LOGICA II

LECTURAS DE LOGICA. B. 4.

JAN LUKASIEWICZ: ”Contribución a la historia de la lógica de proposiciones”.

INDICE.

• LA LOGICA ESTOICA.

• LA LOGIA MEDIEVAL.

• FREGE Y LA LOGICA PROPOSICIONAL.

NOTAS Y BIBLIOGRAFIA.

1. ESQUEMA GENERAL DE LA LECTURA.

• Exposición del tema: Lógica de proposiciones / Lógica de términos.

• La Lógica proposicional:

• Diferencia de la lógica estoica y la lógica aristotélica.

• Características de la lógica estoica.

• Crítica a la lógica estoica:

Empirismo.

Formalismo.

• Pedro Hispano.

• Las consecuencias.

• Duns Escoto.

• Conclusión.

2. EXPOSICION DEL CONTENIDO.

En la lógica formal podemos distinguir dos disciplinas: la lógica de proposiciones y la lógica de términos. La diferencia estriba en que la lógica de proposiciones presenta constantes lógicas y variables proposicionales; mientras, en la lógica de términos aparecen variables de términos. Para poner en claro esta diferencia examinamos las versiones estoicas y peripatética de la ley de identidad. (1)

• La ley estoica dice: “si lo primero, entonces lo primero”, “si p entonces p”. La expresión “si... entonces” es una constante lógica, y “p” es una variable proposicional, puede sustituirse con sentido por proposiciones. Ej. : “si es de día, es de día”. Esta ley es una tesis de la lógica de proposiciones.

• La ley peripatética dice: “todo a es a”. La expresión “todo ... es” constituye una constante lógica, y “a” es una variable de término, sólo puede sustituirse con sentido por un término. Ej. : “todo hombre es hombre”. Esta ley es una tesis de la lógica de términos.

Son tres los puntos capitales de la historia de la lógica proposicional. El primero, es la dialéctica estoica en contraste con la silogística aristotélica, como forma antigua de la lógica proposicional; y de acuerdo con esto, los logros de los estoicos, que deben ser reconocidos. El segundo, la lógica estoica perduró y alcanzó un desarrollo ulterior durante la época medieval, particularmente la teoría de las consecuencias. El tercero, dedicado a Gottlob Frege, fundador de la lógica proposicional moderna.

Vamos a examinar el esquema de inferencia que los estoicos colocaron a la cabeza de su dialéctica como primer silogismo “indemostrable”: (2)

Si lo primero, entonces lo segundo;

Ahora bien, lo primero;

Luego lo segundo.

Los estoicos no representaban las variables con letras, sino con números ordinales. Las variables de esa formula son sustituidas por proposiciones, y no por términos.

Las diferencias entre los sistemas estoico y aristotélico son:

• En la lógica estoica aparecen proposiciones hipotéticas y disyuntivas, mientras que en la aristotélica sólo aparecen proposiciones categóricas, aunque estrictamente hablando también hay proposiciones hipotéticas en la silogística de Aristóteles. Esta no es la diferencia fundamental.

• En los silogismos estoicos las variables son variables proposicionales, mientras que en los silogismos de Aristóteles son variables de términos. En la dialéctica estoica que ha llegado hasta nosotros, todos los esquemas de inferencia estoicos contienen únicamente constantes lógicas y variables proposicionales. La lógica estoica es, por consiguiente, una lógica de proposiciones.

• Los silogismos aristotélicos son tesis lógicas, y una tesis lógica es una proposición que sólo contiene constantes lógicas, variables proposicionales o variables de términos, y que es verdadera para todos los valores de sus variables. Los silogismos estoicos son esquemas de inferencia, y una regla de inferencia es una prescripción que autoriza al que razona a derivar nuevas proposiciones a partir de otras previamente admitidas.

