Límites, continuidad y derivadas

Análisis. Cálculo. Límite. Derivada. Crecimiento, decrecimiento. Máximos, mínimos. Concavidad, convexidad. Puntos inflexión. Representación gráfica

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ÍNDICE

  • Concepto de límite

  • Propiedades de los límites

  • Definición de continuidad

  • Tipos de continuidad

  • Concepto de derivada

  • Tabla de derivadas

  • Crecimiento y decrecimiento

  • Máximos y mínimos

  • Concavidad y convexidad

  • Puntos de inflexión

  • Representación gráfica de funciones

  • Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y :

    x ! 2-

    1'8

    1'9

    1'99

    1'999

    y !

    3'24

    3'61

    3'9601

    3'996001

    x ! 2+

    2'2

    2'1

    2'01

    2'001

    y !

    4'84

    4'41

    4'0401

    4'004001

    Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

    Límites, continuidad y derivadas
    (límite lateral por la izquierda)

    Límites, continuidad y derivadas
    (límite lateral por la derecha)

    Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es :

    Límites, continuidad y derivadas

    Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .

    Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0 es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se aproximan al valor de x0 .

    Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo xLímites, continuidad y derivadas
    x0 .

    Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor  por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<.

    Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un  tal que /x-x0/< .

    Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a x0 , si para cualquiera que sea el número  se puede encontrar otro número  tal que Límites, continuidad y derivadas

    para todo x que verifique Límites, continuidad y derivadas

    Utilizando la notación matemática :

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite .

    No obstante si f(x) está definida en x0 y f(x0) = l entonces se dice que la función es continua en x0 .

    Ejemplo : Veamos que Límites, continuidad y derivadas

    Tomamos =0'1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0'1 ,

    /f(x) - 6/<0'1 por lo tanto /2x-6/<0'1 , -0'1<2x-6<0'1 , 5'9<2x<6'1 , 2'95<x<3'05 ,

    3-0'05<x<3+0'05 , /x-3/<0'05 luego debemos tomar  = 0'05

    Podríamos tomar un  todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre encontraríamos un  .

    En general : /f(x) - 6/< por lo tanto /2x-6/< , -<2x-6< , 6-<2x<6+ ,

    3-/2<x<3+/2 , /x-3/</2 luego debemos tomar  = /2 , en general  depende del valor de  que tomemos .

    Límites infinitos en un punto (asíntota vertical): Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)>k cuando /x-x0/< .

    Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)<-k cuando /x-x0/< .

    Límites en el infinito (asíntota horizontal): Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier  se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x>k .

    Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier  se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x<-k .

    Límite infinito en el infinito : Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x>H .

    Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)<-k para todo x>H .

    Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x<-H .

    Se dice que Límites, continuidad y derivadas
    si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)<-k para todo x<-H .

    Propiedades de los límites :

  • El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales .

  • Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .

  • lim f+g = lim f + lim g

  • lim f·g = lim f · lim g

  • lim k·f = k · lim f donde k es un nº real

  • limf/g = lim f / lim g siempre que lim g Límites, continuidad y derivadas
    0

  • lim f n = ( lim f )n donde n es un nº real

  • lim f g = ( lim f )g

  • lim g(f(x)) = g ( lim f(x) )

  • Cálculo de algunos límites : ( Indeterminaciones )

    Al aplicar las propiedades de los límites podemos encontrar una de las siguientes indeterminaciones : 0/0 , Límites, continuidad y derivadas
    /Límites, continuidad y derivadas
    , Límites, continuidad y derivadas
    -Límites, continuidad y derivadas
    , 0·Límites, continuidad y derivadas
    , 00 , Límites, continuidad y derivadas
    0 , Límites, continuidad y derivadas

  • Límites, continuidad y derivadas
    P(x) = P(x0) es decir en los polinómios se sustituye el punto .

  • Límites, continuidad y derivadas
    P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0) si Q(x0) " 0

  • Cuando Q(x0) = 0 se puede distinguir dos casos :

    • Que P(x0) " 0 . Tendremos que calcular los límites laterales , si existen y son iguales la función tendrá límite que será Límites, continuidad y derivadas
      . En caso contrario no existirá límite .

    • Que P(x0) = 0 por lo que tendremos una indeterminación del tipo 0/0 que se resuelve factorizando numerador y denominador y simplificando la función racional . En el caso de que haya raices debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado .

  • Límites, continuidad y derivadas
    P(x)/Q(x) = Límites, continuidad y derivadas
    /Límites, continuidad y derivadas
    ( indeterminación del tipo Límites, continuidad y derivadas
    /Límites, continuidad y derivadas
    ) entonces se divide por la máxima potencia , tanto si las expresiones son racionales como si son radicales .

  • En el caso más simple que es el de las funciones racionales podemos obtener los siguientes casos :

    • grado P(x)>gradoQ(x) lim = +/-Límites, continuidad y derivadas

    • grado P(x)=gradoQ(x) lim = an/bn

    • grado P(x)<gradoQ(x) lim = 0

    Puede ser de utilidad saber que se puede transformar la indeterminación 0/0 a

    Límites, continuidad y derivadas
    /Límites, continuidad y derivadas
    o al revés , sin más que tener presente que : Límites, continuidad y derivadas

  • Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo Límites, continuidad y derivadas
    -Límites, continuidad y derivadas
    para eliminarla tendremos que distinguir dos casos :

    • Si f es la diferencia de dos funciones racionales se efectua dicha operación para conseguir estar en uno de los dos casos anteriores .

    • Si f es la diferencia de dos funciones con raices cuadradas multiplicaremos y dividiremos por el conjugado .

  • Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo Límites, continuidad y derivadas
    debemos tener en cuenta que : Límites, continuidad y derivadas
    =2'71828...

  • La indeterminación del tipoLímites, continuidad y derivadas
    se reduce al tipo 0/0 ó Límites, continuidad y derivadas
    /Límites, continuidad y derivadas
    utilizando la igualdad P·Q =Límites, continuidad y derivadas

  • Las indeterminaciones del tipo 00 , Límites, continuidad y derivadas
    0 y Límites, continuidad y derivadas
    se pueden resolver utilizando la propiedad : ab = eb·lna con lo que se reducirá a una de las indeterminaciones ya estudiadas .

  • Definición de continuidad : se dice que una función es continua en un punto x0 si :

  • Existe f(x0)

  • Existe Límites, continuidad y derivadas

  • Son iguales

  • En forma matemática :

    Límites, continuidad y derivadas

    Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos .

    Tipos de discontinuidades :

  • Discontinuidad evitable : Existe Límites, continuidad y derivadas
    pero :

    • No existe f(x0)

    • Existe f(x0) pero f(x0) " Límites, continuidad y derivadas

  • Discontinuidad inevitable : No existe Límites, continuidad y derivadas
    :

    • los límites laterales existen pero no son iguales : (1ª especie)

    • salto finito

    • salto infinito

    • alguno de los límites laterales no existe (2ª especie)

    Tasa de variación media (cociente incremental): la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un determinada intervalo .

    La tasa de variación media viene a responder a la pregunta : ¿ cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la x?

    Límites, continuidad y derivadas

    y

    f(x)

    x

    La tasa de variación media puede ser positiva , negativa o nula , dependiendo de la función y del intervalo .

    Tasa de variación instantanea (en un punto x0) : es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez más pequeños .

    Límites, continuidad y derivadas

    Concepto de derivada en un punto x0 : Se llama derivada de la función f en el punto x = x0 al siguiente límite :

    Límites, continuidad y derivadas
    = f ' (x0)

    Es decir , la derivada es la tasa de variación instantanea .

    Si el límite existe se dice que la función es derivable en ese punto .

    Por ejemplo vamos a calcular la derivada de y = x2 + 8 en el punto x0 = 2 :

    Límites, continuidad y derivadas

    Interpretación geométrica de la derivada : la derivada es la pendiente m de la recta tangente en ese punto .Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a ese punto será :

    Límites, continuidad y derivadas

    Derivadas laterales : deben de existir y ser iguales para que exista la derivada

    Límites, continuidad y derivadas
    Límites, continuidad y derivadas

    Derivadas sucesivas : si una función es derivable en cada punto de un intervalo se puede definir una nueva función asignando a cada punto x0 de ese intervalo la derivada

    f '(x0) en dicho punto . Esta función se llama función derivada de f = f '(x) en un intervalo .

    Si la función derivada de f es derivable en todos los puntos de un intervalo , su derivada se llama derivada segunda f ''(x0) =Límites, continuidad y derivadas

    En general podemos obtener la derivada enésima .

