Geometría analitica

Algebra. Matemáticas. Figuras. Ángulos. Rectas. Vértices

  • Enviado por: Bernardo
  • Idioma: castellano
  • País: Argentina Argentina
  • 43 páginas
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  • Recta y plano

  • Recta definición y distintas formas de la ECUACIÓN de la recta

  • Definición de la línea recta

  • Lamamos recta al lugar geométrico de los puntos tales que tales

  • ECUACIÓN Vectorial de la recta

  • Ecuación Vectorial de la recta (punto dirección)

  • Ecuación Vectorial de la recta (que pasa por dos puntos)

  • Ecuaciones paramétricas de la recta

  • De

    De donde se deducen las ecuaciones paramétricas

  • Ecuación Cartesiana o Simétrica de la recta en

  • Demostración

    De esta igualdad efectuando las operaciones necesarias es posible obtener las formas de ecuación antes enunciadas

  • Angulo entre dos rectas

  • Dadas las rectas de ecuaciones de ecuaciones y y sea el ángulo entre ellas

    Como consecuencia es posible deducir que:

  • Angulo entre dos rectas de la forma vectorial

  • Sean los vectores y que indican las direcciones de dos rectas el ángulo entre las mismas esta dado por:

  • Posiciones relativas de dos rectas

  • Este tema se ve mejor en sistemas de ecuaciones lineales

  • Familias de rectas

  • Se llama así al conjunto de las rectas que satisfacen una única condición geométrica.

  • Distancia de un punto a una recta

  • Demostración

    De la definición de seno trigonométrico

    (1)

    Pero también de la definición de producto vectorial sabemos

    Remplazando en (1)

    De lo que se concluye

  • ECUACIÓN del plano

  • Gráficamente representaremos al plano por medios de un paralelogramo o en ocasiones un rectángulo

  • Ecuación vectorial del plano determinado por tres puntos

  • Consideramos el plano y determinado por el ponto y la dirección de un vector normal a el. Suponemos un punto genérico perteneciente al plano entonces:

    Ecuación que se verifica para todos los vectores

  • Ecuación vectorial del plano determinada por un punto y la dirección de un vector normal

  • Demostración

    Consideramos el plano de la figura se verifica:

    pues el producto vectorial de dos vectores cualesquiera es un vector perpendicular al plano que los contiene de manera.

    De manera que:

    Desarrollando es posible representar la ecuación anterior de la siguiente forma

  • Ecuación Cartesiana del Plano que contiene a un punto.

  • Demostración

    Si para la ecuación vectorial del plano que contiene un punto tomamos

    Entonces

    Ecuación que responde a la forma Cartesiana del Plano

  • Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o Implícita.

  • Donde A, B y C no pueden ser nulos al mismo tiempo

    Demostración

    De

    Operando

    Se obtiene la Ecuación Cartesiana del Plano en forma general o implícita.

  • Ecuación Vectorial Hessiana del Plano

  • Resulta de dividir ambos miembros por el módulo del vector normal

    Demostración

    Resolviendo y agrupando

  • Ecuación Normal o Hessiana del Plano

  • Demostración

    Si para la ecuación vectorial hessiana del plano que contiene un punto tomamos

    Entonces

    Donde p es la proyección del vector posición de cualquier punto perteneciente al plano sobre la perpendicular al mismo que pasa por el origen de coordenadas.

    Demostración

    Como

    y del triángulo rectángulo

    Remplazando

    De lo anterior es posible concluir que LA ECUACIÓN NORMAL O HESSIANA ES ÚNICA PARA CADA PLANO

    Por convención se toma la normal con sentido positivo

    Si comparamos veremos que los coeficientes A,B,C son proporcionales a los cosenos directores

    Por consiguiente es posible obtener un vector convencional normal al plano en función de los coeficientes mencionado mediante la siguiente expresión:

  • Transformación de la forma Explícita a la forma Hessiana.

