Geometría analítica

Rectas, planos. Conjuntos convexos. Ángulos y triángulos. Congruencia. Bisectriz. Cuadriláteros, cuadrados y rectángulos. Desigualdades geométricas

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TEOREMAS Y POSTULADOS DE GOEMETRIA ANALÍTICA.

POSTULADO 1.- (de la distancia) la distancia es un número positivo único asociada a cada punto.

POSTULADO 2.- (de la regla) podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de tal manera que (1) a cada punto de la recta corresponde exactamente un número real; (2) a cada número real corresponde exactamente un punto de la recta; y (3) la distancia entre dos punto cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de los números correspondientes.

POSTULADO 3.- (dela colocación de la regla).

POSTULADO 4.- (de la recta) entre dos puntos cualesquiera existe una y solo una recta entre ellos.

TEOREMA 2.1.- (de la localización de puntos) sea AB (un rayo) y x un número positivo, existe un único punto P de AB tal que AP=x.

TEOREMA 2.2.- (del punto medio) todo segmento tiene exactamente un punto medio.

RECTAS PLANOS Y SEPARACIONES.

ESPACIO (definición).- El conjunto de todos los puntos se llama espacio.

PUNTOS ALINEADOS O COLINEALES (definición).- Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que los contiene a todos.

PUNTOS COPLANARES (definición).- Los puntos de un conjunto son coplanarios si hay un plano que los contiene a todos.

POSTULADO 5.- (a) todo plano contiene tres puntos que no están alineados; (b) el espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.

TEOREMA 3.1.- Si dos rectas diferentes se intersecan su intersección contiene un punto solamente.

POSTULADO 6.- Si dos punto de una recta están en un plano, entonces la recta está en el mismo plano.

TEOREMA 3.2.- Si una recta interseca a un plano que no la tiene, entonces la intersección contiene solo a un solo punto.

POSTULADO 7.- (del plano) tres puntos cualesquiera están al menos en un plano y tres puntos cualesquiera no alineados están exactamente en un plano. Mas brevemente, tres puntos cualesquiera son coplanarios y tres puntos cualesquiera no alineados determinan un plano.

TEOREMA 3.3.- Dada la recta y un punto fuera de ella, existe únicamente un plano que contiene a ambos.

TEOREMA 3.4.- Dadas dos rectas que se intersecan, existe únicamente un plano que las contiene.

POSTULADO 8.- Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección en una recta.

CUNJUNTOS CONVEXOS.

DEFINICIÓN.- Un conjunto A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo segmento PQ está en A.

POSTULADO 9.- (de separación del plano) se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales que (1) cada uno de los conjuntos es convexo, (2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento PQ interseca a la recta.

POSTULADO 10.- (Separación de espacio) los puntos del espacio que no están en un plano forman dos conjuntos tales que (1) cada uno de los conjuntos es convexo, (2) si P esta en uno de los conjuntos y Q esta en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano.

ANGULOS Y TRIANGULOS.

ANGULO (definición).- Son dos radios que tienen el mismo origen o extremo pero no están en la misma recta.

TRIANGULO (definición).- Tres puntos coplanarios no alineados, entonces el triángulo es la reunión de los tres puntos y los tres segmentos que unen a los tres puntos.

INTERIOR DE UN TRIANGULO.- Sea el ángulo BAC un ángulo en un plano E. Un punto P está en el interior del ángulo BAC si (1) P y B están de la misma recta del plano AC, (2) P y C están en el mismo lado de la recta AB. El exterior de ángulo BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no están en el ángulo y que tampoco están en su interior.

INTERIOR DE UN TRIANGULO.- Un punto está en el interior de un triángulo si está en el interior de cada una de los ángulos del triangulo.

EXTERIOR DE UN TRIANGULO.- Un punto está en el exterior de un triángulo si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.

POSTULADO 11.- (de la medida de los ángulos) a cada ángulo BAC le corresponde un número real entre 0 y 180o.