    Teorema : Si una función admite derivada finita en un punto x0 , entonces es continua en ese punto . DERIVABLE ! CONTINUA

    Lo contrario no tiene por qué ser cierto . Por ejemplo la función valor absoluto es continua en el punto 0 pero no es derivable

    Operaciones con derivadas : se pueden deducir a partir de la definición de límite y derivada .

    (f+g) ' = f ' + g '

    (f·g) ' = f '·g + f·g '

    (k·f)' = k·f '

    Límites, continuidad y derivadas

    [g(f(x))]' = g'(f(x))·f '(x)

    Límites, continuidad y derivadas

    Derivadas de las funciones elementales :

    y

    y'

    y

    y'

    k

    0

    x

    1

    xn

    nxn-1

    un

    nun-1u'

    ax

    axlna

    au

    au·lna·u'

    ex

    ex

    eu

    eu·u'

    uv

    v·uv-1·u'+uv·lnu·v'

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    Límites, continuidad y derivadas

    logax

    Límites, continuidad y derivadas

    logau

    Límites, continuidad y derivadas

    lnx

    Límites, continuidad y derivadas

    lnu

    Límites, continuidad y derivadas

    senx

    cosx

    senu

    cosu·u'

    cosx

    -senx

    cosu

    -senu·u'

    tgx

    Límites, continuidad y derivadas

    tgu

    Límites, continuidad y derivadas

    cotgx

    Límites, continuidad y derivadas

    cotgu

    Límites, continuidad y derivadas

    secx

    Límites, continuidad y derivadas

    secu

    Límites, continuidad y derivadas

    cosecx

    Límites, continuidad y derivadas

    cosecu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc senx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc senu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cosx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cosu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc tgx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc tgu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cotgx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cotgu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc secx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc secu

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cosecx

    Límites, continuidad y derivadas

    arc cosecu

    Límites, continuidad y derivadas

    Crecimiento y decrecimiento de una función :

    • Una función se dice que es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y ,es decir:

    creciente x0-h < x0 < x0+h ! f(x0-h)Límites, continuidad y derivadas
    f(x0) Límites, continuidad y derivadas
    f(x0+h)

    Al sustituir esto en la definición de derivada observamos que tanto para la derecha como para la izquierda :

    Límites, continuidad y derivadas

    Una función es creciente en un punto si la derivada es mayor o igual que cero .

    • Una función se dice que es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y ,es decir:

    decreciente x0-h < x0 < x0+h ! f(x0-h)Límites, continuidad y derivadas
    f(x0) Límites, continuidad y derivadas
    f(x0+h)

    Al sustituir esto en la definición de derivada observamos que tanto para la derecha como para la izquierda :

    Límites, continuidad y derivadas

    Una función es decreciente en un punto si la derivada es menor o igual que cero .

    Si en las anteriores fórmulas cambiamos el mayor(menor) o igual que ... por mayor(menor) entonces obtenemos la definición de estríctamente creciente y decreciente .

    Importante :

    creciente ! la derivada en ese punto es positiva o igual que 0 . El contrario no es cierto ya que puede ocurrir que la derivada valga 0 y no sea creciente .

    decreciente ! la derivada en ese punto es negativa o igual que 0 . El contrario no es cierto ya que puede ocurrir que la derivada valga 0 y no sea decreciente .

    Podría ocurrir que la derivada fuera 0 y no fuese creciente ni decreciente .

    Por otro lado :

    estríctamente creciente ! la derivada en ese punto es positiva . El contrario si es cierto , es decir , si la derivada es positiva seguro que es estríctamente creciente .

    estríctamente decreciente ! la derivada en ese punto es negativa . El contrario si es cierto , es decir , si la derivada es negativa seguro que es estríctamente decreciente .

    En resumen :

    Límites, continuidad y derivadas
    >0 estríctamente creciente

    Límites, continuidad y derivadas
    <0 estríctamente decreciente

    Límites, continuidad y derivadas
    =0 No se sabe

    ¿ Qué hacer en el caso de que la derivada sea cero ?

    Podemos dar valores próximos al punto y ver lo que hace la función .

    Máximos y mínimos de una función

    Se dice que una función tiene un máximo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno del punto tal que se verifíca que : f(x0-h)<f(x0)>f(x0+h) . Es decir a la izquierda es creciente y a la derecha decreciente .

    Se dice que una función tiene un mínimo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno del punto tal que se verifíca que : f(x0-h)>f(x0)<f(x0+h) . Es decir a la izquierda decreciente y a la derecha creciente .