  • Demostración

    Analizando ecuaciones en sus formas vectoriales vemos:

    Aplicando esta ultima expresión y resolviendo

    Como al comparar

    y por convención en la ecuación hessiana p es mayor que cero tomamos el signo de la raíz utilizando el siguiente artilugio reemplazamos

    Por

    De manera que la expresión final es

  • Posiciones particulares del plano respecto a los ejes y planos coordenados

  • Al considerar la ecuación:

    Impusimos que A, B y C no podían ser nulos al mismo tiempo. Pero puede darse que:

  • Que cada uno de los coeficientes se lo sea separadamente

  • Ecuaciones significativas

    Grafica

    NO

    NO

    SI

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje z

    SI

    NO

    NO

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje x

    NO

    SI

    NO

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje z

  • Que el término independiente sea nulo indica que el plano de esa ecuación pasa por el punto

  • Dos de los coeficientes separadamente

  • Ecuaciones significativas

    Grafica

    SI

    SI

    NO

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje z

    NO

    SI

    SI

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje z

    SI

    NO

    SI

    NO

    Donde

    Plano paralelo al eje z

  • Que ninguno de los coeficientes ni el término independiente sea igual a cero implica

  • Angulo entre dos Planos

  • Sean dos planos

    El ángulos determinado por los mismos al cortarse está dado por la expresión:

    Demostración

    Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

    Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

  • En particular

  • Ecuación del haz de planos

  • Se llama haz de planos al conjunto de todos los planos que contienen a una recta denominada eje de haz

    Sean dos planos

    la ecuación del haz de planos cuyo eje de haz es la recta de intersección de los planos antes mencionados es:

    Demostración

    La expresión se obtiene efectuando una combinación lineal de las ecuaciones del los planos

    Luego pueden dividirse ambos miembros por r y llamar k a s/r.

  • Distancia de un Punto a un Plano

  • Dados un punto y el plano la distancia entre los mismos esta dada por la expresión

    Demostración

    Sabemos que:

    Pasando por la forma hessiana

    Llegamos a la expresión

  • La Recta en el Espacio

  • Podemos considerar la recta en el espacio como la intersección de dos planos. De manera que hablaremos de las ecuaciones de la Recta en el espacio puesto.

    Si la recta es la intersección de dos planos diferentes cualesquiera:

    Es la Expresión General de las Ecuaciones de la Recta en

  • Trazas

  • Las intersecciones de un plano con los ejes coordenados determinan rectas denominadas trazas

  • Planos Proyectantes

  • Llamamos así a los planos que contienen una recta y son perpendiculares a los planos coordenados

  • Caso1

  • Sean dadas las ecuaciones paramétricas de una recta

    Tomando igualdades de a dos es posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al plano que contiene a los ejes de las variables presentes en las mismas.

  • Caso2

  • Sean dadas las ecuaciones Generales de las recta

    Tomando igualdades empleando el método de resolución de sistemas de ecuaciones que se prefiera es posible obtener las expresiones de los planos proyectantes perpendicular al plano que contiene a los ejes de las variables presentes en las mismas.

  • Angulo entre dos rectas

  • Sean dos rectas

    El ángulos determinado por las mismas al cortarse está dado por la expresión:

    Demostración

    Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

    Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

  • En particular

  • Angulo Recta Plano

  • Sean la recta

    y el plano

    El ángulos determinado por la recta y su proyección sobre el planos esta dado

    Demostración

    Por lo los vectores direcciones normales positivos de los mismos:

    Como el ángulo entre estos dos vectores esta dado por la expresión

  • En particular

  • Angulo entre dos rectas

  • Sean dos rectas alebeadas (o no coplanares)

    Donde

    la distancia entre ellas está dada por la expresión:

    Demostración

    La distancia d de es igual al módulo de al módulo de la único segmento ortogonal a ambas rectas

    La dirección de dicho segmento esta dada por el vector

    Del dibujo vemos que

    Aplicando la definición y sustituyendo

  • Transformaciones de sistemas de coordenadas

  • Traslación

  • Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen

    Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' y origen como

    Demostración

    De la gráfica

    Renombrando y despejando obtenemos

  • Rotación

  • Dado un punto fijo situado en un sistema cartesiano cuyos ejes son las recta ortogonales x e y y origen

