Técnicas Experimentales

de la Física I

T-1: Determinación de Densidades mediante el Picnómetro

T-3: Balanza de Jolly

T-4: Medida de Momentos de Inercia

T-7: Caída Libre

T-1 Determinación de Densidades mediante el Picnómetro

La práctica consiste en determinar la densidad de un sólido y la densidad de un líquido mediante un picnómetro (un pequeño frasco de vidrio, cerrado por un tapón esmerilado que se prolonga por un tubo capilar).

Para determinar la densidad tanto del sólido como del líquido problema hemos de calcular sus masas mediante una balanza electrónica, de la cual podemos decir que posee un error de apreciación de 0,01 gramos, dado que la lectura o apreciación de la balanza se expresaba con una exactitud de centésimas de gramos.

Para este tipo de balanza no es apreciable un error sistemático instrumental o error de cero, debido a una incertidumbre por exceso o por defecto dado que la balanza se puede equilibrar mediante la tara.

Aunque sea posible cometer un error sistemático al observar si coinciden la señal de enrase con el menisco del líquido en el picnómetro, en la práctica, no consideramos este error ya que resulta insignificante frente a la magnitud de otros errores.

A la hora de realizar la práctica la temperatura ambiente en el laboratorio era de unos 20 ºC, por lo que haciendo uso de las tablas, consideraremos como valor de la densidad del agua a temperatura ambiente el valor 0.99823 g·cm-3 aproximadamente.

T-1. 1.a Densidad de un Sólido Problema

Definimos la densidad de un sólido como la masa por unidad de volumen, de acuerdo con la expresión:

Sin embargo, determinar el volumen de un sólido cuyas dimensiones no están bien definidas no es fácil, por eso se hace uso de un picnómetro, con el cual obtenemos la densidad relativa del cuerpo respecto al compuesto de referencia.

Pero dado que tomamos como compuesto de referencia el agua, de la cual conocemos su densidad a una determinada temperatura, partiendo de la definición de densidad relativa podremos determinar la densidad del sólido deseada:

Donde M1 es la masa del sólido problema y M2-M3 representa la masa de agua desalojada al introducir el sólido problema en el picnómetro.

La expresión representa la densidad relativa del sólido problema respecto del compuesto de referencia o lo que es lo mismo, el volumen del cuerpo de masa M1 que desplaza un volumen igual de agua con masa M2-M3.

Los datos de las masas obtenidas en el laboratorio son:

• (masa del sólido) =

• (masa del sólido y del picnómetro con agua) =

• (masa del sólido introducido en el picnómetro con agua)=

Llamemos MA a la masa de agua desalojada, entonces MA = M2-M3 y el error cometido ððð será:

Por último no consideraremos el error aportado el valor de la densidad del agua, dado que su magnitud es despreciable frente a los errores obtenidos. Para ello debemos tomar con cuatro cifras decimales para que su error relativo sea despreciable frente al de las demás magnitudes.

Con estos datos podremos ya calcular el valor de la densidad del sólido problema:

T-1. 1.b Densidad de un Líquido Problema

El objeto de esta parte de la práctica es determinar la densidad de un líquido mediante el uso del picnómetro, basándonos en el mismo principio que la práctica anterior, la densidad relativa

Tomaremos como compuesto de referencia el agua, de la cual conocemos su densidad a una determinada temperatura, y partiendo de la definición de densidad relativa podremos determinar la densidad del líquido:

Si M3 es masa del picnómetro lleno del líquido problema y M2 es masa del picnómetro vacío, la expresión M3-M2 representa la masa del líquido problema.

Y si M1 es masa del picnómetro lleno de agua y M2 es masa del picnómetro vacío, entonces M1- M2 será la masa de agua en el picnómetro.

La expresión representa la densidad relativa del líquido problema respecto del compuesto de referencia o lo que es lo mismo, el volumen del líquido problema de masa M3-M2 desplaza un volumen igual de agua con masa M1-M2.

Los datos de las masas obtenidas en el laboratorio son:

• (masa del picnómetro con agua) =

• (masa del picnómetro vacío) =

• (masa del picnómetro lleno del líquido problema) =

Procedamos ahora al cálculo de errores:

Si llamamos ML a la diferencia de masa M3-M2 , al calcular estaremos calculando el error cometido al considerar la masa del líquido problema, haciendo uso de la propagación de errores obtendremos el valor de :

Si llamamos Ma a la diferencia de masa M1-M2, al calcular estaremos calculando el error cometido al considerar la masa de agua, haciendo uso de nuevo de la propagación de errores obtendremos el valor de :

Por último no consideraremos el error aportado el valor de la densidad del agua, dado que su magnitud es despreciable frente a los errores obtenidos. Para ello debemos tomar con cinco cifras decimales para que su error relativo sea despreciable frente al de las demás magnitudes.

