Límites

Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería . A éste valor se le conoce como c.

Límites directos

Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3:

Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2

El resultado es igual al valor del límite.

Cálculo de Límites mediante factorización

Sin embargo, cuando al sustituir el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a , la función se tiene que factorizar, para así poder encontrar el valor del límite, como es en el caso de la siguiente función:

=

Como el resultado es una indeterminación, se factoriza la función original:

(3+1) = 4

Cálculo de Límites mediante tablas

Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente:

Por ello se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.

Comprobando la existencia de límites

Como regla general, se sabe que un límite existe si cumple con la siguiente regla:

En ella, el valor de (x - c) debe de ser igual al valor de (f(x) - L)

Por ejemplo, comprobar que el límite de la función (3x - 7) es igual a 5 cuando x tiende a 4

.

Como el valor que corresponde a (x - c) es igual al de (f(x) - L), se comprueba que el límite existe.

Comprobando que el límite de la función es 2 cuando x tiende a 2, se tiene que:

Primero se tiene la función = 2

Para que realizar la comprobación de la existencia del límite sea más fácil, elevamos la función y el resultado al cuadrado, y se tiene que:

2x = 4

El límite existe, y

También puede darse el caso de que el límite no exista, por ejemplo, comprobar que el límite cuando x tiende a 3 de la función (x2 - 2x) es igual a 3

En éste caso, el límite no existe ya que el valor que corresponde a (x - c) es diferente al de (f(x) - L). En casos como éstos, se puede observar que dichos valores serían iguales si se pasara el término (x + 1) dividiendo a , sin embargo, no puede haber variables dividiendo a , sólo números.

Teoremas de Límites:

Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:

Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:

Siempre que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.

Por ejemplo, en los siguientes ejercicios se calcularán los límites de las diferentes funciones, aplicando tanto el teorema principal de límites como el teorema de sustitución:

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32

7/5

Límites Trigonométricos:

Ejemplo:

Continuidad

Una función es continua cuando, al graficarla, ésta no se corta en ninguno de sus puntos. También se dice que es continua si no se da el caso de que con algún valor se indetermine.

Continua Discontinua

También tiene que cumplir con las siguientes reglas:

• existe

• existe

Derivación

Una derivada es la relación de cambio; un cambio en la función entre el cambio de la variable cuando ésta tiende a cero.

En cálculo, al cambio de valor en una variable se le llama incremento.

También en otras palabras se puede decir que la derivada es una tangente; una tangente es la pendiente de la recta que une a dos puntos.

en Y = (Y2 - Y1)

en X = (X2 - X1)

Se sabe que la formula para calcular la pendiente de una recta es:

Aplicando el teorema de los límites se tiene:

Tomando en cuenta que f(x2) es igual a f(x+x), se sustituye en la ecuación anterior:

Por lo que se deduce que:

=

Derivación por el método de incrementos:

Derivación por Límites

Ejemplo: encontrar f'(3) si f(x)= x2 - x

Derivación por Fórmulas

Las fórmulas se usan para derivar cualquier tipo de ecuación. Es el método más sencillo, porque además es directo, y es poco probable cometer errores una vez que se domina.

Derivadas de Orden Superior

Esto se trata solamente de obtener una derivada después de haber obtenido otra derivada de una ecuación original. Por ejemplo:

Obtener la segunda derivada de y = Sen2x

Máximos y Mínimos

Un máximo es el mayor valor que puede tomar una función. Un mínimo es el menor valor que puede tomar la misma función. Existen dos maneras de calcular máximos y mínimos:

A.

Ejemplo:

f'(49) = 2

f (50) = 2 500 Máximo

f' (51) = -2

B.

Problemas

A las 7 A. M. Un barco estaba a 70 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 mi/h, y el segundo al sudoeste a 30 mi/h, ¿en qué momento se encontrarán más cerca uno de otro?

Se va a construir una cisterna de base cuadrada para contener 12000 ft2 de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, ¿cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna?

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