    Es posible redefinirlo situándolo en un sistema cartesiano cuyos ejes ortogonales son x' e y' que han rotado un ángulo respecto del sistema original

    Demostración

    Del triangulo formado por las coordenadas originales

    (1)

    Del triangulo formado por las coordenadas de rotación

    (2)

    Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno

    Del triangulo formado por las coordenadas originales

    (1)

    Del triangulo formado por las coordenadas de rotación

    (2)

    Remplazando con (2) en (1) y empleando las identidades del seno y del coseno

  • Cónicas o Secciones Cónicas

  • DEFINICIÓN

  • Tipos de curvas que reciben ese nombre debido a que primeramente fueron estudiadas por los griegos como intersecciones de un plano con una superficie cónica circular.

  • Superficie cónica

  • Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.

    Aunque también pueden ser estudiadas desde la perspectiva de que son casos particulares de la Ecuación General de Segundo Grado de dos variables.

  • Ecuación General de Segundo Grado con dos variables

  • La expresión general de la forma

  • Términos Cuadráticos

  • Término Rectangular

  • Términos Lineales

  • Término Independiente

  • Clasificación de las Curvas cónicas

  • Considerando las posibles intersecciones de un plano y una superficie cónica circular las cónicas pueden clasificarse en:

  • Cónicas Verdaderas o Irreducibles

  • Corresponde a las intersecciones con planos que no pasan por el vértice de la superficie

    Sub.-clasificación

    Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre el ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus diferentes posiciones)

    y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según este criterio las cónicas verdaderas se clasifican:

  • Si se denominan Elipses Verdaderas (En particular si obtendríamos una circunferencia que es un caso particular de Elipse Verdadera).

  • Si se denominan Parábolas Verdaderas

  • Si se denominan Hipérbolas Verdadera

  • Cónicas Degeneradas o Reducibles

  • Corresponde a las intersecciones con planos que pasan por el vértice de la superficie

    Clasificación

    Puede establecerse también un nuevo criterio de distinción que es el de considerar la relación entre

    el ángulo (correspondiente al ángulo constante determinado por el eje y la generatriz de la superficie en sus diferentes posiciones)

    y el ángulo (considerado como el conformado por el plano de intersección el eje de la superficie), y según este criterio las cónicas Degeneradas se clasifican:

  • Si se denominan Elipses Degeneradas que están degeneradas en dos rectas imaginarias que se cortan en un punto real (En particular si obtendríamos una circunferencia degenerada en un punto real)

  • Si se denominan Parábolas Degeneradas y degeneran en semirrectas opuestas y concientes

  • Si se denominan Hipérbolas Degeneradas y degeneran en dos rectas reales concurrentes

  • circunferencia

  • Definición

    Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo perteneciente al mismo plano.

    Elementos:

  • Centro

  • Es el punto fijo

  • Radio

  • Es la distancia R constante que relaciona los puntos con el centro.

    Sila circunferencia degenera en un punto

    Sila circunferencia degenera en una circunferencia imaginaria.

  • Conjunto de Puntos

  • Que forma la curva y que designaremos

  • Forma Canónica de la Ecuación del la circunferencia

  • .

    Demostración

  • Forma General de la Ecuación del la circunferencia

  • es la ecuación de una Circunferencia o una circunferencia degenerada (un punto o un conjunto vacío) si

    Demostración

    Desarrollando la ecuación Canónica de la Circunferencia

    La ordenamos de manera de poder compararla con la Ecuación General de Segundo Grado.

    y observamos que la ecuación obtenida es un caso particular de la misma en que

    En consecuencia

    Elementos de la circunferencia

    Demostración

    Completando Cuadrados en la ecuación general

  • Elipse

  • Definición

  • Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante

  • Elementos:

  • Punto Generador

  • punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

  • Focos

  • Son los puntos fijos y de la definición

  • Distancia Focal

  • Es la distancia entre los focos

  • Ejes

  • Eje Principal

  • Es el segmento que contiene a los dos focos y tiene como extremos los puntos de intercepción con la gráfica. Designaremos su longitud como

  • Eje Secundario

  • Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un ponto que se encuentra equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica

    Designaremos su longitud como

    Relación entre los ejes de una elipse

    Demostración

    Como a es un punto de la elipse cumple

    También como es un punto de la elipse cumple

    y como y son triángulos concurrentes

    Resulta

    Como por el teorema de Pitágoras

  • Vértices

  • Principales

  • Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la elipse (son dos)

  • Secundarios

  • Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)

  • Centro

  • Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse

  • Ecuación de una Elipse

  • .

