Probabilidades

Experimento aleatorio. Espacio muestral. Álgebra de sucesos. Frecuencia, frecuencias. Probabilidad condicionada. Combinatoria

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

  • Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos.

  • Álgebra de sucesos.

  • Frecuencias. Propiedades.

  • Probabilidad. Resumen de Combinatoria.

  • Probabilidad condicionada. Teoremas.

PROBABILIDAD

Existen dos tipos de fenómenos:

- deterministas, que son aquellos cuyos resultados se pueden predecir de antemano, y

- estocásticos o aleatorios, que son los que dependen del azar (no se pueden predecir).

Se llama prueba al proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Y se llama experimento aleatorio a todo fenómeno aleatorio.

Se llama espacio muestral, universo o población al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, y se representa por E. Se llama suceso aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a un suceso unitario. Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos, y se representa por Probabilidades
. Se llama suceso imposible al que no se verificará nunca, y se representa por Probabilidades
. Se llama suceso seguro al que se verificará siempre, y se representa por E.

Se dice que un subconjunto A Probabilidades
Probabilidades
se ha realizado o se ha verificado cuando el resultado de la prueba coincide con algún componente del subconjunto A.

Se dice que un suceso A implica a otro B cuando siempre que se verifica A, se verifica B: A Probabilidades
B. Diremos que dos sucesos son iguales cuando A Probabilidades
B y B Probabilidades
A.

Álgebra de sucesos .-

Probabilidades
A Probabilidades
B es el suceso que se verifica si y

Probabilidades
sólo si se verifica uno de los dos.

Probabilidades
A Probabilidades
B es el suceso que se verifica cuando

Probabilidades
se verifican los dos a la vez.

Probabilidades
Probabilidades
, complementario de A, es el suceso que

Probabilidades
se verifica cuando no se verifica A.

Propiedades:

Como las definiciones de unión, intersección y complementación de sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.

i) Conmutativa: AProbabilidades
B = BProbabilidades
A AProbabilidades
B = BProbabilidades
A

ii) Asociativa: AProbabilidades
(BProbabilidades
C) = (AProbabilidades
B)Probabilidades
C AProbabilidades
(BProbabilidades
C) = (AProbabilidades
B)Probabilidades
C

iii) Idempotente: AProbabilidades
A = A AProbabilidades
A = A

iv) Simplificación: AProbabilidades
(AProbabilidades
B) = AProbabilidades
B AProbabilidades
(AProbabilidades
B) = AProbabilidades
B

v) Distributiva: AProbabilidades
(BProbabilidades
C) = (AProbabilidades
B)Probabilidades
(AProbabilidades
C)

AProbabilidades
(BProbabilidades
C) = (AProbabilidades
B)Probabilidades
(AProbabilidades
C)

vi) Existencia de elemento neutro: AProbabilidades
Probabilidades
= A AProbabilidades
E = A

vii) Absorción: AProbabilidades
E = E AProbabilidades
Probabilidades
= Probabilidades

viii)Complementación: EProbabilidades
= Probabilidades
Probabilidades
= E

ix) Involución: (AProbabilidades
)Probabilidades
= A

x) Leyes de Morgan: (AProbabilidades
B)Probabilidades
= AProbabilidades
Probabilidades
BProbabilidades
(AProbabilidades
B)Probabilidades
= AProbabilidades
Probabilidades
BProbabilidades

Álgebra de Boole:

Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.

Así pues, (Probabilidades
;Probabilidades
, Probabilidades
) es un álgebra de Boole.

Dos sucesos se dicen incompatibles si AProbabilidades
B = Probabilidades
.

Un sistema completo de sucesos son n sucesos AProbabilidades
, AProbabilidades
, ......., AProbabilidades
que verifican las dos siguientes condiciones:

  • AProbabilidades
    Probabilidades
    AProbabilidades
    Probabilidades
    ......Probabilidades
    AProbabilidades
    = E

  • AProbabilidades
    Probabilidades
    AProbabilidades
    = Probabilidades
    , Probabilidades
    i, j = 1, 2, ...., n , iProbabilidades
    j.

  • Frecuencias .-

    Sea un suceso A Probabilidades
    . Si efectuamos n pruebas de un experimento aleatorio, designaremos por nProbabilidades
    el número de veces que se ha verificado el suceso A. El número nProbabilidades
    se llama frecuencia absoluta del suceso A.

    Se llama frecuencia relativa del suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta y el número de pruebas: fr(A) = Probabilidades
    .

    Como consecuencia de la propia definición, resultan las siguientes propiedades:

    • fr( E ) = 1 y fr(Probabilidades
      ) = 0

    (debido a que nProbabilidades
    = 0 y nProbabilidades
    = n )

    • Probabilidades
      AProbabilidades
      , 0 Probabilidades
      fr(A) Probabilidades
      1

    (debido a que 0 Probabilidades
    nProbabilidades
    Probabilidades
    n)

    • Si A y B son dos sucesos incompatibles, fr(AProbabilidades
      B) = fr(A) + fr(B)

    (como AProbabilidades
    B = Probabilidades
    , será nProbabilidades
    = nProbabilidades
    + nProbabilidades
    )

    Probabilidad .-

    La idea intuitiva de probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números, enunciada por Bernoulli:

    “La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente”.

