Definición intuitiva de límite

Se dice que “el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a L”, y escribiremos
, si podemos acercar de manera arbitraria los valores de F(x) a L es decir, tanto como queramos, al tomar los valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.

NOTA: De manera similar se definen los límites laterales, pero tomando los valores de x cercanos a k y mayores para
mientras que en el caso de
se deben tomar los valores de x cercanos a k y menores.

Teorema sobre límites laterales

¡Sustitur o no sustituir, he allí el problema !

El proceso del cálculo del límite
, en general no consiste en sustituir x = k en F(x) esto es, hay ocasiones en las cuales
pero hay otras en que
.

Algunos de los casos para los cuales la igualdad
es valida son los siguientes:

El bendito problema de la división por cero

Sea
con G(x) y H(x) funciones de los tipos antes planteados. Si al aplicar sustitución para el cálculo del límite
se produce una expresión de la forma
, distinguiremos dos casos:

• Si k = 0 ( 0 / 0) diremos que este resultado representa una indeterminación, con lo cual no habremos calculado el límite y procederemos a realizar algún otro proceso algebraico que permita eliminar tal situación y llegar a una conclusión. Algunos de tales procesos son factorización por el método de Ruffini, multiplicación por conjugados, etc.

• Si k " 0 el límite no existe, presentándose las llamadas tendencias infinitas.. En tales casos se considerarán:

Definición intuitiva de límite infinito

Se dice que “el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a +"”, y escribiremos
, si podemos hacer arbitrariamente grandes los valores de F(x) es decir, tan grandes como queramos, al tomar los valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.

NOTA: De manera similar se definen los límites
y
pero señalando las acotaciones del caso.

Definición de Asíntota Vertical

Se dice que la recta x = k es una Asíntota Vertical de F(x) si se cumple alguno de los siguientes límites:

Algunos límites notables

El límite de una desigualdad

Si
para todo
excepto posiblemente en
y además existen los límites
y
, entonces:


Teorema del Sándwich

Si para toda x en (a,b), excepto posiblemente en
, se cumple que


y además
,

entonces:


Definición de continuidad en un punto

Una función F(x) se dice que es continua en x = k si cumple las siguientes condiciones:

F(k) está definido

existe

Si alguna de estas condiciones deja de cumplirse, se dice que F(x) es no es continua o bien que F(x) es discontinua en x = k.

Definición de continuidad lateral

• Una función F(x) se dice que es continua por la derecha de x = k si y sólo si
  

• Una función F(x) se dice que es continua por la izquierda de x = k si y sólo si
  

NOTA

Si x = k es un punto extremo del dominio de F(x), la continuidad en dicho punto será considerada sólo por la derecha o sólo por la izquierda según sea el caso, sin aclararlo.

Tipos de discontinuidad

Sea F(x) discontinua en x = k, entonces consideraremos los siguientes tipos de discontinuidad:

• Removible

Si el límite
existe. Falla (1) y/o (3) pero se cumple (2).

• De salto

Si el límite
no existe, pero los límites laterales
y
existen. Falla (2).

• Infinita

Si el límite
y/o
. Falla (2).

Definición de continuidad en intervalos

• Una función F(x) se dice que es continua en (a,b) si es continua en todo punto del intervalo.

• Una función F(x) se dice que es continua en [a,b) si es continua en (a,b) y continua a la derecha de x = a.

• Una función F(x) se dice que es continua en (a,b] si es continua en (a,b) y continua a la izquierda de x = b.

• Una función F(x) se dice que es continua en [a,b] si es continua en (a,b), continua a la derecha de x = a y continua a la izquierda de x = b..

Teorema 1

Si F(x) es: un polinomio, una función racional, una función exponencial, una función logarítmica, una función trigonométrica o una función trigonométrica inversa, entonces F(x) es continua en todo punto de su dominio y discontinua en puntos fuera del dominio.

Teorema 2

Sean F(x) y G(x) funciones continuas en x = k y sea “C” una constante, entonces las siguientes funciones también son continuas en x = k:

• 
  
  
  
  

• 
  si y sólo si G(a) " 0

• 
  para “n” entero positivo impar.

• 
  con “n” entero positivo par, si x = k no es un punto extremo del DF.

• 
  con “n” entero positivo par, si x = k es un punto extremo del DF en cuyo caso sólo habrá continuidad por la derecha o por la izquierda según corresponda.

• 
  si F(x) es continua en G(a).

Teorema sobre el cálculo del límite de una función compuesta

Si F(x) es continua en x = L y
, entonces


Teorema del Valor Intermedio

Sea F(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea W un valor comprendido entre f(a) y F(b) entonces: existe al menos un k " (a,b) tal que F(k) = W.

Teorema de Bolzano

Si F(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F(a) y F(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor x = k en el intervalo abierto (a,b) para el cual F(k) = 0.

Indeterminaciones

Son indeterminaciones, es decir, expresiones no concluyentes, los resultados que siguen:

También son indeterminaciones, aún cuando no serán estudiadas acá, los resultados que siguen: :

Se presentan a continuación una serie de teoremas que permiten calcular de manera rápida los límites al infinito de algunos tipos de funciones de frecuente aparición.

Polinomios

• Para calcular
  se extrae factor común el término de mayor grado y luego se evalúa.

• De lo anterior se desprende el siguiente teorema:
  

Exponenciales (Ver Resumen # 5)

Logarítmicas (Ver Resumen # 7)

Trigonométricas inversas

Polinomios Vs. Polinomios

El límite
con P(x) y Q(x) polinomios lleva a la indeterminación
, la cual es resuelta dividiendo el numerador y el denominador por xk donde “k” es el grado del polinomio del denominador.

Logaritmos Vs. Polinomios

Polinomios Vs. Exponenciales

si a > 1	si a " (0,1)
si a " (0,1)	si a > 1

Logaritmos Vs. Exponenciales

La regla E > P > L

Una alternativa para calcular los límites al infinito en los últimos tres casos considerados consiste en aplicar la tendencia al infinito de forma directa a la función y en caso de producirse una indeterminación se aplica la siguiente regla mnemotécnica:

Exponencial > Polinomio > Logaritmo

En caso de presentarse incertidumbre relativa a signos, téngase en cuenta que el signo de la indeterminación se conserva.

Significado Geométrico de los límites al infinito y definición de Asíntotas Horizontales

• Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo derecho del sistema de coordenadas.

• Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo izquierdo del sistema de coordenadas.

• Si , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina superior derecha del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.

• Si , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina inferior derecha del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.

• Si
  , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina inferior izquierda del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.

• Si
  , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina superior izquierda del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.

Operaciones con infinitos

si a > 1		si a "(0,1)				si a > 1			si a "(0,1)
arc-tan(+") = /2		arc-tan(-") = -/2				arc-cot(+") = 0			arc-cot(-") = 
arc-sec(+") = /2		arc-sec(-") =3/2				arc-csc(+") = 0			arc-csc(-") =