El silogismo aristotélico “si todo b es a y todo a es c, entonces todo b es c”, constituye una implicación de la forma “si  y , entonces  “, cuyo antecedente es una conjunción, y cuyo consecuente es la conclusión . Este silogismo es una proposición que Aristóteles reconoce como verdadera, una proposición que se cumple para todos los valores de sus variables. Si estas variables se sustituyen por valores constantes, obtenemos proposiciones verdaderas. En la medida en que el silogismo en cuestión no contiene otra cosa que las constantes lógicas. Constituye una tesis lógica. (3)

En el silogismo estoico “si p, entonces q; ahora bien, p; luego q”, las premisas no están vinculadas a la conclusión en una sola proposición unificada, este silogismo no es una proposición. Puesto que no es una proposición, no puede ser ni verdadero ni falso; pues sabido es que la verdad y la falsedad corresponden a las proposiciones solamente. De ahí que el silogismo estoico no constituya una tesis lógica: si se sustituyen sus variables por valores constantes, el resultado no es una proposición, sino una inferencia. Es un esquema de inferencia. Esta regla de inferencia ha venido a convertirse, bajo el nombre de “regla de separación”, en una regla casi clásica dentro de la lógica moderna. (4)

Todos los silogismos estoicos están formulados como reglas de inferencia, así, la dialéctica estoica difiere de al silogística aristotélica y también de la lógica proposicional moderna. Pero los estoicos estaban familiarizados con un método claro de convertir todas sus reglas de inferencia en tesis.

Este método supone una distinción entre inferencias concluyentes y no concluyentes. Dan a una inferencia el calificativo de concluyente si la implicación, cuyo antecedente consiste en la conjunción de las dos premisas  y , y cuyo consecuente es la conclusión , es una implicación válida. Esta observación precisa hace viable la conversión de inferencias en proposiciones.

La lógica estoica de proposiciones es una lógica bivalente: toda proposición es verdadera o falsa. En la lógica proposicional estoica aparecen las funciones siguientes: negación, implicación, conjunción y disyunción. Las tres primeras, son “funciones veritativas”. La negación o la contradicción de una proposición se obtiene cuando se pone el signo de negación delante de la proposición.

En la antigüedad son muchas las disputas en torno al significado de la implicación. Desde Filón de Megara, que definió la implicación como una función veritativa en términos parecidos a los actuales: una implicación es verdadera si y solamente si no comienza con verdad para terminar con falsedad. (5) Diodoro de Cronos mantuvo que una implicación es verdadera si y solamente si ni le era ni le es posible empezar con verdad y terminar con falsedad. En la escuela estoica se aceptó la definición de Filón.

Todas las funciones lógicas mencionadas se encuentran en los esquemas de inferencia de la dialéctica estoica. Algunos se asumen axiomáticamente como correctos, en tanto que los demás son reducidos a los indemostrables. Son 5 los silogismos indemostrables: (6)

La reducción de los esquemas de inferencia derivados a los esquemas indemostrables constituye una obra maestra de agudeza lógica.

Por Sexto Empírico sabemos cómo los estoicos reducían los esquemas de inferencia partiendo de los “indemostrables”. (7)

La lógica estoica ha sido criticada porque en su lógica tiene lugar tanto el empirismo más trivial como el formalismo más vacuo:

- Prantl critica “el recurso al más burdo criterio empirista”, pero sus críticas no están justificadas. Si se dan ejemplos empíricos de formulas lógicas, el criterio de verdad para estos ejemplos también debe ser de algún modo empírico. Sin embargo, los ejemplos no pertenecen a la lógica, y en la lógica estoica como tal no encontramos la más ligera traza de empirismo. Prantl no consigue entender el concepto filónico de implicación aceptado en medios estoicos. En lógica bivalente no puede haber otro concepto de implicación que el filónico.

- Pero la acusación de formalismo está plenamente justificada, pero a nuestros ojos, no es un cargo. El formalismo o la formalización, representa el ideal de exactitud que aspira a alcanzar cada sistema deductivo. Los estoicos prepararon el camino para el formalismo, se atuvieron estrictamente a las palabras y no a sus significados.

