CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

• Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos.

• Álgebra de sucesos.

• Frecuencias. Propiedades.

• Probabilidad. Resumen de Combinatoria.

• Probabilidad condicionada. Teoremas.

PROBABILIDAD

Existen dos tipos de fenómenos:

- deterministas, que son aquellos cuyos resultados se pueden predecir de antemano, y

- estocásticos o aleatorios, que son los que dependen del azar (no se pueden predecir).

Se llama prueba al proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Y se llama experimento aleatorio a todo fenómeno aleatorio.

Se llama espacio muestral, universo o población al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, y se representa por E. Se llama suceso aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a un suceso unitario. Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos, y se representa por
. Se llama suceso imposible al que no se verificará nunca, y se representa por
. Se llama suceso seguro al que se verificará siempre, y se representa por E.

Se dice que un subconjunto A

se ha realizado o se ha verificado cuando el resultado de la prueba coincide con algún componente del subconjunto A.

Se dice que un suceso A implica a otro B cuando siempre que se verifica A, se verifica B: A
B. Diremos que dos sucesos son iguales cuando A
B y B
A.

Álgebra de sucesos .-

A
B es el suceso que se verifica si y

sólo si se verifica uno de los dos.

A
B es el suceso que se verifica cuando

se verifican los dos a la vez.

, complementario de A, es el suceso que

se verifica cuando no se verifica A.

Propiedades:

Como las definiciones de unión, intersección y complementación de sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.

i) Conmutativa: A
B = B
A A
B = B
A

ii) Asociativa: A
(B
C) = (A
B)
C A
(B
C) = (A
B)
C

iii) Idempotente: A
A = A A
A = A

iv) Simplificación: A
(A
B) = A
B A
(A
B) = A
B

v) Distributiva: A
(B
C) = (A
B)
(A
C)

A
(B
C) = (A
B)
(A
C)

vi) Existencia de elemento neutro: A

= A A
E = A

vii) Absorción: A
E = E A

=

viii)Complementación: E
=

= E

ix) Involución: (A
)
= A

x) Leyes de Morgan: (A
B)
= A

B
(A
B)
= A

B

Álgebra de Boole:

Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.

Así pues, (
;
,
) es un álgebra de Boole.

Dos sucesos se dicen incompatibles si A
B =
.

Un sistema completo de sucesos son n sucesos A
, A
, ......., A
que verifican las dos siguientes condiciones:

Frecuencias .-

Sea un suceso A
. Si efectuamos n pruebas de un experimento aleatorio, designaremos por n
el número de veces que se ha verificado el suceso A. El número n
se llama frecuencia absoluta del suceso A.

Se llama frecuencia relativa del suceso A al cociente entre la frecuencia absoluta y el número de pruebas: fr(A) =
.

Como consecuencia de la propia definición, resultan las siguientes propiedades:

• fr( E ) = 1 y fr(
  ) = 0

(debido a que n
= 0 y n
= n )

• 
  A
  , 0
  fr(A)
  1

(debido a que 0
n

n)

• Si A y B son dos sucesos incompatibles, fr(A
  B) = fr(A) + fr(B)

(como A
B =
, será n
= n
+ n
)

Probabilidad .-

La idea intuitiva de probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números, enunciada por Bernoulli:

“La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente”.

Es decir, si A es un suceso, podríamos hablar del
fr(A) =

Este número al que la frecuencia relativa se acerca es lo que llamaremos la probabilidad del suceso.

Se representará como p(A).

Definición clásica de probabilidad:

(Regla de Laplace)

La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos favorables al suceso A, partido por el número de casos posibles del experimento aleatorio:

p(A) =

Definición axiomática de probabilidad:

(Axiomas de Kolmogorov)

La probabilidad es una ley que asigna a cada suceso A

un número real

p :


y que verifica:

A
p(A)

i) p(A)
0 ,
A

ii) p(E) = 1

iii) si A y B son sucesos incompatibles, p(A
B) = p(A) + p(B)

Como consecuencia de estos tres axiomas, se verifican además las siguientes propiedades:

iv) p(A
) = 1- p(A)

v) p(
) = 0

vi) si A
B,
p(A)
p(B)

vii) p(A)
1,
A

viii)si A
, A
, ...... , A
son incompatibles dos a dos, entonces

p(A

A

.....
A
) = p(A
) + p(A
) + ..... + p(A
)

ix) si A, B

son dos sucesos cualesquiera, entonces

p(A
B) = p(A) + p(B) - p(A
B)

Combinaciones, variaciones y permutaciones .-

Se llaman variaciones de n elementos tomados de m en m a los grupos de m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

Si los elementos se pueden repetir se llaman variaciones con repetición.

Si m = n se llaman permutaciones de n elementos.

Si el orden no importa se llaman combinaciones.

Probabilidad condicionada .-

En muchas ocasiones, la verificación o no de un suceso se estudia en función de otro suceso de cuya verificación depende o del cual está condicionado.

Se dice probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se representa p(
) , al valor p(
) =
, siempre que p(A)
0 .

En consecuencia, p(A
B) = p(A) p(
) .

Dos sucesos A, B
se dicen independientes si p(B) = p(
). Es decir,se cumplirá que p(A) p(B) = p(A
B)

Si A y B son independientes, entonces A y B
son independientes, A
y B son independientes, y A
y B
son independientes.

Teorema de la probabilidad total:

Si A
, A
, ......., A
son un sistema completo de sucesos tal que p(A
)
0,
, entonces la probabilidad de un suceso B cualquiera es:

p(B) = p(A
) p(
)+p(A
) p(
)+.......+p(A
) p(
)

Teorema de Bayes:

Si A
, A
, ......., A
son un sistema completo de sucesos tal que p(A
)
0,
, entonces para un suceso B cualquiera se verifica:

p(
) =
,

y esto para cualquier i = 1, ...., n.