Con estos datos en mano podremos ya calcular el valor de la densidad del líquido problema:

Y por tanto . Con lo que:

T-1. 2. Deduzca una expresión que relacione la densidad de un cuerpo con la temperatura y el coeficiente de dilatación del mismo.

Definimos dilatación como el aumento de volumen que experimentan los cuerpos cuando se eleva su temperatura.

La característica que diferencia la dilatación de cada metal es el coeficiente angular o pendiente de su diagrama de dilatación.

El concepto físico del coeficiente de dilatación lineal, superficial o cúbico es el aumento medio que experimenta la unidad de longitud, superficie o volumen respectivamente, al aumentar un grado su temperatura.

En nuestro caso, si Vo es el volumen a 0º y Vt a tº, Vt - Vo es el aumento para el intervalo de oº a tº, y es el aumento medio que corresponde a cada unidad de volumen, al aumentar la temperatura un grado.

De esta última fórmula se obtiene que . Así, los volúmenes son directamente proporcionales a sus binomios de dilatación.

Como al calentar los cuerpos sólidos aumenta su volumen y disminuye su densidad, se cumple que «Las densidades son inversamente proporcionales a los binomios de dilatación cúbica y a su vez, éste último es prácticamente el triple del lineal».

Esto se debe a que la masa de un cuerpo es independiente de la temperatura y, por tanto, es idéntica en frío que en caliente. Si y son las densidades de 0º y a tº, la masa del cuerpo es: , sustituyendo Vt por su valor:

Variación de la densidad con la temperatura y con el coeficiente de dilatación

Si lo que se quiere es relacionar las densidades a t y t' grados basta dividir entre sí las expresiones correspondientes a los binomios de dilatación de las dos temperaturas:

T-1. 3. Para determinar mediante un picnómetro la densidad de una sal se utiliza keroseno y se encuentra que 20 gramos de la sal desplazan 7,4 gramos de keroseno. Calcule la densidad de la sal, sabiendo que la del keroseno es 0,83 g·cm-3.

En este caso, el compuesto de referencia es el keroseno, suponiendo 20 gramos de sal ocupan el mismo volumen que 7,4 gramos de keroseno, podemos calcular la densidad relativa de la sal respecto del queroseno (1) :

(1) Densidad relativa

densidad relativa de la sal = masa de sal / masa de keroseno

y después calcular su densidad absoluta multiplicando la densidad relativa de la sal respecto del keroseno por la densidad del compuesto de referencia (2), así tenemos que:

(2)Densidad absoluta

densidad absoluta de la sal = densidad relativa de la sal respecto del keroseno · densidad del keroseno

T-3. Balanza de Jolly

El objetivo de esta práctica consiste en determinar la constante de fuerza de un resorte, y en calcular la densidad de un sólido mediante la balanza de Jolly.

Esta constante de fuerza se puede calcular de dos formas distintas, mediante un método estático y otro dinámico.

Este tipo de balanza consiste en un muelle helicoidal (del que hay que calcular su constante de fuerza) sujeto por su extremo superior y libre por el inferior del que cuelga un platillo.

T.3.1 Método Estático

Un método estático consiste en colgar del resorte distintas pesas, en orden creciente, y se miden los alargamientos correspondientes. Sabemos además que estos alargamientos que experimenta el resorte son proporcionales a las fuerzas aplicadas (en este caso la fuerza ejercida por la gravedad) siempre que se cumpla la ley de Hooke.

El procedimiento que seguimos en este experiencia fueron los siguientes:

• Tomamos notas de la posición del platillo cuando aún no se había colocado pesa alguna. Para ello nos situamos frente al platillo para ver cuál era su posición en una regla graduada situada detrás del muelle.

El error de apreciación de ésta regla era de 1 milímetro, dado que su graduación estaba expresada en milímetros.

Llamamos a esta posición a0 y su valor era de 0.127 0.001 m

• Después colocamos distintas pesas de distintas masa y anotamos las posiciones del platillo con las correspondientes masas.