    La condición necesaria para que haya un máximo o un mínimo es que la derivada de la función en ese punto valga 0 . Esto es lógico pues si no sería estríctamente creciente o estríctamente decreciente .

    En el caso del máximo si a la izquierda es creciente ( derivada primera positiva ) y a la derecha decreciente ( derivada primera negativa ) entonces :

    f ''(x0) =Límites, continuidad y derivadas

    Por la izquierda h<0 y f '(x0-h) >0 luego f ''(x0)<0

    Por la derecha h>0 y f '(x0+h) <0 luego f ''(x0)<0

    Por lo tanto cuando hay un máximo f ''(x0)<0

    Si hacemos lo mismo para el mínimo obtendremos que la f ''(x0)>0

    En resumen :

    Límites, continuidad y derivadas
    >0 Mínimo

    Límites, continuidad y derivadas
    <0 Máximo

    Límites, continuidad y derivadas
    =0 No se sabe

    Pero ¿ que ocurre si f ''(x0)=0 ?

    Puede que sea máximo , mínimo o ninguno de las dos .

    Debemos de dar valores a la derecha y a la izquierda del punto y ver que hace la función , o podemos dar valores a la derecha y a la izauierda del punto para ver que hace la derivada de la función .

    Concavidad y convexidad :

    Se dice que una función ese cóncava en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

    Una función se dice que es cóncava cuando al aumentar la x aumenta la y' ,es decir:

    x0-h < x0 < x0+h ! f '(x0-h)Límites, continuidad y derivadas
    f '(x0) Límites, continuidad y derivadas
    f '(x0+h)

    Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda que :

    Límites, continuidad y derivadas

    Por lo tanto si la función es cóncava la derivada segunda es mayor o igual que cero .

    Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

    Una función se dice que es convexa cuando al aumentar la x disminuye la y' ,es decir:

    x0-h < x0 < x0+h ! f '(x0-h) Límites, continuidad y derivadas
    f '(x0) Límites, continuidad y derivadas
    f '(x0+h)

    Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda que :

    Límites, continuidad y derivadas

    Por lo tanto si la función es convexa la derivada segunda es menor o igual que cero

    Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

    Como ocurría con el crecimiento y decrecimiento , si la derivada segunda es positiva seguro que es cóncava , si es negativa seguro que es convexa pero si es 0 no se puede afirmar en principio nada .

    Límites, continuidad y derivadas
    >0 Cóncava

    Límites, continuidad y derivadas
    <0 Convexa

    Límites, continuidad y derivadas
    =0 No se sabe

    ¿ Qué hacer si la derivada segunda es 0 ? Pues debemos de estudiar en los alrededores del punto a ver que es lo que hace la derivada primera .

    Punto de inflexión :

    Se dice que tenemos un punto de inflexión cuando la función pasa de cóncava a convexa o al revés .

    La condición necesaria para que haya un punto de inflexión es que la derivada segunda sea 0 . Esto es lógico pues si no sería cóncava o convexa .

    Supongamos que por la izquierda es cóncava y por la derecha es convexa , entonces :

    f '''(x0) =Límites, continuidad y derivadas

    Por la izquierda h<0 y f ''(x0-h) >0 luego f '''(x0)<0

    Por la derecha h>0 y f ''(x0+h) <0 luego f '''(x0)<0

    Por lo tanto f '''(x0)<0

    Si por la izquierda es convexa y por la derecha cóncava :

    Por la izquierda h<0 y f ''(x0-h) <0 luego f '''(x0)>0

    Por la derecha h>0 y f ''(x0+h) >0 luego f '''(x0)>0

    Por lo tanto f '''(x0)>0

    En resumen si f '''(x0)Límites, continuidad y derivadas
    0 hay un punto de inflexión ya que pasará de cóncava a convexa o al revés .

    En resumen :

    f '''(x0)Límites, continuidad y derivadas
    0 Punto de inflexión

    f '''(x0)= 0 No se sabe

    Pero ¿ que ocurre si f '''(x0)=0 ? Puede que sea punto de inflexión o no .

    Para averiguarlo debemos ver como varía la derivada segunda en los alrededores del punto .

    Representación gráfica de funciones :

  • Dominio

  • Puntos de corte con los ejes

  • Simetrías

  • Asíntotas

  • Crecimiento y decrecimiento

  • Máximos y mínimos

  • Concavidad y convexidad

  • Puntos de inflexión

  • LÍMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS

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