Surge también otra controversia: si los estoicos comprendían el significado básico de su lógica proposicional, y de si, eran conscientes de haber creado un sistema de lógica diferente del de Aristóteles. Debemos contestar negativamente a la primera parte de la pregunta, en cuanto a la segunda parte, ya Alejandro, en su comentario a los `Tópicos' de Aristóteles, enumera una serie de temas de discusión en la antigüedad. Son los “problemas sincríticos”, y entre ellos, qué silogismo es el primero, el categórico o el hipotético. El silogismo categórico es el aristotélico; el silogismo hipotético es el estoico. El punto en discusión atañe a la relación entre la lógica aristotélica y la lógica estoica, y aspira a establecer cuál de estos dos sistemas es el primero, es decir, tal como yo lo entiendo, cuál de ellos es anterior desde un punto de vista lógico. (8) Los estoicos eran conscientes de la diferencia existente entre su propio sistema lógico y el sistema aristotélico, sino también que hacían una estimación correcta de las relaciones entre ambos. Hoy sabemos que la lógica proposicional es lógicamente anterior a la lógica de términos. La lógica de proposiciones constituye la base de todos los sistemas lógicos y matemáticos. Los estoicos han de contar con nuestro agradecimiento por haber echado los cimientos de esta admirable teoría.

En la Edad Media también se dejan sentir las influencias estoicas.

En la lógica proposicional que aparece en las `Summulae logicales' de Pedro Hispano, no parece que el autor conozca el debatido criterio filónico de la verdad de una implicación. Pero sí aparece bajo el nombre de disyunción y en lugar de la conectiva “o..., o...” de Crisipo, la alternación no excluyente como función veritativa. La conjunción o aserción copulativa, viene definida como lo habían hecho los estoicos. La única regla de inferencia que parece nueva es una que figura añadida en el comentario: de una conjunción cabe inferir uno cualquiera de sus miembros; por ejemplo, “el hombre es un animal y Dios existe; luego el hombre es un animal”. También, en este contexto hizo la observación siguiente: una conjunción y una disyunción con miembros mutuamente contradictorios se contradicen entre sí. Las llamadas leyes De Morgan eran conocidas mucho antes de De Morgan.

La supervivencia de la lógica proposicional estoica en la Edad Media resulta particularmente evidente en la teoría de las “consecuencias”. Consecuencia no sólo es una implicación, sino también un esquema de inferencia del tipo “p, luego q”, donde p y q son proposiciones. Las consecuencias pueden ser materiales y formales: es formal si se cumple para todo término en la misma disposición y forma; en otro caso es material. Las consecuencias formales son, dada su calidad de leyes lógicas, siempre correctas. Una consecuencia material es correcta o “buena” sólo si puede ser reducida a una consecuencia formal mediante la asunción de una proposición verdadera como premisa.

A partir del concepto de consecuencia material se puede derivar de un modo lógico, el concepto filónico de implicación, olvidado en la Edad Media. La implicación “si p, entonces q” corresponde al esquema inferencial “p, luego q”; ambas formas aparecen incluso caracterizadas de la misma manera como consecuencias. Una implicación verdadera corresponde a una consecuencia buena, y viceversa. Una consecuencia material es buena si se deja transformar en una consecuencia formal por asunción de una premisa verdadera. En primer lugar, que toda implicación cuyo consecuente es verdadero ha de ser verdadera. En segundo lugar, toda implicación cuyo antecedente es falso debe ser verdadera. Por consiguiente, la implicación queda definida como una función veritativa, de acuerdo con el modelo filónico.

Pero Duns Scoto no parece darse cuenta de esto. Sabe que en una buena consecuencia matemática, de una proposición falsa cualquiera se sigue cualquier otra proposición, y que, en una buena consecuencia material, cualquier proposición verdadera resulta de otra proposición falsa cualquiera. Finalmente demuestra que, a partir de una proposición que encierra una contradicción formal, se puede obtener una proposición cualquiera en una consecuencia formal.

La lógica moderna ha renacido a partir del espíritu de las matemáticas. La moderna lógica proposicional surge en la aguda mente de Gottlob Frege. En 1879, Frege publica el “Begriffsschrift”, un tratado de sobre la lógica de proposiciones, donde aparece por primera vez establecida como un sistema deductivo en forma axiomática estricta. El sistema fregeano de lógica proposicional está constituido sobre la base de dos conceptos fundamentales, los de negación e implicación. La implicación se define como una función veritativa exactamente igual que lo había hecho Filón más 2.000 años antes. No se introducen otras funciones. Con la ayuda de esos conceptos fundamentales se sientan seis axiomas, a partir de los cuales cabe derivar los demás teoremas de la lógica proposicional por medio de reglas de inferencia: la regla de separación y la regla de sustitución. Las tesis del sistema están expresadas en un simbolismo consistente en líneas verticales y horizontales. Este simbolismo de Frege prescinde de todo signo de puntuación. Los axiomas de Frege toman la forma siguiente:

Este sistema de axiomas presenta dos características importantes:

• Completo: todas las tesis correctas de la lógica proposicional se puede derivar de él por medio de las dos reglas de inferencia.