    Demostración

    La definición dice que la suma de la distancia de uno de los focos a un punto que llamamos genéricamente mas la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que designaremos

  • Ecuaciones Canónicas de la Elipse

  • Son las ecuaciones de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

    Existen dos clases:

  • Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las X centro

  • Demostración

    Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    tenemos

    Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

    pero como en una elipse

    Entonces

    Efectuando traslación desde un eje

  • Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y centro

  • Demostración

    Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    tenemos

    Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

    pero como en una elipse

    Entonces

    Efectuando traslación desde un eje

  • Ecuación General de una Elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

  • Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de coordenadas si

    Demostración:

    Desarrollando

    y como

    Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que

  • Excentricidad de las elipses

  • Es la razón entre las distancia focal y el eje principal

    En especial cuando e=0 la elipse es una circunferencia (caso particular de la elipse) circunferencia de radio a puesto que

    también

    reemplazando

  • parábola

  • Definición

    Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que equidistan de un punto y una recta fijos.-

    Elementos:

  • Punto Generador

  • punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

  • Foco

  • Es el punto fijo de la definición

  • Directriz

  • Es la recta de la definición

  • Distancia Focal

  • Es la distancia entre el foco y directriz

  • Eje

  • Eje Principal

  • Es la recta perpendicular a la directriz que contiene al foco.

  • Eje Secundario

  • Es la recta paralela a la directriz que equidista de la misma y del foco

  • Vértice

  • Es el punto de intercepción del la gráfica y el eje principal tiene coordenadas

  • Principales

  • Los puntos de intercepción del eje principal con la grafica de la elipse (son dos)

  • Secundarios

  • Los puntos de intercepción del eje secundario con la grafica de la elipse (son dos)

  • Ecuación de una parábola

  • .

    Demostración

    La definición dice que la distancia del foco a un punto genérico es igual a la distancia desde ese punto a la recta directriz

  • Ecuaciones Canónicas de la parábola

  • Son las ecuaciones de las parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los eje. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

    Existen dos clases:

  • Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje y

  • El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola

    Demostración

    Que la directriz sea paralela a x implica que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    tenemos

    Efectuando traslación desde un eje

  • Correspondiente a las parábolas cuya directriz es paralela al eje x

  • El signo de P indica el sentido respecto al sistema de referencia de las Distancia dirigida y por consiguiente la posición de F y D respecto de los ejes de la parábola

    Demostración

    Que la directriz sea paralela a x implica que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    tenemos

    Efectuando traslación desde un eje

  • Ecuación General de la Parábola

  • Es la ecuación de una parábola o parábola degenerada de directriz paralela al eje de las x o la eje de las y

    Si

    Demostración

    Caso1

    La directriz es paralela al eje de las x

    Desarrollando

    Caso2

    La directriz es paralela al eje de las y

    Desarrollando

  • Lado Recto de una Parábola

  • Es la longitud de un segmento paralelo a la Directriz de una parábola con extremos en el foco de la misma y en un punto perteneciente a la gráfica de la parábola.