POSTULADO 12.- (de la construcción del ángulo) sea AB un rayo de la arista del semiplano H. Para cada número r entre 0 y 180, hay exactamente un rayo AP, con P y H tal que m ang PAB =r.

POSTULADO13.- (de la adición de ángulos) si d está en el interior del ang BAC, entonces m ang BAD + m ang DAC.

POSTULADO 14.- (del suplemento) si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

DEFINICIÓN.- Si los ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se llama un ángulo recto.

DEFINICIÓN.- Un ángulo recto es un ángulo cuya mediad es 90.

DEFINICIONES.- Si los rayos AB y AC (formarían una figura parecida a un plano cartesiano con cuatro ángulos de 90) forman un ángulo recto, entonces se llaman perpendiculares.

DEFINICIONES.- Si la suma de dos ángulos son de 90, entonces los ángulos se llaman complementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un ángulo con medida menor de 90 se llama agudo y un ángulo con medida mayor de 90 se llama obtuso.

DEFINICIÓN.- Dos ángulos con medidas iguales se llaman congruentes.

TEOREMA 4.2.- Todo ángulo es congruente consigo mismo.

TEOREMA 4.3.- Dos ángulos rectos cualesquiera son congruentes.

TEOREMA 4.4.- Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de ellos es un ángulo recto.

TEOREMA 4.5.- Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

TEOREMA 4.6.- Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

TEOREMA 4.7- (de los ángulos opuestos por el vértice) los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

TEOREMA 4.8.- Si dos rectas que se cortan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos rectos.

CONGRUENCIA.

DEFINICIONES.- Dos ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. Dos segmentos son congruentes, si tienen la misma longitud.

TEOREMA 5.1.- Todo segmento es congruente consigo mismo.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA PARA TRIANGULOS.

POSTULADO 15.- (LAL) toda correspondencia LAL es una congruencia.

POSTULADO 16.- (ALA) toda correspondencia LAL es una congruencia.

POSTULADO 17.- (LLL) toda correspondencia LLL es una congruencia.

BISECTRIZ.

TEOREMA 5.2.- Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz, o dicho de otra manera, todo ángulo tiene una bisectriz.

TEOREMA 5.3.- (del triangulo isósceles) si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. (es decir que los ángulos de la base son congruentes).

TRIANGULO ISÓSCELES.- (definición) un triangulo con dos lados congruentes se llama isósceles. El otro lado es la base, los dos ángulos asociados con la base son ángulos de la base. El ángulo opuesto a la base es el ángulo en la vértice.

DEFINICIÓN.- (1) un triangulo con sus tres lados congruentes se llama EQUILÁTERO. (2) un triangulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama ESCALENO. (3) un triangulo es EQUIÁNGULO, si sus tres ángulos son congruentes.

COROLARIO 5.3.1.- Todo triángulo equilátero es equiángulo.

TEOREMA 5.4.- Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

COROLARIO 5.4.1.- Todo triángulo equiángulo es equilátero.

CUADRILATEROS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS.

CUADRILÁTERO.- Los segmentos generados por 4 puntos (A, B, C, D) coplanarios y cualesquiera de tres de ellos no están alineados y tal de los segmentos AB, BC, CD y DA solamente se intersecan en sus extremos.

RECTÁGULO.- Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos rectos.

CUADRADO.- Es un cuadrilátero con sus cuatro lados iguales.

DEFINICIÓN.- Una mediana de un triángulo es un segmento en cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres medianas, uno en cada vértice.

DEFINICIÓN.- Un segmento es una bisectriz de un ángulo de un triángulo, si (1) está en el rayo que biseca al ángulo del triángulo, (2) sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto del lado opuesto.

TEOREMA 6.1.- En un plano dado y por un punto dado de una recta dada, pasa una y solamente una recta perpendicular a la recta dada.

MEDIATRIZ.- En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

TEOREMA 6.2.- (de la mediatriz) la mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

COROLARIO 6.2.1.- Se da un segmento AB y la recta L en el mismo plano, si dos puntos de L equidistan de A y B, entonces L es la mediatriz de AB.

TEOREMA 6.3.- Desde un punto externo dado, hay a lo menos una recta perpendicular a la recta dada.