• No es independiente, porque el tercer axioma puede deducirse de los dos primeros.

CONCLUSION.

La lógica bivalente de proposiciones, fundada por los estoicos, desarrollada por los escolásticos y axiomatizada por Frege, se nos presenta ahora como un sistema acabado. (9)

3. BREVE HISTORIA DE LA LOGICA DE PROPOSICIONES.

Los primeros estoicos (Zenón y Cleantes) no fueron lógicos creativos, fue Crisipo el que recogió las ideas de los megáricos Diodoro Cronos y su excepcionalmente dotado discípulo Filón de Megara, y las hizo fructificar. El problema surge porque de Crisipo, que era un prolífico escritor, se ha perdido toda su producción literaria. Todo lo que conocemos de la lógica estoica se halla recogido en fragmentos preservados por autores de otras escuelas, hostiles algunas de ellas.

Pero en más de un punto esos fragmentos se complementan y confirman unos a otros, y así podemos reconstruir los trazos capitales del sistema, aunque hay que recurrir a conjeturas para hacernos la idea de algunos elementos.

Las fuentes para el estudio de la lógica estoico son por un lado Apuleyo y Galeno (siglo II d. C.) y Sexto Empírico y Diógenes Laercio (siglo III d. C.).

La lógica estoica es una lógica proposicional, bivalente, pues los estoicos consideraron fundamental el principio de que toda proposición o es verdadera o falsa. Definieron la proposición como aquello que es o verdadero o falso. Dividieron las proposiciones o axiomata en simples y no simples, los simples están formados por único axioma, y las no simples resultan de la combinación de dos ocurrencias de la misma proposición o de la combinación de diferentes proposiciones, o de varios. Las combinaciones se realizan por medio de conectivas apropiadas. Entre las proposiciones simples distinguían las simples afirmaciones y las simples negaciones, esta última también era entendida como una función de verdad. Para W. y M. Kneale, los estoicos dividían a los axiomata simples en: categórico, definido e indefinido, porque el segundo facilita la distinción entre proposiciones afirmativos y negativos. Otra clasificación que contemplan estos autores citados, es la distinción entre axiomatas afirmativos, negativos, la denegación y el privativo. Entre las proposiciones no simples admiten: la implicación, la conjunción, y la disyunción exclusiva. Todas son definidas como funciones de verdad. Siguiendo a Filón los estoicos mantuvieron que una implicación era falsa si su antecedente era verdadero y su consecuente era falso. La conjunción era verdadera si cada una de las proposiciones conjuntadas era verdadera. Una disyunción exclusiva era verdadera si justamente una de las proposiciones disjuntadas era verdadera. También hay evidencias de la inclusión en la lógica estoica de la disyunción inclusiva, que era tenida por falsa solo cuando sus dos componentes eran falsos. Para W. y M. Kneale son siete los axiomata no simples: condicional “si”, condicional modificado “puesto que”, conjunción “y”, disyunción “o”, causal “porque”, axiomata “mas bien que” y axiomata “menos que”. También opinan que los estoicos no parecen haber tenido conciencia de la distinción existente entre enunciados de carácter veritativo-funcional y enunciados compuestos que no tiene ese carácter.

Las conectivas lógicas que aparecen en los varios tipos de proposiciones no simples dan lugar a principios lógicos. Los estoicos los representan por medio de inferencias paradigmáticas o esquemas de inferencia (los cinco esquemas de inferencia verdaderos sin necesidad de demostración ya fueron vistos con anterioridad en el apartado 2). A partir de estos indemostrables se pueden derivar otros muchos esquemas de inferencia de acuerdo a unas ciertas reglas.

De manera breve enunciaremos otros teoremas conservados por Sexto Empírico:

• Si lo primero, entonces si lo primero entonces lo segundo; pero lo primero; luego lo segundo.