  • Hiperbola

  • Definición

    Es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante

    Elementos:

  • Punto Generador

  • punto genérico que representa todos los puntos que cumplen la condición de definición

  • Focos

  • Son los puntos fijos y de la definición

  • Distancia Focal

  • Es la distancia entre los focos

  • Ejes

  • Eje Principal Real o Transverso

  • Es el segmento contenido en la recta que pasa por los focos y tiene como extremos los puntos de intercepción con la gráfica. Designaremos su longitud como

  • Eje Secundario Imaginario o Conjugado

  • Es el segmento perpendicular al eje principal que intercepta al mismo en un punto que se encuentra equidistante de los focos, y tiene como extremos la intercepción del segmento con la gráfica

    Designaremos su longitud como

    Relación entre los ejes de una hipérbola

    Demostración

  • Vértices

  • Principales

  • Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje principal con la grafica de la hipérbola (son dos)

  • Secundarios

  • Los puntos de intercepción de la recta que contiene al eje secundario con la grafica de la hipérbola (son dos)

  • Centro

  • Es el punto de intercepción de los ejes principal y secundario de la elipse

  • Asíntotas

  • Rectas a las cuales se aproxima la curva sin interceptarlas nunca en el caso de las parábolas poseen dos

    y

  • Ecuación de una Hipérbola

  • .

    Demostración

    La definición dice que el valor absoluto de la diferencia de la distancia de uno de los focos a un punto que llamamos genéricamente menos la distancia del foco restante al mismo es igual a una constante que designaremos

  • Ecuaciones Canónicas de la hiperbola

  • Son las ecuaciones de las hipérbolas cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Tiene en el valor de ser expresiones de relativa sencillez en las cuales se pueden observar los diferentes elementos de esta sección y que a partir de traslaciones y/o rotaciones pueden describir en general todas las parábolas.

    Existen dos clases:

  • Correspondiente a las hipérbolas cuyo eje principal es paralelo al eje de las X

  • Demostración

    Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    tenemos

    Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

    Efectuando traslación desde un eje

  • Correspondiente a las elipses cuyo eje principal es paralelo al eje de las Y

  • Demostración

    Que el eje principal sea paralelo al eje de las x significa que:

    y

    para simplificar tomaremos h=0 y k=0

    Remplazando en

    Tenemos

    Volvemos a elevar ambos términos al cuadrado

    Efectuando traslación desde un eje

  • Ecuación General de una hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas

  • Es la ecuación general de una elipse o una elipse degenerada con ejes paralelos a los ejes de coordenadas si

    Demostración:

    Desarrollando

    y como

    Análogamente se puede demostrar que lo afirmado es cierto para el caso en que

  • Excentricidad de las Hipérbola

  • Es la razón entre las distancia focal y el eje principal

  • ECUACIÓN general de segundo grado con dos variables como EXPRESIÓN general de las cónicas

  • Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada Con Ejes Paralelos A Los Ejes De Coordenadas

  • Es la ecuación general de una cónica o una cónica degenerada con ejes (en el caso de tenerlos) paralelos a los ejes de coordenadas si

    Demostración

    La demostración se sigue como conclusión inmediata de los teoremas que establecen las expresiones generales de cada uno de los tipos de cónicas.

  • Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada

  • La Ecuación General de Segundo Grado es la ecuación general de una cónica o una cónica degenerada para cualquier posición de sus ejes pues puede transformarse mediante la rotación de los ejes una ángulo

    en

    Tal que esta expresión cumpla con la condición

    Demostración

    Efectuamos la rotación de ejes utilizando la fórmula

    De donde se obtienen los coeficientes de la nueva expresión producto de la transformación. Como lo que se pretende es encontrar una expresión en que no exista el termino rectangular.

    Ahora debe demostrarse que

    para ello consideramos el hecho de que si sobre

    efectuamos una rotación de obtendremos

    pero si los coeficientes cuadráticos pudieran ser nulos al mismo tiempo tendríamos

    si efectuamos una rotación de obtendremos

    que es una expresión lineal y no se corresponde con la expresión de partida en conclusión dada una expresión que cumple

    los coeficientes de la nueva expresión producto de la rotación de ejes para cualquier ángulo cumplirán

  • Clasificación la Ecuación General De Una Cónica O Una Cónica Degenerada

  • es una cónica o cónica degenerada. Solo en los casos que no sea degenerada se verifica que es:

  • Una Parábola si

  • Una elipse si

  • Una Hipérbola

  • Demostración

    La expresión de los coeficientes

    se denomina discriminante y tiene la propiedad de ser invariante respecto de la rotación de ejes, esto quiere decir que

    esto puede probarse fácilmente reemplazando los coeficientes obtenidos en la demostración del teorema anterior.