Tomamos la posición del platillo como punto de referencia, y a partir de dicha posición fuimos midiendo las distintas elongaciones para las distintas masas. Las masas tomaban valores desde 1 hasta 10 gramos inclusive.

El error cometido en las elongaciones se calcula mediante la expresión:

Pesas (Kg)	Cargas ( N )	Posiciones ai (m)	Alargamientos (xi = ai - ao) (m)
0.0125	0.0125 · 9.8 = 0.1225	ao = 0.127 0.001	00.001
0.0125 + 0.0001	0.0135 · 9.8 = 0.1323	a1 = 0.115 0.001	0.0120.001
0.0125 + 0.0002	0.0145 · 9.8 = 0.1421	a2 = 0.103 0.001	0.0240.001
0.0125 + 0.0003	0.0155 · 9.8 = 0.1519	a3 = 0.090 0.001	0.0370.001
0.0125 + 0.0004	0.0165 · 9.8 = 0.1617	a4 = 0.077 0.001	0.0500.001
0.0125 + 0.0005	0.0175 · 9.8 = 0.1715	a5 = 0.066 0.001	0.0610.001
0.0125 + 0.0006	0.0185 · 9.8 = 0.1813	a6 = 0.053 0.001	0.0740.001
0.0125 + 0.0007	0.0195 · 9.8 = 0.1911	a7 = 0.043 0.001	0.0840.001
0.0125 + 0.0008	0.0205 · 9.8 = 0.2009	a8 = 0.030 0.001	0.0970.001
0.0125 + 0.0009	0.0215 · 9.8 = 0.2107	a9 = 0.020 0.001	0.1070.001
0.0125 + 0.0010	0.0225 · 9.8 = 0.2205	a10 = 0.007 0.001	0.1200.001

Una vez obtenidos los datos podemos calcular la constante del resorte haciendo uso de la ley de Hooke, basándonos en que los alargamientos obtenidos son proporcionales a la fuerzas ejercida por la gravedad en nuestro caso, y que esta proporcionalidad viene dada por una constante, la cual hemos de calcular haciendo uso de una gráfica que tenga por ordenadas las cargas sucesivas y por abcisas los alargamientos correspondientes.

Haremos uso de la expresión:

Dado que la técnica de mínimos cuadrados es muy laboriosa y que el número de medidas realizadas es la decena calcularemos entonces el valor de a y de b y de sus correspondientes límites de error. Para ello prescindiremos del valor x0.

Puntos	Elongaciones (m)	Fuerzas (N)
1	0.012	0.13230
2	0.024	0.14210
3	0.037	0.15190
4	0.050	0.16170
5	0.061	0.17150
6	0.074	0.18130
7	0.084	0.19110
8	0.097	0.20090
9	0.107	0.21070
10	0.120	0.22050

• Disponemos de 10 puntos (X,F), agrupando los puntos a pares: el 1 con el 6, el 2 con el 7, el 3 con el 8, el 4 con el 9 y el 5 con el 10 y calculamos la recta definida por cada pareja de puntos obteniendo cinco valores de las pendientes (ai) así como cinco valores de la ordenada en el origen (bi) :

Puntos	ai (N/m)	bi (m)
1-6	0.790	0.123
2-7	0.817	0.123
3-8	0.817	0.123
4-9	0.860	0.119
5-10	0.831	0.121

• Los valores de a y de b lo obtenemos de:

(N/m)

(m)

Donde representa la pendiente o el valor de la constante elástica y la ordenada en el origen o la posición del platillo sin masa alguna.

• Por último, el límite de error de estos coeficientes puede determinarse calculando la desviación normal de
  y de
  mediante las expresiones:

F =(0.8230.035) x + (0.1210.002) (N)

De esta expresión deducimos que el valor de la constante elástica es de 0.8230.035 N/m.

T.3.2 Método Dinámico

Cuando se estudian las oscilaciones elásticas de un resorte helicoidal, de constante elástica C y masa m, los cálculos teóricos predicen un valor del período del oscilación al que ha sido sometido de:

dado que, al oscilar la masa M, participa de ese movimiento también una fracción de la masa del resorte (fm).

En este principio se basa el método dinámico, el cual consiste en hacer oscilar al resorte cuando éste ha alcanzado la posición de equilibrio, repitiendo este proceso para los distintos valores de masas que oscilan junto con el resorte y el platillo.

En esta práctica se pide calcular el valor de la constante elástica del resorte y en verificar experimentalmente que la fracción de la masa del resorte que participa de la oscilación es 1/3.