• Si lo primero y lo segundo, entonces lo tercero; pero no lo tercero; por otra parte, lo primero; luego no lo segundo.

• Si lo primero, entonces lo primero; pero lo primero; luego lo primero.

• O lo primero o lo segundo o lo tercero; pero no lo primero; y no lo segundo; luego lo tercero.

• O lo primero o no lo primero; pero lo primero; luego no lo primero.

• O lo primero o no lo primero; luego lo primero.

• Si lo primero entonces no lo segundo; pero lo primero; luego no si lo primero, entonces no lo segundo.

• Si no lo primero, entonces lo segundo; pero no lo segundo; luego no si lo primero, entonces lo segundo.

• Si lo primero, entonces lo segundo; si lo primero, entonces no lo segundo; luego no lo primero.

• Si lo primero, entonces lo segundo; si no lo primero, entonces lo segundo; luego lo segundo.

• Si lo primero, entonces lo primero; si lo primero, entonces no lo primero; luego no lo primero.

• Si lo primero, entonces lo primero; si no lo primero, entonces lo primero, luego lo primero.

Los estoicos no formularon sus principios lógicos directamente, sino que optaron por presentarlos por medio de esquemas de inferencia, diferenciándose así de Aristóteles cuyos silogismos eran principios directos de la lógica de términos. En cuanto a la aspiración de completud, se podría probar que tal y como se presenta el sistema lógico es completo en un sentido estricto y moderno respecto a la conjunción y a la negación. De todas maneras sí podemos afirmar que los estoicos contaban con un cuerpo de doctrina lógica altamente desarrollado y también está claro que los aristotélicos contemporáneos consideraban las teorías lógicas estoicas como hostiles a su maestro. Las teorías aristotélicas y estoicas son en rigor complementarias, fueron consideradas largo tiempo como contrapuestas. Cuando se cayó en la cuenta de la necesidad de fusionarlas, el impulso intelectual del mundo antiguo había ya declinado y no surgiría nadie con la estatura mental requerida para acometer esa empresa.

La lógica de las proposiciones que los estoicos investigaron es más fundamental que la lógica de los términos generales estudiada por Aristóteles, no en el sentido de que la primera incluya a la segunda, sino en el sentido de que esta última presupone aquella.

A finales de la Edad Media la lógica formal logró un desarrollo rico y original, a un nivel comparable al de las aportaciones estoico-megáricas y aristotélicas, y no superando hasta el nacimiento de la lógica matemática, en el siglo pasado. Dentro del sistema medieval los lógicos desarrollaron: 1. Una teoría general de la referencia o supositio terminorum; 2. Una teoría general de la implicación o consequentia manejando una lógica de proposiciones; 3. Una articulada lógica modal; y 4. Tratamiento de algunos problemas de la lógica y del lenguaje. Lógicos importantes en el periodo medieval occidental fueron Abelardo, Guillermo de Sherwood y Pedro Hispano, entre otros. Para Prior es discutible el que la lógica medieval estuvo históricamente relacionada con la lógica proposicional de los estoicos (10).

Según este autor, aunque Boecio, en su tratado sobre las proposiciones hipotéticas y silogismos hipotéticos transmitió algunos fragmentos de la doctrina estoica sobre la noción de consecuencia, los lógicos medievales desarrollaron su teoría de la consequentiae en conexión con la doctrina de los silogismos hipotéticos.

La lógica moderna comienza con al publicación de Begriffsschrift (“Conceptografía”) de Gottlob Frege. Esta obra constituye el primer sistema realmente acabado de la lógica formal porque encierra todos los elementos esenciales de la lógica moderna. En esta obra capital encontramos por primera vez un tratamiento comprensivo de las ideas de generalidad y existencia y son provistas de una simbolización adecuada mediante el recurso de la cuantificación, cuyas reglas se añadirán en esta obra a la primera formalización completa del calculo proposicional clásico. Expresado de otra manera, el objetivo principal de Frege es la presentación de un lenguaje formalizado del pensamiento puro, un sistema simbólico más exacto que el lenguaje corriente y mejor provisto de recursos que aseguren la precisión en los procesos deductivos. En tiempos de Frege no hubiera podido lograrse una prueba de la completud, pero él demostró el poder de su sistema derivando un gran número de principios lógicos a partir de postulados básicos y dio un paso importante hacia la formulación de principios aritméticos mostrando, con la ayuda de la cuantificación de segundo orden, cómo se puede formalizar la noción de orden serial. Otras obras suyas fueron: Die Grundlagen der Aritmetik (“Los fundamentos de la aritmética”) y Die Grundgesetze der Aritmetik (“Los principios de la aritmética”), Estudios sobre semántica e Investigaciones lógicas.

