Algebra Vectorial

Objetivo:

Adquirir destreza en el manejo de los segmentos dirigidos y de los vectores en 2 y 3 dimensiones y aplicarlos en problemas geométricos

Un punto cualquiera en el espacio de 3 dimensiones quedara definido si se conoce sus 3 distancias dirigidas a los 3 planos coordenados x, y y z

La distancia del punto al plano yz se llama ábsisa o coordenada x

La distancia del punto al plano xz se llama ordenada o coordenada y

La distancia del plano xy se llama cota o coordenada z

A cada punto en el espacio puede hacerse corresponder una terna ordenada de valores y viceversa

Para espacio de más de 3 dimensiones los puntos no se pueden representar gráficamente

SEGMENTO DIRIGIDO

Para representar geométricamente un vector se usa el segmento dirigido el cual es una recta entre 2 puntos al que se le asigna un sentido recorrido

Un vector se representa con una letra minúscula y una raya encima (testa)

COMPONENTES ESCALARES DE UN SEGMENTO DIRIGIDO SOBRE LOS EJES DE COORDENADAS

A los 3 números reales a1, a2, a3, se les conoce como las componentes escalares del segmento dirigido sobre los ejes de coordenadas x, y, z, y dado que representan gráficamente al vector a se dice que estos números son más componentes de dicho vector y se puede expresar como:

= ( a1, a2, a3)

VECTOR DE POSICIÓN

Definición:

Sea el punto A en el espacio de 3 dimensiones cuyas coordinas son (a1, a2, a3) se llama vector de posición de este punto al representado por el segmento dirigido que va del origen del sistema a dicho punto

MODULO DE UN VECTOR

Es la magnitud de un vector de “n” dimensiones su modulo será:

| | = "a12 + a22 + an2

EL VECTOR COMO CONJUNTO ORDENADO DE “n” NÚMEROS REALES

Un vector en el espacio de “n” dimensiones se define como un nada de números reales es decir un arregle ordenado (a1, a2,…, an) al i-esimo numero se le llama i-esima componente del vector

Al conjunto de todos los vectores de “n” dimensiones se le llama espacio “n” dimensional o simplemente espacio “n”

OPERACIONES CON VECTORES

Igualdad:

Dados 2 vectores en el espacio de “n” dimensiones

a = b sus componentes correspondientes son iguales es decir a1 = b1, an = bn

Adición:

La suma de los vectores a y b se obtiene sumando sus correspondientes componentes

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, an + bn)

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Si  es un número real y a = (a1, a2,…,an) es un vector en el espacio de “n” dimensiones el producto () (a) será el vector que se obtiene multiplicando cada componente de a por  es decir:

a = (a1, a2,…,an)

Esto nos dice que al multiplicar un vector por un escalar se va obtener otro vector, con las siguientes características:

Si el escalar  > 1 el resultado será un vector con la misma dirección del vector a pero con un modulo mayor

Si  < 1 el resultado obtenido será un vector obtenido en la misma dirección pero con modulo menor

Si  < -1 el resultado será un vector obtenido en dirección opuesta y con un modulo mayor

Si  esta {-1 <  < 0} será un vector obtenido será en dirección opuesta a y con modulo menor

PROPIEDADES

Dados los escalares 1 2 y los vectores a y b, los cuales están en el mismo espacio se tiene que:

1(a + b) = 1(a) + 1 (b)

(1 + 2) a = 1a + 2a

(1 2) a = 1 (2a)

| a| = | | |a|

VECTORES UNITARIOS

Un vector se dice que es unitario cuando su modulo es igual a la unidad para cualquier vector que cumpla con a " 0 siempre será posible determinar el vector unitario en su misma dirección estará dado por la siguiente expresión

au = (a1, a2, a3) = 1 (a1, a2,a3)

|a| |a||a| |a|

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Dados a y b el vector a-b se define a partir de la adición como

a - b = (a1 - b1, a2 - b2, an - bn)

el resultado obtenido se le conoce como diferencia de los vectores a y b

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS COMO MODULO DE LA DIFERENCIA DE 2 VECTORES

Dados 2 vectores en el espacio de 3 dimensiones cuyas coordenadas son a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) los cuales nos definen a los puntos A y B sus vectores de posición siendo a y b el vector a-b es aquel que va del extremo de b al extremo de a y su modulo |a-b| será igual a la distancia entre los puntos A y B