Estos objetivos se pueden conseguir transformando la ecuación anterior en una relación lineal:

Donde en un sistema de ejes cartesianos el valor T2 corresponde a la variable y, la expresión corresponde al valor de la pendiente m, M es la variable independiente x y corresponde a la ordenada en el origen.

En consecuencia, si llevamos a un sistema de ejes cartesianos los valores de T2 frente a los correspondientes de M, la gráfica resultante será una recta.

De la medida de la pendiente de esta recta obtendremos el valor de C y de la intersección de la recta con el eje de abcisas el valor de f.

Los datos obtenidos en el laboratorio son los siguientes:

Masas (Kg)	10 Oscilaciones(s)	Periodo T (s)	Periodo cuadrado T2 (s2)
0.01250.0001	8.80.1	0.880.01	0.770.02
0.01350.0001	8.90.1	0.890.01	0.790.02
0.01450.0001	9.00.1	0.900.01	0.810.02
0.01550.0001	9.10.1	0.910.01	0.830.02
0.01650.0001	9.20.1	0.920.01	0.850.02
0.01750.0001	9.40.1	0.940.01	0.880.02

El valor 0.0125 representa la masa del platillo, cuyo error está en la diezmilésima de kilogramo, o lo que es mismo, en la décima de gramo, que era la precisión de la balanza con que medimos el platillo.

Por otra parte, decir que la precisión del reloj era de 0.1 segundos, y que en consecuencia, nos sale un error para el periodo de 0.01 s y el doble para el cuadrado de éste, es decir, 0.02s para T2.

Nos disponemos ahora a calcular cuál es la recta de mejor ajuste a estos valores para poder entonces calcular los datos que se nos piden:

Puntos	M (Kg)	T2 (s2)
1	0.0125	0.77
2	0.0135	0.79
3	0.0145	0.81
4	0.0155	0.83
5	0.0165	0.85
6	0.0175	0.88

• Disponemos de 6 puntos (M,T2), si agrupamos los puntos a pares: el 1 con el 4, el 2 con el 5 y el 3 con el 6, entonces calcularemos la recta definida por cada pareja de puntos obteniendo tres valores de las pendientes (ai) así como tres valores de la ordenada en el origen (bi).

La expresión corresponde al valor de la pendiente a, por lo que sus unidades son la inversa de la constante elástica, es decir, s2/Kg. Por otra parte, la expresión corresponde al valor de la ordenada en el origen b, por lo que sus unidades vendrán expresadas en s2.

Puntos	ai (s2/Kg)	bi (s2)
1-4	20	0.52
2-5	20	0.52
3-6	23.3	0.47

• Los valores de a y de b lo obtenemos de:

(s2/Kg)

(s2)

• El límite de error de estos coeficientes puede determinarse calculando la desviación normal de
  y de
  mediante las expresiones:

• Si recopilamos e igualamos los datos obtenidos con la ecuación

podremos ver la relación qué existe entre estas dos expresiones.

• Si a es el valor de la pendiente, tendremos que el valor de la constante elástica será:

Si cogemos
con suficientes decimales su error relativo frente a la otra magnitud será despreciable. La expresión que nos dará el error cometido a la hora de estimar el valor de la constante elástica es:

Y la expresión final vendrá dada por:

• Por otra parte, para determinar el valor de f, tendremos que hacer T2 igual a cero y obtendremos el punto de intersección de la recta con el eje de abcisas, obtener un valor de M y así poder sacar el valor de f mediante la expresión M = -f·m, donde m es la masa del resorte helicoidal cuyo valor es (0.00590.0001) Kg:

M representa el valor de la variable independiente cuando la dependiente, es decir T2 se hace cero, este valor lo podemos obtener extrapolando la función unas centésimas de gramos hacia atrás hasta que la recta que corte al eje de abcisas.

Si M = -f·m, entonces (OBSERVACIONES)

T.3.3 Densidad de un Sólido mediante la Balanza de Jolly

Para determinar la densidad de un cuerpo mediante la balanza de Jolly primero tomamos la lectura de la posición del platillo cuando no existe carga en este, llamamos a esta posición A0 y su valor era de 12.70.1 cm.