4. JAN LUKASIEWICZ (11)

Jan Lukasiewicz nace en Lwów, en 1878, estudió en la Universidad de la misma ciudad. De 1906 a 1915 profesó en esta Universidad; de 1915 a 1918 y de 1920 a 1939 en la Universidad de Varsovia. En los años 1918 y en 1919-1920 ocupó varios cargos en el Ministerio de Educación y Culto. Durante la ocupación nazi de Polonia dio cursos secretos en Varsovia; terminada la guerra pasó a Münster, a Bruselas y, en 1946, a Dublín, donde fue profesor en la Academia Real Irlandesa. Murió en 1956. Sus obras más importantes son: “Sobre la significación y las necesidades de la lógica matemática”, ”Sistema de lógica modal”, “Sobre la lógica trivalente”, “Estudios de lógica y filosofía” y “Para una historia de la lógica de enunciados”.

Lukasiewicz es usualmente clasificado como uno de los principales miembros del llamado “Círculo de Viena”, pero esto indica únicamente su preeminencia entre los lógicos, así como los historiadores de la lógica polaca. Hacia 1917 elaboró una lógica trivalente, presentada en 1920. Según Lukasiewicz, la lógica trivalente podía, más que la lógica bivalente clásica, servir de marco para las leyes de la lógica modal. Además, como puso de manifiesto en su discurso rectoral del año académico 1922-1923, la lógica trivalente permitía eludir el determinismo o, cuando menos, llevar a la convicción de que el determinismo no es una concepción filosófica mejor justificada que el indeterminismo.

Con la elaboración de la lógica trivalente, Lukasiewicz abrió el camino para cualquier otra lógica de más de dos valores, esto es, para la llamada “lógica polivalente”, incluyendo una lógica de un número infinito de valores. La elección de una lógica o de un determinado número o de un número infinito de valores depende de su aplicabilidad, tanto a otras ramas de la lógica, como la lógica modal, como a cuestiones filosóficas, pero ello no quiere decir que la lógica elegida sea “arbitraria”, indica la posibilidad de una pluralidad de sistemas lógicos.

Lukasiewicz realizó asimismo trabajos de importancia en el cálculo proposicional bivalente, especialmente en la axiomatización.

Se le deben también trabajos de metalógica, particularmente pruebas de consistencia, completud e independencia en el cálculo proposicional, y trabajos de lógica modal, en los que elaboró una lógica modal básica capaz de alojar cualquier sistema modal.

Un aspecto destacado de la obra de este lógico polaco son sus trabajos de historia de la lógica; a él se deben las primeras indicaciones para un estudio de la lógica proposicional de los estoicos en 1934 y el primer trabajo de conjunto sobre la silogística aristotélica desde el punto de vista de la lógica formal moderna en 1951.

TRABAJO PARA LA PRIMERA PRUEBA PRESENCIAL.

NOTAS.

1. El año pasado, en la asignatura Lógica I, la distinción proposiciones/términos, era Lógica de enunciados (primer parcial) y lógica de predicados (segundo parcial).

-2 a

"b

3. Aristóteles Estoicos

-1 x (Bx ! Ax) -1 p ! q

-2 x (Ax ! Cx) -2 p

" x(Bx ! Cx) "q

4. Modus Pones.

5. Tabla de verdad: p q p ! q

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 0 1

6. I II III IV V

p ! q p ! q ¬(p  q) p v q p v q

p ¬q p p ¬q

"q " ¬p " ¬q " ¬q "p

MP MT SD1 SD2

7. -1 (p  q) ! r "¬q -1 (p  q) ! r "¬(p  q)