TEOREMA 6.4.- Desde en punto externo dado, hay a lo sumo una recta perpendicular a la recta dada.

COLORARIO 6.4.1.- Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos.

DEFINICIÓN.- Un triángulo rectángulo es un triangulo uno de cuyos ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.

TEOREMA 6.5.- Si M está entre los puntos A y C de una recta L, entonces M y A están al mismo lado de otro recta cuelesquiera que contenga a C.

TEOREMA 6.6.- Si M está entre B y C y A es un punto cualesquiera fuera de BC, entonces M está en el interior del ang. BAC.

DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS.

DEFINICIONES.- AB < CD (AB y CD) con una línea arriba), entonces, si AB < CD. Es decir, un segmento es menor que (o mas corto) otro, si su longitud es menor.

DEFINICIÓN.- angA < angB, si m angA < m angB.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES ENTRE NÚMEROS.

TRICOTOMÍA.- Para todo par de números x, y, uno y solamente uno de los siguientes casos se cumple: x < y; x = y; x > y.

TRANSITIVIDAD.- Si x < y y y < z.

ADITIVIDAD.- Si a < b y x <= y, entonces a+x < b+y.

MULTIPLICATIVA.- Si x < y y a < 0, entonces ax < ay.

TEOREMA 7.1.- Si a = b + c y c > 0, tenemos a > b.

TEOREMA 7.2.- (del ángulo externo) un ángulo externo de un triángulo es mayor que cada uno de sus ángulos internos no contiguos.

COROLARIO7.2.1.- Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.

TEOREMA 7.3.- (LAA) Todo correspondencia LAA es una acongruencia.

TEOREMA 7.4.- Se da una correspondencia entre dos triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un cateto de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

TEOREMA 7.5.- Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces loa ángulos opuestos a estos lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor. En otras palabras en un triángulo cualquiera ABC, si AB > AC, entonces angC > angB.

TEOREMA 7.6.- Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos ángulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor. En otras palabras en un triángulo cualquiera ABC, si angA > angB, entonces AB > AC.

TEOREMA 7.7.-El segmento mas corto que une a un punto p de una recta es el segmento perpendicular a la recta.

DEFINICIÓN.- La distancia entre una recta a un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta . la distancia entre la recta y un punto de la misma se define como cero.

TEOREMA 7.8.- (desigualdades del triángulo) la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

TEOREMA 7.9.- (de la charnela) si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo y el ángulo comprendido entre el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo.

TEOREMA 7.10.- (el reciproco de la charnela) Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercero lado del segundo, entonces el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo.

DEFINICIÓN.- Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.

RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES EN EL ESPACIO.

DEFINICIÓN.- Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.

TEOREMA 8.1.- Si B y C equidistan de P y Q entonces todo punto entre B y C también equidistan de P y Q.

COROLARIO 6.2.1.- Se da un segmento AB (con raya arriba) y la recta L en el mismo plano. Si dos puntos de L equidistan de A y B, entonces la mediatriz de AB (con raya arriba).

TEOREMA 8.2.- Si una recta es perpendicular a dos rectas que se intersecan en su punto de intersección, entonces es perpendicular al plano que contiene a las rectas .

EXISTENCIA Y UNICIDAD.

TEOREMA8.3.- Por un punto dado a una recta dada, pasa un plano perpendicular a la recta dada.

TEOREMA 8.4.- Si una recta y un plano son perpendiculares, entonces el plano contiene toda recta perpendicular a la recta un su punto de intersección con el plano dado.

TEOREMA 8.5.-Por un punto dado a una recta dada pasa solamente a un plano perpendicular a la recta dada.

TEOREMA 8.6.- (del plano bisecante perpendicular) el plano bisecante perpendicular de un segmento es el conjunto de todos los puntos equidistantes de los extremos del segmento.

TEOREMA 8.7.- Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias.

TEOREMA 8.8.- Por un punto dado pasa un plano y solamente uno perpendicular a la recta dada.