Después colgamos el sólido problema del platillo, con lo que el alargamiento x que experimenta el resorte será proporcional a su peso. Por lo que si llamamos A1 a la posición del platillo junto con el sólido problema, tendremos que su valor es 1.8 0.1 cm

En consecuencia, el alargamiento que experimenta el resorte será la diferencia de estos dos valores:

Después subimos la plataforma que sostiene al vaso de agua de manera que el cuerpo quedase totalmente sumergido en la misma. A esta posición la llamamos A2 y su valor era 2.70.1 cm.

En consecuencia, el alargamiento que experimenta el resorte cuando el cuerpo está sumergido en el agua es :

= 2,7 -12.7= -10 cm =0.01 cm.

A la hora de realizar la práctica la temperatura ambiente en el laboratorio era de unos 23.5 ºC, por lo que haciendo uso de las tablas, consideraremos como valor de la densidad del agua a temperatura ambiente el valor 0.99733 g·cm-3 aproximadamente.

Tomamos como compuesto de referencia el agua, de la cual conocemos su densidad a una determinada temperatura, partiendo de la definición de densidad relativa podremos determinar la densidad del sólido deseada:

La expresión
representa la densidad del sólido problema respecto a la densidad del agua.

Llamemos y a la diferencia x - x´, su valor será -10.9-(-10) = -0.9 cm y como ya hemos visto otras veces la precisión de esta diferencia es igual a la precisión de la regla. Luego y = - 0.9 0.1 cm.

Por último haremos que el error aportado por el valor de la densidad del agua, sea despreciable frente a los errores obtenidos. Para ello debemos tomar con tres cifras decimales para que su error relativo sea despreciable frente al de las demás magnitudes.

Y por tanto, si hacemos uso de la expresión podremos calcular la densidad del sólido problema:

• OBSERVACIONES:

El valor de f no es exacto, el motivo puede ser un error a la hora de deducir su valor, aunque se han seguido los pasos escritos en la práctica.

• Cuestiones:

Exprese la constante del resorte en el Sistema Internacional, y su sensibilidad también. En nuestro caso, ¿resultará práctico expresar una y otra en este sistema, o es preferible expresarla en función de otras unidades?

S = 1/C = 0.535 m/N

En cuanto a si es preferible expresarla en funciones de otras unidades decir que resulta igual de laborioso, dado que si utilizamos el sistema internacional, estaremos trabajando con unidades pequeñas, mientras que si trabajamos en el sistema cesagesimal lo estaremos haciendo con unidades elevadas. Por ejemplo, en el SI trabajar con masas es trabajar con magnitudes de 10-4, mientras que trabajar en el sistema cesagesimal con fuerzas es utilizar magnitudes de 104.

Suponga que, al determinar la densidad del sólido problema, han quedado burbujas de aire adheridas al mismo cuando este permanece sumergido en el agua. ¿En qué sentido de falseará el resultado final?

El hecho de que burbujas se queden adheridas al cuerpo hace que el empuje que experimente este sea mayor, y aparentemente su densidad sea menor que la real.

Hablando en la balanza de Jolly esto se manifiesta con un alargamiento menor del real cuando el cuerpo está sumergido en vaso. Esto disminuiría el cociente que representa a la densidad relativa y en consecuencia haría que la densidad del sólido fuese menor.

Demuestre teóricamente que f=1/3.

T-4 Medidas de Momentos de Inercia

Esta práctica que describimos a continuación consiste en determinar:

• El momento de inercia de un conjunto varilla-soporte giratorio, unido a un resorte.

• El par director del resorte.

• La curva de calibrado del aparato.

• El momento de inercia de una esfera, un disco y un cilindro.

• Momento de inercia de un conjunto varilla-soporte giratorio

Disponíamos de un soporte giratorio que podía oscilar alrededor de un eje vertical debido a la acción de un resorte de constante K, en el que fijamos una varilla homogénea de 60 cm de longitud por su punto medio, ayudándonos de una regla graduada de apreciación 0.1cm.

Hicimos oscilar el conjunto varilla-soporte, girándolo un máximo de 180º y lo soltamos.

Este proceso lo repetimos tres veces tras esperar y cronometrar 10 oscilaciones completas. Para ello nos ayudamos de un reloj de precisión 0.2 s:

Medidas	NTi (s)	Ti (s)	T0 (s)
1	26.0	2.60
2	25.4	2.54
3	25.8	2.58

donde NT0= Periodo para N oscilaciones completas.

Si llamamos T0 al período de oscilación del conjunto varilla-soporte, podemos escribir que

donde T0 representa el periodo del conjunto varilla-resorte anteriormente calculado, K la constante elástica del resorte e I0 el momento de inercia que queremos calcular.

