Funciones matemáticas

Informática. Computación. Álgebra. Programación. Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, creciente, decreciente

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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE

TECNOLOGIA INDUSTRIAL

RODOLFO LOERO ARISMENDI

I.U.T.I.R.L.A

Funciones matemáticas

Asignatura: Matematica I

REALIZADO POR

Barcelona, octubre de 2001

FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:

  • De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.

  • De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

  • Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

 

  • Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

  • Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:

  • Función Par:

Una función f: R!R es par si se verifica que

" x " R vale f(-x) = f(x)

Si f: R!R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

Funciones matemáticas

  • Función Impar:

Una función f: R!R es impar si se verifica que

" x " R vale f(-x) = -f(x)

Si f: R!R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

Funciones matemáticas

  • Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

 

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1

<

x2

Se tiene que

f(x1)

<

f(x2).

Prevalece la relación <

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

Funciones matemáticas

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 

 

 

Ejemplo:  

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  •  Función Decreciente:

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1

<

x2

Se tiene que

f(x1)

>

f(x2).

Cambia la relación de < a >

 

 

Ejemplo:

 

 

 

 

 

 

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

 

 Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

 

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

 

  •   Función Periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

Funciones matemáticas

Donde el periodo P=2/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2 de x, y la función f(t) convertida en

Funciones matemáticas

Definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma más simple

Funciones matemáticas

Donde

Funciones matemáticas

Funciones matemáticas

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

  • Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos

  • Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos

  • Si g(x) es alternada, g(x+)=-g(-x), la serie solamente consta de términos armónicos impares.

Ejemplo:

Funciones matemáticas

8

Funciones

X

Y

Z

1

2

3

4

A B

A B

1

2

3

4

X

Y

Z

A B

1

2

3

4

X

Y

Z

Q

x1 x2 x

x1 < x2

 

 

 

 

f(x2)

f(x1)< f(x2)

f(x1)

 

x1 x2

 

x1 < x2

 

 

 

y f(x1)

f(x1) > f(x2)

f(x2) x

 

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