¿CÓMO SE GENERAN LOS ESFUERZOS POR UNA CARGA CONCENTRADA APLICADA A UNA CIERTA?

Esta pregunta no es mas que el problema de Boussinesq, así que en este trabajo lo trataremos así.

Desde el punto de vista de la Teoría de la Elasticidad, el problema de Boussinesq es un caso particular del problema de Mindlin, en el cual se supone la existencia de un sólido que ocupa la región del espacio z > 0, en cuyo interior obra una carga concentrada P, aplicada en el punto z = c, r = 0 como se puede ver en la siguiente ilustración.

Se trata de calcular el estado de esfuerzos en un punto cualquiera A de la masa. El problema de Boussinesq es una particularización del anterior, resultado de hacer c = 0, con lo que la carga concentrada queda aplicada en la frontera del medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico. La solución del problema puede lograrse por varios caminos, dependiendo de la herramienta matemática utilizada. El tratamiento que aquí se presenta está basado fundamentalmente en la ref. 1 1.

La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de aplicación de la carga.

Las ecuaciones de Navier o de la deformación, que expresan las condiciones de equilibrio en función de las componentes del vector desplazamiento , son

En donde  es el modulo de Poisson, G el modulo de rigidez

las fuerzas de masas y el sistema coordenado ortogonal de referencia.

Multiplicando la ecs. 1 por los versores respectivamente y sumando,

...............2

Ecuación que ha sido llamada fundamentalmente de la teoría de la Elasticidad.

Si se aplica a la ec. 2 el operador div:

.............3

Pero:

y

Donde  es la deformación volumétrica o 1er invariante del tensor deformación.

Substituyendo la anterior en la ec. 3 y simplificando

...........4

Se supondrá ahora la existencia de una función , potencial de fuerza, armónica. En tal caso

y

por lo tanto de la ec. 4 se sigue que si  existe

Si se aplica, bajo la hipótesis anterior, a la ec. 2 el operador escalar , se puede escribir

lo cual da

pero por lo tanto

pero esto es

de donde si  existe

..........5

La ec. 5 se cumplirá si y solo si existe la mencionada función potencial .

Ahora bien, la ec 5 puede ponerse

por lo que se tendrá que verificar

.........6

De manera que si existe la función  deben cumplirse las ecs. biarmonicas 6.

Se trata ahora de verificar si la siguiente ecuación que se propone como solución del problema verifica la ec. la ec. 2.

.......7

donde

c=constante

es el llamado vector de Galerkin.

La ec. 2 puede escribirse

.........8

Teniendo en cuenta las ecs. 7 y 8 puede ponerse

..........9

operando

La constante c puede escogerse de modo que la ecuación anterior se reduzca a

para lo cual será preciso

..........10

y entonces

...........11

Si las fuerzas son nulas, se tendrá:

y en tal caso el vector de Galerkin tendrá que ser una función vectorial biarmonica.

Por lo tanto el vector de desplazamiento satisface la ec. 2 cuando

.....13

con la condición de que se cumpla la ec. 11.

La ecuación 13 en forma desplegada da lugar a

....14

En las ecs. 14 habrá la condición

Las ecs. 14 proporcionan las componentes del vector de desplazamiento en términos del vector las que pueden relacionarse, según la Teoría de la Elasticidad, con las deformaciones unitarias correspondientes; estas a su vez, haciendo uso de la Ley de Hooke generalizada para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico, pueden relacionarse con los esfuerzos producidos en un punto del medio. Así en definitiva, podrá llegarse a expresiones entre los esfuerzos y las componentes del vector . El proceso matemático anterior es simple, aunque muy laborioso aquí únicamente se pondrán los resultados obtenidos.

....16

El triedo (x,y,z) corresponde al usado anteriormente.