Dado que disponemos de una ecuación con dos incógnitas, haremos uso de otra expresión similar para poder resolver el sistema.

Para ello colocamos dos deslizadores en la varilla, a uno y otro lado del eje de giro, y la misma distancia del mismo. Obteniendo así para una serie de valores de r un periodo Ti, que es el periodo de oscilación del conjunto varilla-resorte-deslizadores:

	Distancias (cm)	Medidas	NTi (s)	Ti (s)
T1	10	1ª	37.0
					2ª	37.4
		T2	15		1ª	47.6
					2ª	47.6
		T3	20		1ª	60.0
					2ª	60.0
		T4	25		1ª	72.2
					2ª	74

Si llamamos al período de oscilación del conjunto varilla-soporte sobrecargado con los deslizadores, tendremos la otra ecuación que nos hace falta para poder calcular el valor del momento de inercia Io correspondiente al conjunto anteriormente citado.

Eliminando K de las dos ecuaciones obtenemos que:

donde Ii representa el momento de los deslizadores para una distancia determinada del eje de giro, y Ti2 el período de oscilación del conjunto varilla-resorte-deslizadores a la misma distancia.

Posición del Deslizador	Momentos de Inercia Ii = 2Mri2
10 cm
15 cm
20 cm
25 cm

Una vez obtenidos los distintos momentos de inercia para las distintas posiciones de los deslizadores, podremos calcular I0 haciendo media de los cuatro valores obtenidos anteriormente:

Haciendo la media de los valores obtenidos podremos calcular el momento de inercia del conjunto varilla-soporte:

• Par Director del Resorte

Para poder calcular el par director del resorte K hemos de hacer uso de las ecuaciones para los períodos de oscilación anteriormente mencionados y eliminar el término Io para poder sacar una expresión que nos del el valor de K:

Si consideramos el valor del par director para cada posición de los deslizadores obtendremos que:

Deslizadores	T0= 2,57 s	Período Ti	Momento de Inercia Ii	Par Director Ki (Kg·m2·s-2)
10 cm			T1= 3,72 s	I1= 4,18	K1= 0.022
15 cm			T2= 4,76 s	I2= 9,405	K2= 0.023
20 cm			T3= 6,00 s	I3= 16,7	K3=0.022
25 cm			T4= 7,30 s	I4= 26,1	K4=0.022

Haciendo la media de los valores obtenidos podremos calcular el par director K del resorte:

• La curva de calibrado del aparato

Si utilizamos los valores de Ti e Ii y los llevamos a unos ejes cartesianos, donde las abcisas la ocupan los momentos de inercia y las ordenadas los períodos, obtendremos una recta que será la de calibrado del conjunto varilla-soporte, de acuerdo con la expresión:

donde T2 se representa en el eje de ordenadas, I la de abcisas, T02 la ordenada en el origen y la expresión
representa la pendiente de la recta de calibrado.

Momentos de inercia (Kg·m2)	Períodos (s)	Períodos al cuadrado (s2)
I1= 4,18 · 10-3	T1= 3,72	T12 = 13,84
I2= 9,405 · 10-3	T2= 4,76	T22 = 22,66
I3= 16,7 · 10-3	T3= 6,00	T32 = 36
I4= 26,1 · 10-3	T4= 7,30	T42 = 53,29

De esta gráfica podemos determinar de nuevo el valor de K si obtenemos antes la ecuación de dicha recta.

Disponemos de 4 puntos ( I ,T2 ), agrupando los puntos a pares: el 1 con el 3 y el 2 con el, calculamos la recta definida por cada pareja de puntos obteniendo dos valores de las pendientes (ai) así como dos valores de la ordenada en el origen (bi) :

Puntos	Pendientes ai (s2 · Kg -1 · m -2)	Ordenadas bi (s2)
(I1,T12) y (I3,T32)	1769.97	6.44
(I2,T22) y (I4,T42)	1834.68	5.40

Los valores de a y de b lo obtenemos de:

Donde representa la pendiente o el valor
y la ordenada en el origen o el período de oscilación del conjunto varilla-resorte.

Despejando obtenemos que el valor de K es:

que viene a ser el mismo valor obtenido en el apartado segundo de esta práctica.

