barrera fotoeléctrica, cuya precisión es de +0.001 s

• Una báscula para pesar los cuerpos, cuya precisión es de 0.1 g, es decir, +0.0001Kg.

• Un calibre, que utilizaremos para medir las longitudes de los cuerpos, de precisión 0.02 mm, es decir, +0.00002 m.

• Un metro de carpintero, con la misma función que el calibre, de precisión + 0.001m.

• Un dinamómetro para medir esfuerzos, que mide hasta +0.02 N.

Fundamento matemático/físico:

Antes de plantearnos esta práctica debemos tener claro para qué la hacemos. Cuando un sólido rígido está en rotación, podemos definir a partir del radio de su trayectoria, de su masa y de su velocidad angular, el concepto de momento angular que está realcionado con el concepto de momento de la cantidad de movimiento para un sólido que no esté girando, y aunque su módulo es mrv, lo que nos interesa en ésta ocasión es su componente sobre el eje z, su eje de giro.

Lz=mR2 ð

En un sistema de partículas esta expresión no pierde validez y de ella, sabiendo el sumatorio de la masa de cada partícula del sistema por su radio de giro es realmente el momento de inercia del sistema sobre el eje z, obtenemos:

Lz= Izð

El momento de inercia depende pues de la masa y de la forma del cuerpo, y, por supuesto depende del eje de giro.

Cuando el eje pasa por el centro de masas no hay ningún problema, pero cuando lo hace por otro tampoco, y que conocemos el teorema de Steiner, que intentaremos obtener más adelante.

I= Icm + md2

Dónde m es la masa del cuerpo y d la distancia entre los ejes.

La derivada del mometo de inercia es lo que conocemos como momento de fuerzas, es decir r.F, y en este caso, podemos relacionarlo con la constante del muelle y el ángulo girado(mediante la ley de Hooke), lo cual nos va a facilitar las cosas.

ðz=-k ð

De esta expresión obtenemos también la ecuación diferencial del movimiento armónico, que no utilizaremos directamente, aunque de ella obtendremos una de las fórmulas básicas de esta práctica, la del periodo:

(d2ððdtððð (kððIz )=0

ðð ððcos(2ðt/T)

!

T=2P"(Iz/K)

Conociendo ya todo lo que necesitamos para determinar momentos de inercia, ya podemos empezar con la práctica.

Esto es olo que hicimos:

a)determinar la constante del muelle:

Lo primero que hicimos fue colocar la barra centrada en el eje. No necesitábamos la brrera fotoeléctrica para nada, ni conocer la masa de la barra, sólo el dinamómetro.

Con la barra bien fija y el muelle en reposo acoplamos un extremo del dinamómetro a una distancia determinada del eje y tiramos hasta conseguir que la barra girase un ángulo ð ( ð/2, ð, 3ð/2, 2ð respectivamente), cuanto mayor es el ángulo mayor será el esfuerzo y viceversa, repetimos la acción cambiando la distancia y obtuvimos una serie de datos que posteriormente ajustamos a una gráfica.

Datos para el cálculo de la constante del muelle:

La gráfica nos muestra 4 rectas paralelas fácilmente apreciables, lo cual nos demustra que la distancia está relacionada con el momento, relación que expresa claramente el teorema de Steiner que ya conocemos.

De estas rectas extraeremos varios pares de números (dos de cada) con los que calcularemos la pendiente, que será la constante del muelle:

Por lo tanto, la constante del muelle es

K=0.019

b)momento de inercia de una masa:

Para poder apreciar claramente la variación que experimenta el momento de inercia de una masa puntual con el cuadrado de la distancia al centro de rotación, colocamos en la barra que ya habíamos fijado al eje vertical, dos pesas equidistantes a éste.

Sabemos que su momento será:

I= I0 + md2

Dónde m es la suma de las masas de las pesas, que en este caso pesan lo mismo, y d su distabcia al eje.

No conocemos I0 , pero sabemos que es el momento para d=0, y viene dado por:

I0 = Ie +Ib + 2Ip

Dónde tanto el momento de la varilla como el de las masas vienen dados por:

I = (1/12)ml2

I0 = Ie +3.918*10-3 + 4.402*10-5 = Ie +3.962*10-3

Para conocer los datos que nos faltaban, medimos el periodo de las oscilaciones para distancias diferentes.

Para medir los periodos nos encontramos con una peculiaridad. La barrera fotoe´léctrica sólo mide mitades de periodo, con lo que, medimos primero un medio periodo haciendo fueza hacia dentro y otro hacia fuera, luego los sumamos y ya tenemos un periodo completo, no podríamos medir sólo uno y multiplicarlo por dos ya que los dos periodos no son iguales, uno es mayor que otro.

Al medir esos periodos obtuvimos los siguientes datos que luego ajustamos a una recta de periodo al cuadrado frente a la distancia cuadrado.