-2 ¬r -2 ¬r

-3 p 3 ¬(p  q) Regla II 1,2

4 ¬(p  q) Regla I 1,2

5 ¬q Regla III 4,3

-1 p ! (p! q) "q

-2 p

3 p ! q Regla I 1,2

4 q Regla I 3,2

8. ¿Comprendieron los estoicos el significado de su lógica proposicional? NO

¿Eran conscientes de haber creado un sistema lógico diferente al de Aristóteles? SÍ

Yo creo que los estoicos sí sabían lo que hacían y no fue como la parábola del burro y la flauta. Tal vez no tuvieron perspectiva histórica para saber el significado e impulso que dieron con su sistema a la lógica. La silogística aristotélica siempre fue reconocida pero siglos después y gracias a este artículo de Lukasiewicz, la lógica estoica ocupa el lugar que le corresponde.

9. El desarrollo de un “todo” a través del tiempo: ese “todo” es la lógica proposicional que podría ser similar a una cadena donde los tres eslabones más importantes son el sistema estoico (fundación), la lógica medieval (desarrollo) y finalmente el acabado y perfeccionamiento de Frege.

10. En su obra “Historia de la Lógica” Prior pone en entredicho lo sostenido en el punto anterior. Personalmente creo que los razonamientos de Lukasiewicz son acertados.

11. La lógica primaria, o lógica de enunciados o lógica proposicional, se ocupa de las relaciones de inferencia entre enunciados, sin penetrar en su estructura interna. Tiene en cuenta aquellas formas de deducir un enunciado a partir de otro que sean válidas sin necesidad de analizar por dentro cada uno de ellos. Analiza la validez de aquellos razonamientos en los que se parte de premisas que son enunciados sin analizar para llegar, como conclusión, a enunciados que tampoco se analizan. La forma de los razonamientos no es sino el modo como esos enunciados se relacionan entre sí. Es el primer nivel de la lógica. Sobre este, encontramos a la lógica de términos o lógica de predicados. Lógica que penetra en la estructura interna de los enunciados, en busca de elementos relevantes para la validez de la inferencia en cuestión. La unión de ambas “lógicas” forma lo que comúnmente se llama lógica clásica.

Los enunciados que la lógica “clásica” maneja son enunciados apofánticos, enunciados con un valor de verdad. Y estos, son solamente dos: el valor de verdad y el valor de falsedad. Los enunciados son verdaderos o falsos, sin matices. Además en ella solo encontramos conexiones entre enunciados que son definibles como funciones de verdad: aquellas conexiones entre enunciados que dan lugar a un enunciado compuesto cuyo valor de verdad está enteramente en función de los valores de verdad de los enunciados conectados. La lógica clásica es apofántica bivalente asertórica extensional. Es asertórica porque excluye la existencia de modalidades de verdad y falsedad y extensional, porque opera con la extensión de enunciados y predicados y no con su intensión.

La determinación y la contingencia no se enmarcar en la llamada lógica clásica. Estos problemas filosóficos dieron lugar al nacimiento de la lógica polivalente (o multivaloradas como la llama Quine). Hay enunciados que no son posibles en la lógica bivalente, se necesita un tercer valor de verdad. Ya Aristóteles se hizo eco de este problema (“Mañana habrá una batalla naval”). Para este tipo de enunciados se recurre a las lógicas polivalentes (infinitas o finitas). Las lógicas trivalentes constituyen el nivel mas elemental. Con ellas podemos operar igual que con la “lógica clásica”: tablas y condiciones de verdad y tautologías. Se consideran como textos fundacionales de la lógica polivalente los de Lukasiewicz y Post.

BIBLIOGRAFIA.

• LECTURAS DE LOGICA. L. Vega. Cuadernos de la UNED.

• HISTORIA DE LA LOGICA. A. N. Prior. Editorial Tecnos.

• EL DESARROLLO DE LA LOGICA. W. Y M. Kneale. Editorial Tecnos.

• DICCIONARIO DE FILOSOFIA. J. Ferrater Mora. Alianza.

• FILOSOFIA DE LA LOGICA. W.V. Quine. Alianza Universidad.

• INTRODUCCION A LA LOGICA FORMAL. A. Deaño. Alianza Universidad.

• LOGICA SIMBOLICA. M. Garrido. Tecnos.

UNED. Centro asociado de Algeciras.

Trabajo realizado en Enero de 1999.

1