En el caso particular del problema de Boussinesq puede llegarse a la solución, adoptando un vector de Galerkin de la forma

.....17

de donde

La expresión para dada en las ecs. 16 puede escribirse

....18

Efectuando operaciones y agrupando se obtiene:

....19

Considérese ahora el equilibrio interno en el seno del medio. En un plano a la profundidad z=cte debe cumplirse la condición: P= suma de fuerzas verticales internas. Considerando una superficie anular en dicho plano, se tendrá

Integrando la expresión anterior en el plano z=cte

Integrando y despejando se tiene:

.....20

Llevando este valor a la ec. 17 y operando este valor con el resultado obtenido en las ecs. 16 se obtiene finalmente:

que es la solución originalmente propuesta por Boussinesq.

¿CÓMO SERÁN LOS DISTRIBUCIONES DE ESFUERZOS QUE SE GENERAN POR LA APLICACIÓN DE CARGA QUE PROVOCA EL FUSTE DE UN PILOTE SUPONIENDO ÚNICAMENTE EL EFECTO DE FRICCIÓN?

Efecto del pilote en el suelo

La forma de distribución de esfuerzos, el asentamiento y capacidad máxima de una cimentación por pilotaje, depende del efecto del pilote en el suelo. El pilote, representado por un cilindro de longitud L y diámetro D, es una discontinuidad en la masa de suelo, que reemplaza o desplaza al suelo, según sea instalado, como un pilar, o por hinca.

La excavación altera al suelo cambiando la forma de distribución de esfuerzo; el suelo puede ser comprimido hacia adentro, desorganizándose la estructura de las arcillas y reduciéndose la compacidad de las arenas. Al forzar un pilote dentro del agujero o al colocar concreto fresco, puede que se fuerce parcialmente el suelo hacia fuera, originándose mas alteración.

La hinca del pilote origina aun mayor alteración. La punta del pilote actúa como un pequeño cimiento con un cono de suelo que se forma debajo de ella que perfora hacia abajo forzando el suelo hacia los lados en sucesivas fallas de capacidad de carga. Alrededor del pilote se forma una zona de alteración o suelo reamasado que tiene un ancho de D a 2D. Si la hinca va acompañada por el chorro de agua o la preperforacion de un pequeño agujero, la zona de alteración es menor. Dentro de la zona de alteración se reduce la resistencia de cohesión de las arcillas saturadas y de los suelos cementados. En la mayoría de los suelos no cohesivos se aumenta la compacidad y el ángulo de fricción interna sin embargo, en un suelo muy compacto pudiera haber una reducción en la compacidad en la zona inmediata al pilote, debido al esfuerzo cortante y a una ligera reducción local del ángulo de fricción interna. El desplazamiento producido por la hinca de los pilotes tiene dos efectos. Primero, se produce un levantamiento del terreno en los suelos de arcilla saturada y en los no cohesivos compactos. El levantamiento del terreno algunas veces empuja lateralmente 30 o 60 cm los pilotes hincados previamente o levanta la superficie del terreno una cantidad equivalente al volumen de suelo desplazado. Segundo, se establece una fuerte presión lateral en el suelo. Los limitados datos disponibles indican que la presión lateral total, en arcilla satura, puede ser tanto como dos veces la presión vertical total de la sobrecarga de tierra y en las arenas la presión lateral efectiva puede ser desde la mitad a cuatro veces el esfuerzo vertical efectivo. En las arcillas saturadas hay indicaciones indirectas de presiones aún mayores, como son el colapso de ataguias y el aplastamiento de pilotes de tubo abierto de paredes delgadas o de camisas de acero y el empuje que reciben las estructuras situadas cerca de los pilotes que se están hincando.

En las arcillas Saturadas el aumento de presión es, en su mayor parte, esfuerzo neutro, que con el tiempo se disipa en el suelo circundante lo que hace que la presión lateral caiga hacia su valor original, al menor que la presión sobrecarga la de tierra. La reducción del esfuerzo neutro en la arcilla esta acompañada por una recuperación de la resistencia que en algunos casos excede finalmente la resistencia original del suelo no alterado.