    En nuestro caso la rotación se emplea con el objeto de hacer cero el termino rectangular de manera que:

    al analizar la expresión

    si

    Es la condición para que la misma sea una parábola entonces remplazando

    si

    Es la condición para que la misma sea una elipse entonces remplazando

    si

    Es la condición para que la misma sea una Hipérbola entonces remplazando

  • Superficies o cuádricas

  • Introducción

  • Definición

  • Se llama superficie al conjunto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen una única ecuación

  • Discución sobre la ecuación de una superficie

  • Consiste en hacer una investigación preliminar de la ecuación de la misma para identificar ciertas características antes de proceder al trazado su trazado.

    Indicaremos los pasos a seguir utilizando el siguiente ejemplo.

    Para esta investigación consideraremos los siguientes enfoques

  • Intersección con los ejes coordenados

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Trazas con los planos coordenados

  • La traza de una superficie con los planos coordenados es la intersección de los misma con dichos planos.

  • Traza sobre el plano XY

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

  • Traza sobre el plano XZ

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

    o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola

  • Traza sobre el plano YZ

  • Ej

    Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

    o sea los puntos pertenecientes a dicha parábola

  • Simetría

  • Si una ecuación de una superficie no se altera cambiando de signo:

  • Una variable

  • Es simétrica respecto al plano coordenado de las dos variables que no cambiaron de signo

  • Dos variables

  • Es simétrica respecto al eje coordenado de la variable que no cambió de signo.

  • Tres variables

  • Es simétrica respecto al punto origen de coordenadas.

  • Trazas por planos paralelos a los planos coordenados

  • Planos paralelos al plano XY

  • Los planos paralelos al XY tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación donde

  • Planos paralelos al plano XZ

  • Los planos paralelos al XZ tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

  • Planos paralelos al plano YZ

  • Los planos paralelos al YZ tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

  • Extensión de la superficie

  • Consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x, y, z son reales.

    Para ellos es necesario expresar cada una de las variables en función de las restantes, efectuar el análisis de cada una de las expresiones resultantes.

  • Superficies

  • Superficies cilíndricas

  • Son aquellas generadas por una recta móvil generatriz que se mueve a lo largo de una curva fija denominada directriz.

    Las superficies cilíndricas pueden ser

  • Rectas

  • Cuando la generatriz es perpendicular al plano que contiene a la directriz

  • Oblicuas

  • En el caso contrario.

    Estudiaremos solamente aquellas cuyas rectas generatrices sean paralelas a uno de los ejes coordenados.

    Una ecuación que contenga solo dos variables representa es este tipo de superficies.

    Ej

    La expresión

    tiene como directriz la parábola

    las directrices son todas las rectas paralelas al eje coordenado z que interceptan la parábola

  • Superficies cónicas

  • Una superficie cónica es generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva fija (denominada directriz) y por un punto fijo (denominado vértice). Las distintas posiciones de la generatriz forman la superficie. Si la directriz es una circunferencia la superficie generada es una superficie cónica circular.

    Nosotros veremos solo las superficies cónicas cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas.

  • Teorema sobre la ecuación de una superficie cónica

  • Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen, si y solo si:

  • Es homogénea en las tres variables x, y, z (es decir todos los términos son del mismo grado)

  • Y el grado de los mencionados términos no es menor a 2

  • Ej

    Determinar la naturaleza de la superficie:

  • Intersección con los ejes coordenados

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    En consecuencia

  • Trazas con los planos coordenados

  • Traza sobre el plano XY

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

  • Traza sobre el plano XZ

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

    o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenida en el plano XZ

  • Traza sobre el plano YZ

  • Si hacemos cumplir esta condición en la ecuación que hemos tomado como ejemplo

    en consecuencia

    o sea los puntos pertenecientes dichas rectas contenidas en el plano XY

  • Simetría

  • Presenta simetría respecto al origen de coordenadas puesto que

    si aplicamos las condición de cambio de signo a las variables tenemos

    la expresión no se altera

  • Trazas por planos paralelos a los planos coordenados

  • Planos paralelos al plano XY

  • Los planos paralelos al XY tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las circunferencias de ecuación