• Cálculo de diversos Momentos de Inercia

Esta última parte de la práctica consiste en determinar experimentalmente los momentos de inercia de una esfera, de un disco y de un cilindro macizos, y comparar los valores obtenidos con los resultados teóricos calculados.

Para ello nos ayudaremos de la expresión que relaciona el momento de inercia de un cuerpo con su período de oscilación en un resorte de constante K. Dado que no está presente la varilla tendremos que
es cero y que por consiguiente:

Por lo que para determinar el valor de estos momentos de inercia sólo hemos antes de ver cuál es su período de oscilación, dado que el par del resorte es un valor conocido (K=0.022 Kgm2s-2).

Cuerpo	Dimensiones	Periodo T	I (medido) (Kg·m2)	I (calculado) (Kg·m2)
Esfera	Radio: 0.07 m Masa: 0.761 Kg	1.68 s
Cilindro	Radio: 0.05 m Masa: 0.367 Kg	0.88 s
Disco	Radio: 0.15 m Masa:0.284 Kg	2.74 s

Observaciones:

El valor teórico del momento de inercia del disco es muy diferente al valor calculado experimentalmente, esto es debido a un error al considerar el valor del radio del disco, que debería oscilar en torno a los 18 cm para estas dos valores fuesen semejantes.

T-7. Determinación del valor de la Aceleración de la Gravedad

Esta práctica consiste en determinar el valor de la aceleración de la gravedad sobre dos cuerpos de distinta forma y masa, y demostrar que el valor de esta aceleración es independiente del valor de la masa o del tamaño de los dos cuerpos.

El camino a seguir para determinar dicho valor es medir el tiempo que tardan estas dos esferas en recorrer una cierta distancia vertical mediante la expresión

donde x (m) es la altura donde se suelta la bola, t (s) es el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia x y g (N) es el valor de la aceleración de la gravedad.

Tanto para la primera como para la segunda esfera, de 25 gramos y 13 gramos respectivamente, se han realizado unas 5 mediciones del tiempo para cada una de las 7 distintas alturas desde las que se han dejado caer las bolas, cada una de las medidas con una diferencia de altura de unos 10 cm.

La precisión de la regla con la que nos ayudábamos para colocar la bola dichas alturas tenía una precisión de 1 milímetro, por lo que el error a la hora de calcular la altura es de magnitud 10-3 m.

La precisión del cronómetro automático (el cual se activaba automáticamente al golpear la bola sobre él) es del orden de 10-3 segundos, por lo que el tiempo medido tendrá un error de 0,001 segundos.

Una vez obtenidos todos los valores, llevaremos éstos a una gráfica, la cual tendrá por abcisas el tiempo al cuadrado y por ordenadas la altura. La pendiente de esta gráfica nos dará el valor de la aceleración de la gravedad para las dos esferas y los errores cometidos.

Esfera Grande

1ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.447 0,001	0.444
				0.442 0,001
				0.447 0,001
				0.439 0,001
				0.443 0,001

2ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.406 0,001	0.418
				0.418 0,001
				0.416 0,001
				0.432 0,001
				0.416 0,001

3ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.379 0,001	0.393
					0.390 0,001
					0.387 0,001
					0.412 0,001
					0.395 0,001
4ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)		(s2)
	0.366 0,001	0.363
					0.366 0,001
					0.360 0,001
					0.362 0,001
					0.362 0,001

5ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.332 0,001	0.334
				0.340 0,001
				0.337 0,001
				0.322 0,001
				0.337 0,001

6ª Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.304 0,001	0.304
				0.308 0,001
				0.303 0,001
				0.296 0,001
				0.310 0,001

7 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.266 0,001	0.267
				0.268 0,001
				0.267 0,001
				0.267 0,001
				0.269 0,001

Dado que la técnica de mínimos cuadrados es muy laboriosa y que el número de medidas realizadas es inferior a decena calcularemos entonces el valor de a y de b y de sus correspondientes límites de error. Para ello prescindiremos de uno de los valores, correspondiente a la séptima medida.

Puntos	Tiempo cuadrado (s2)	Altura (m)
1	0,197	0,97
2	0,175	0,87
3	0,154	0,77
4	0,132	0,67
5	0,112	0,57
6	0,093	0,47

• Disponemos de 6 puntos (t2,x), agrupando los puntos a pares: el 1 con el 4, el 2 con el 5 y el 3 con el 6, calculamos la recta definida por cada pareja de puntos obteniendo tres valores de las pendientes (ai) así como tres valores de la ordenada en el origen (bi) :

Puntos	ai (ms-2)	bi (m)
1-4	4.615	0.061
2-5	4.761	0.037
3-6	4.918	0.013

• Los valores de a y de b lo obtenemos de:

Donde representa la pendiente o la mitad del valor de la aceleración de la gravedad y la ordenada en el origen o la posición de la partícula cuando el tiempo vale cero.