    Es decir, si A es un suceso, podríamos hablar del Probabilidades
    fr(A) = Probabilidades
    Probabilidades

    Este número al que la frecuencia relativa se acerca es lo que llamaremos la probabilidad del suceso.

    Se representará como p(A).

    Definición clásica de probabilidad:

    (Regla de Laplace)

    La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos favorables al suceso A, partido por el número de casos posibles del experimento aleatorio:

    p(A) = Probabilidades

    Definición axiomática de probabilidad:

    (Axiomas de Kolmogorov)

    La probabilidad es una ley que asigna a cada suceso AProbabilidades
    Probabilidades
    un número real

    p : Probabilidades
    Probabilidades
    Probabilidades
    y que verifica:

    A Probabilidades
    p(A)

    i) p(A) Probabilidades
    0 , Probabilidades
    AProbabilidades
    Probabilidades

    ii) p(E) = 1

    iii) si A y B son sucesos incompatibles, p(AProbabilidades
    B) = p(A) + p(B)

    Como consecuencia de estos tres axiomas, se verifican además las siguientes propiedades:

    iv) p(AProbabilidades
    ) = 1- p(A)

    v) p(Probabilidades
    ) = 0

    vi) si AProbabilidades
    B, Probabilidades
    p(A) Probabilidades
    p(B)

    vii) p(A) Probabilidades
    1, Probabilidades
    AProbabilidades
    Probabilidades

    viii)si AProbabilidades
    , AProbabilidades
    , ...... , AProbabilidades
    son incompatibles dos a dos, entonces

    p(AProbabilidades
    Probabilidades
    AProbabilidades
    Probabilidades
    .....Probabilidades
    AProbabilidades
    ) = p(AProbabilidades
    ) + p(AProbabilidades
    ) + ..... + p(AProbabilidades
    )

    ix) si A, BProbabilidades
    Probabilidades
    son dos sucesos cualesquiera, entonces

    p(AProbabilidades
    B) = p(A) + p(B) - p(AProbabilidades
    B)

    Combinaciones, variaciones y permutaciones .-

    Se llaman variaciones de n elementos tomados de m en m a los grupos de m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

    Si los elementos se pueden repetir se llaman variaciones con repetición.

    Si m = n se llaman permutaciones de n elementos.

    Si el orden no importa se llaman combinaciones.

    Variaciones: VProbabilidades
    = n (n-1) ...... (n-m+1)

    son los distintos grupos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden.

    Variaciones con repetición: VRProbabilidades
    = nProbabilidades

    son los distintos grupos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden.

    Combinaciones: CProbabilidades
    =Probabilidades
    = Probabilidades

    son los distintos subconjuntos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos.

    Combinaciones con repet.: CRProbabilidades
    =CProbabilidades

    son los distintos subconjuntos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos.

    Permutaciones: PProbabilidades
    = VProbabilidades
    = n!

    son todas las distintas ordenaciones que se pueden formar con n elementos, todos distintos.

    Permut. con repet.: PProbabilidades
    =Probabilidades

    son las distintas ordenaciones que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta que un elemento se repite a veces, otro b veces, ...., etc., siendo a+b+......+k=n.

    Probabilidad condicionada .-

    En muchas ocasiones, la verificación o no de un suceso se estudia en función de otro suceso de cuya verificación depende o del cual está condicionado.

    Se dice probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se representa p(Probabilidades
    ) , al valor p(Probabilidades
    ) = Probabilidades
    , siempre que p(A) Probabilidades
    0 .

    En consecuencia, p(AProbabilidades
    B) = p(A) p(Probabilidades
    ) .

    Dos sucesos A, B Probabilidades
    se dicen independientes si p(B) = p(Probabilidades
    ). Es decir,se cumplirá que p(A) p(B) = p(AProbabilidades
    B)

    Si A y B son independientes, entonces A y BProbabilidades
    son independientes, AProbabilidades
    y B son independientes, y AProbabilidades
    y BProbabilidades
    son independientes.

    Teorema de la probabilidad total:

    Si AProbabilidades
    , AProbabilidades
    , ......., AProbabilidades
    son un sistema completo de sucesos tal que p(AProbabilidades
    )Probabilidades
    0, Probabilidades
    , entonces la probabilidad de un suceso B cualquiera es:

    p(B) = p(AProbabilidades
    ) p(Probabilidades
    )+p(AProbabilidades
    ) p(Probabilidades
    )+.......+p(AProbabilidades
    ) p(Probabilidades
    )

    Teorema de Bayes:

    Si AProbabilidades
    , AProbabilidades
    , ......., AProbabilidades
    son un sistema completo de sucesos tal que p(AProbabilidades
    )Probabilidades
    0, Probabilidades
    , entonces para un suceso B cualquiera se verifica:

    p(Probabilidades
    ) = Probabilidades
    ,

    y esto para cualquier i = 1, ...., n.

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