  • Planos paralelos al plano XZ

  • Los planos paralelos al XZ tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

  • Planos paralelos al plano YZ

  • Los planos paralelos al YZ tienen la forma

    Analizando nuestro ejemplo:

    Lo que geométricamente equivale a decir los puntos que están sobre las parábolas de ecuación

  • Graficar

  • Superficies de Revolución

  • Una superficie de revolución es engendrada por la rotación de una curva plana (generatriz) en torno a una recta fija contenida en el mismo plano de la curva (eje de rotación).

  • Como reconocer una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno de los ejes coordenados:

  • Si es posible encontrar un plano coordenado para el cual se cumple la condición de que todas las intersecciones de la superficie con planos paralelos al mismo son circunferencias que tienen como centro el respectivo origen de coordenadas. Entonces se trata de una superficie de revolución.

  • Como encontrar la ecuación de una superficie de revolución cuyo eje de rotación corresponde a alguno de los ejes coordenados conociendo la ecuación de la generatriz y el eje de rotación

  • Sea

    la curva y la ecuación del eje de rotación.

    La superficie de revolución generada tendrá ecuación

    Ej

    Dada la ecuación

    Determinar si se trata de una superficie de revolución.

    El eje de rotación

    La curva generatriz

    Si consideramos los planos de forma paralelos al plano xy

    Las posibles intersecciones tienen la forma

    que geométricamente corresponde a circunferencias que tienen como centro el punto x=y=0

    Analizando nuevamente la ecuación inicial

    la ecuación de la generatriz es

  • Cuádricas (estudio de la ecuación general de segundo grado)

  • Dada la ecuación general de segundo grado

    Donde por lo menos alguno de los seis primeros coeficientes es distinto de cero. Corresponde a una cuádrica.

    Puede demostrarse que mediante una transformación apropiada de los ejes de coordenadas puede transformarse la ecuación mencionada de manera que tome una de las dos formas tipo:

  • Cuádricas con centro:

  • Tiene la forma

    se denominan de esta forma por que presentan simetría respecto de tres planos es decir que representa simetría respecto de un punto que denominamos centro.

    una cuádrica con centro puede ser:

  • Un elipsoide real

  • Si todos los

  • Ecuación Canónica de la elipsoide

  • Gráfica

  • Trazas

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde a la elipse de ecuación

  • Un elipsoide imaginario

  • Si todos los

  • Un hiperboloide de una hoja

  • Si dos de los

    y el restante es negativo

  • Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja

  • Trazas

  • Plano

  • Demostración

    Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación

  • Gráfica

  • Un hiperboloide de dos hojas

  • Si dos de los

    y el restante es positivo.

  • Ecuación Canónica de Un Hiperboloide de una hoja

  • Trazas

  • Plano

  • Demostración

    Es una hipérbola de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde hipérbola de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde elipse de ecuación

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse de ecuación cuya ecuación se puede determinar

  • En particular cuando k=0 corresponde a una elipse de ecuación

  • Gráfica

  • Cuádricas sin centro:

  • Tiene la forma

    a diferencia de las cuádricas con centro las cuádricas sin centro no son simétricas respecto de una punto.

  • Paraboloides Elípticos

  • Tienen la forma

    donde

  • Forma Canónica

  • Trazas

  • Plano

  • Demostración

    Es una parábola

  • Plano

  • Demostración

    Es una parábola

  • Plano

  • Demostración

    Es una elipse

  • Gráfica

  • Paraboloides Hiperbólicos

  • Tienen la forma

    donde

  • Forma Canónica

  • Trazas

  • Plano

  • Demostración

    Es una parábola

  • Plano

  • Demostración

    Es una parábola

  • Plano

  • Demostración

    Es una hipérbola

  • Gráfica

  • I-35

    Generatriz

    Directriz

    Vértice

    Eje

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