• Por último, el límite de error de estos coeficientes puede determinarse calculando la desviación normal de
  y de
  mediante las expresiones:

Por último, el valor de la aceleración de la gravedad para la esfera grande es:

x= (4,7650,152) t2 + (0,0370.024) (m)

Por similitud con la expresión podemos deducir que (ms-2) y por lo tanto, el valor de la gravedad obtenido será .

Y por último, si consideramos su error tendremos que

Observaciones

El término independiente de la ecuación de la gráfica expresa la intersección de la recta con el eje de ordenadas, lo ideal hubiese sido que este valor hubiese sido cero, dado que este dato representa que la bola para un tiempo cero, es decir, antes de ser soltada habría recorrido unos tres centímetros.

Esto puede deberse a un mal uso de los aparatos, por ejemplo en la posición de la base del reloj digital en el momento de ser golpeada por la esfera.

Esfera Pequeña

1 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.439 0,001	0.442
				0.456 0,001
				0.442 0,001
				0.441 0,001
				0.431 0,001

2 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.440 0,001	0.425
				0.417 0,001
				0.435 0,001
				0.417 0,001
				0.416 0,001

3 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.346 0,001	0.386
				0.394 0,001
				0.399 0,001
				0.392 0,001
				0.398 0,001

4 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.364 0,001	0.370
				0.367 0,001
				0.384 0,001
				0.368 0,001
				0.365 0,001

5 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.335 0,001	0.337
				0.340 0,001
				0.335 0,001
				0.338 0,001
				0.339 0,001

6 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.318 0,001	0.309
				0.307 0,001
				0.309 0,001
				0.302 0,001
				0.308 0,001

7 Distancia (m)	Tiempo (s)	Tiempo medio (s)	(s2)
	0.270 0,001	0.274
				0.276 0,001
				0.280 0,001
				0.271 0,001
				0.273 0,001

Dado que la técnica de mínimos cuadrados es muy laboriosa y que el número de medidas realizadas es inferior a decena calcularemos entonces el valor de a y de b y de sus correspondientes límites de error.

Para ello prescindiremos de uno de los valores, correspondiente a la séptima medida .

Puntos	Tiempo al cuadrado (s2)	Altura (m)
1	0,195	0,97
2	0,181	0,87
3	0,149	0,77
4	0,137	0,67
5	0,114	0,57
6	0,095	0,47

• Disponemos de 6 puntos (t2,x), agrupando los puntos a pares: el 1 con el 3,el 2 con el 5 y el 4 con el 6, calculamos la recta definida por cada pareja de puntos obteniendo tres valores de las pendientes (ai) así como tres valores de la ordenada en el origen (bi) :

Puntos	aj (ms-2)	b (m)
1-3	4.349	0.122
2-5	4.778	0.005
4-6	4.762	0.018

• Los valores de a y de b lo obtenemos de:

• Por último, el límite de error de estos coeficientes puede determinarse calculando la desviación normal de
  y de
  mediante las expresiones:

Por último, el valor de la aceleración de la gravedad para la esfera pequeña es:

x= (
)t2 + () (m)

Por similitud con la expresión podemos deducir que (ms-2) y por lo tanto, el valor de la gravedad obtenido será .

Y por último, si consideramos su error tendremos que

Observaciones

El valor de la gravedad sale unas décimas inferior al valor obtenido en la práctica anterior con la esfera grande, las causas de este valor puede deberse a lo dicho en el apartado anterior.

Y decir también que la expresión correspondiente a la ordenada en el origen para la esfera pequeña no es exacto, dado que el error no puede sobrepasar al valor real. Esto se debe al valor de la ordenada en el origen de la recta formada por los puntos 1 y 3. El hecho de haber escogido otros puntos podría corregir este error

F = fuerza (N)

x = elongación (m)

C = constante (N/m)

10

8

6

4

9

7

2

5

3

1

N/m

m

6

5

4

3

2

1

(s2/Kg)

(s2)

s2

s2 · Kg -1 · m -2

1

2

3

4

5

6

m

ms-2

m

ms-2

1

2

3

4

6

5