La hinca de pilotes con martillo produce choque y vibración que se transmite, a través del terreno a las estructuras contiguas. Esto puede molestar a los ocupantes y cuando es muy intenso causa daños físicos. Si el suelo es arena muy suelta fina y saturada, las vibraciones pueden causar una licuefacción temporal de la misma, con la correspondiente perdida de capacidad de carga, produciéndose graves daños; aunque esto raramente ocurre. Es mas común que las vibraciones produzcan, en depósitos de arena suelta, un hundimiento de la superficie del terreno, a pesar del desplazamiento producidos por los pilotes. El hundimiento se puede extender 30 m de la estructura, según la longitud de los pilotes y la intensidad de la hinca. Esto causa asentamientos y daños en los edificios cercanos.

Campo de esfuerzos alrededor del pilote.

La zona de esfuerzo inicial alrededor de un pilote que se coloque perforando el suelo o por medio de chiflón de agua, está probablemente muy cerca del estado de reposo lo cual depende de la reducción del esfuerzo que acompañe a la compresión del suelo hacia el agujero y del aumento del mismo producido por el desplazamiento del suelo al colocarse el pilote

Al cargarse al pilote el campo de esfuerzos cambia, porque la carga del pilote se transfiere al suelo. El análisis de los esfuerzos producidos por una carga vertical que se ha introducido por debajo de la superficie de un sólido elástico, isótropo y semiinfinito, fue desarrollado por Mindlin. Es análogo al análisis de Boussinesq para cargas en la superficie. El incremento de esfuerzo vertical producido por una carga Q a la profundidad L, que es la longitud del pilote, está dado por la expresión:

En la figura se muestran curvas de igual esfuerzos vertical en términos de Ip para profundidades unitarias de z/L = m y la carga Q. La mitad derecha muestra los esfuerzos verticales a un radio n = X/L y m = z/L, para la resistencia por la punta solamente a la profundidad L; la mitad izquierda muestra el esfuerzo vertical para una distribución uniforme de Q por fricción lateral a lo largo de la longitud del pilote. El esfuerzo vertical calculado por el análisis de Boussinesq suponiendo que el pilote resistente por la punta está en la superficie de una masa elástica, se indica a manera de comparación, por una línea de puntos en la mitad derecha del diagrama. Esto demuestra que el aumento de esfuerzo debido a la resistencia por la punta dentro de la masa elástica cerca de la punta del pilote es aproximadamente, la mitad de la hallada por el análisis de Boussinesq para cargas en la superficie. Por arriba de la punta del pilote, dentro de una zona cilíndrica cuyo radio es alrededor de la mitad de la longitud del pilote, la resistencia por la punta produce un incremento de, esfuerzo negativo o una reducción del esfuerzo vertical en la masa. Los esfuerzos radiales (en dirección lateral) son análogamente influidos por el esfuerzo vertical transferido al suelo por el pilote. Por arriba del punto de carga el esfuerzo radial se reduce y por debajo aumenta.

El efecto combinado de la resistencia por la punta y la fricción lateral en la zona de esfuerzo, depende de sus magnitudes relativas como también de la distribución de la fricción lateral a lo largo del pilote.

Se puede estimar el esfuerzo vertical producido por un pilote, cuya carga esta por debajo de la falla. Del limitado numero de observaciones que se han hecho de pilotes en materiales homogéneos se deduce que, para longitudes de pilotes que excedan de 20 diámetros, la resistencia por la punta esta entre 1/4 y 1/3 de la total; para pilotes mas cortos la parte de la resistencia total que toma la punta aumenta en proporción a la relación D/L. Si el suelo o la roca en la punta del pilote es mas rígido que a lo largo del fuste, la resistencia por la punta será mayor. A medida que la carga se acerca a la de falla la proporción de la carga que se transfiere a la punta depende de la resistencia máxima o limite a fuerza cortante del suelo en la punta, comparada con la resistencia limite al esfuerzo cortante en fricción lateral.