EL PRODUCTO ESCALAR DE 2 VECTORES EN EL ESPACIO DE “n” DIMENSIONES

Se denota como a· b y se define con la siguiente expresión:

a· b = a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn

El resultado de esta operación será un escalar (numero real) a esta operación se le conoce también como producto interno o producto junto de 2 vectores

ORTOGONALIDAD

2 vectores a y b serán ortogonales su producto punto es igual a 0

COMPONENTE VECTORIAL Y COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR SOBRE OTRO

Sean 2 vectores cuales quiera a y b en un espacio de 3 dimensiones a partir de estos se puede definir los siguientes elementos:

Un vector unitario bu en la dirección de b

Un escalar  talque el vector a - bu es ortogonal al vector b

La componente vectorial de un vector a sobre otro vector b la cual se expresa como:

Comp. Vec. a :

b Un vector será bu en el cual bu es el vector unitario en la dirección del vector b y  es una escalar talque a- bu es ortogonal al vector b al escalar  se le llama componente escalar del vector a sobre el vector b y se representa de la siguiente manera:

Comp. Esc. a

b

Estas componentes se pueden calcular mediante las siguientes expresiones:

Comp. Vec. a = a · b b Comp. Esc. a = a · b

b |b| |b| b |b|

Si  es el ángulo formado por los vectores a y b, el producto del punto vector a y b se puede calcular mediante la expresión

a · b = |a||b|cos  0º "  " 180º

Esto que el producto escalar de 2 vectores diferentes del vector 0 es igual al producto de lo módulos de cada uno de ellos por el cos del ángulo que forman. Para calcular el ángulo que se forman entre vectores hay que despejar la formula anterior

VECTORES UNITARIOS i, j, k Y FORMA TRINÓMICA DE UN VECTOR

En algunas ocasiones es conveniente expresar al vector en términos de vector unitario i, j, k. Estos vectores tiene la dirección de los ejes de coordenadas y su modulo es igual a 1. De esta manera el vector a se puede expresar como sigue:

a = (a1i, a2j, a3k)

Esta expresión define al vector a en la llama forma trinómica

ÁNGULOS Y CÓSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Definición:

Los ángulos directores de un vector a son los ángulos , ,  que respectivamente forma al vector a con los vectores unitarios i, j, k

Las expresiones para calcular los ángulos directores se obtienen de la siguiente manera:

 = cos-1 a1  = cos-1 a2  = cos-1 a3

|a| |a| |a|

Es mas conveniente trabajar con cósenos directores del vector a de estos ángulos y para obtenerlos nomás hay que despejas el coseno de las formulas anteriores. Cuando se suman los cuadrados de los cósenos tiene que ser igual a 1

PRODUCTO VECTORIAL

Se le conoce también como el producto cruz y nomás es aplicable únicamente a vectores de 3 dimensiones y el resultado será un vector:

a x b = [(a2b3 - a3b2)i + (b1a3 - a1b3)j + (a1b2 - b1a2)k]

El vector resultante de producto vectorial a x b es perpendicular tanto al vector a como al vector b cuando el producto punto es igual a 0

a· (a x b) = 0 b · (a x b) = 0

Si los vectores coinciden en su punto inicial sin ser paralelos entonces forman un ángulo  por lo tanto el modulo de |a x b| será igual:

|a x b| = |a||b| sen  0º "  " 180º

PARALELISMO

2 vectores diferentes del vector 0 serán paralelos si y solo si su producto vectorial será igual al vector nulo

|a x b|= 0 a " 0 b " 0

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Se puede calcular mediante el producto vectorial

|a x b| = |a||b| sen 

PRODUCTO MIXTO

En este producto primero se debe efectuar el producto b x c ya que si se asocia a · (b x c)

La expresión no tendrá significado dado que a · b es un escalar y el producto vectorial esta definido para 2 vectores.

Este producto mixto se llama también triple producto escalar y puede expresarse en términos de determinantes de tercer orden como se indica a continuación

a · b x c = a1, a2, a3

b1, b2, b3

c1, c2, c3

también se puede expresar de esta forma [a b c]

y

z

x

P

ordenada

abcisa

Cota

a

a

a