TEOREMA 8.9.- Por un punto dado pasa una recta y solamente una perpendicular a una plano dado.

DIFINICIÓN.- La distancia a un plano desde un punto a un punto que no esta situado en el es la longitud del segmento perpendicular desde el punto al plano.

TEOREMA 8.10.- (Segundo teorema de la mínima distancia) El segmento mas corto desde un punto a un plano que no lo contiene, es el segmento perpendicular.

RECTAS PARALELAS A UN PLANO.

DEFINICIÓN.- Dos rectas que no están en un mismo se llaman alabeadas.

DEFINICIÓN.- Dos rectas son paralelas si (1) están en un mismo plano (2) no se intersecan.

TEOREMA 9.1.- Dos rectas paralelas están exactamente en un plano.

TEOREMA 9.2.- Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.

TEOREMA 9.3.- Sea L una recta y P un punto que no esta en L, entonces, hay al menos una recta que pasa por P y es paralela a L .

DEFINICIÓN.- Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las intersecan en dos puntos diferentes.

DEFINICIÓN.- Se dan dos rectas L1 y L2 cortadas por una secante T en los puntos P y Q. Sea A un punto de L1 y B un punto de L2, tal que A y B están en lados opuestos de T. Entonces el angAPQ y el angPQB son ángulos alternos internos.

TEOREMA 9.4.- Si dos rectas son cortadas por una secante, y si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos también son congruentes.

TEOREMA 9.5.- (AIP) se da dos rectas cortadas por una secante y si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos también son congruentes.

TEOREMA 9.6.- Se da dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces dos ángulos alternos internos son congruentes.

TEOREMA 9.7.- Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

POSTULADO 18.- (de las paralelas) por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una recta dada.

TEOREMA 9.8.- (PAI) Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

TEOREMA 9.9.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, cada dos ángulos correspondientes son congruentes.

TEOREMA 9.10.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos alternos a un mismo lado de la secante son suplementarios.

TEOREMA 9.11.- En un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas entre si.

TEOREMA 9.12.- En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular a la otra.

TEOREMA 9.13.- Para todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es 180.

COROLARIO 9.13.1.- Se da una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos correspondientes del tercer par son también congruentes.

COROLARIO 9.13.2.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

COROLARIO 9.13.3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.

DEFINICIÓN.- Los segmentos generados por 4 puntos (A, B, C, D) coplanarios y cualesquiera de 3 de ellos no están alineados y tal que los segmentos AB, BC, CD, DA, solamente se intersecan en sus extremos, entonces la reunión de los 4 segmentos se llama cuadrilátero. Los 4 segmentos se llaman lados y los pontos A, B, C, D, se llaman vértices. Los ángulos que se forman en su interior se llaman ángulos del cuadrilátero.

DEFINICIÓN.- Un cuadrilátero es convexo, si dos de cualesquiera de sus vértices están en lados opuestos de una recta que contiene a un lado del cuadrilátero.

DEFINICIÓN.- Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.

DEFINICIÓN.- Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos pares de lados opuestos son paralelos.

TEOREMA 9.14.- Cada diagonal descompone a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.

TEOREMA 9.15.- En un paralelogramo dos lados opuestos cualesquiera son congruentes.

COROLARIO 9.15.1.- Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cada recta equidistan de la otra recta.

DEFINICIÓN.- La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de una de ellas a otra.

TEOREMA 9.16.- En un paralelogramo dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.

TEOREMA 9.17.- En un paralelogramo dos ángulo consecutivos cualesquiera son suplementarios.

TEOREMA 9.18.- Las diagonales en un paralelogramo se bisecan.

TEOREMA 9.19.- Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

TEOREMA 9.20.- Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. TEOREMA 9.21.- Si las diagonales de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

TEOREMA 9.22.- El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es el paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

ROMBO, RECTÁNGULO Y CUADRADO.

DEFINICIONES.- Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre si.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.

Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre si .

TEOREMA 9.23.- Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene 4 ángulos rectos y el paralelogramo es un rectángulo.

TEOREMA 9.24.- En un rombo, las diagonales son perpendiculares entre si.

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