Funciones cuadráticas

Función cuadrática, ecuación segundo grado. Simetría. Raíces. Vértices. Parábola

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APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir,

ax2+ bx + c = 0

con a Funciones cuadráticas
0. Se resuelve mediante la fórmula:

Funciones cuadráticas


que da lugar a dos soluciones, una o ninguna según que el discriminante Funciones cuadráticas
 = b2 - 4ac sea, respectivamente, mayor, igual o menor que cero.

Si b = 0 o c = 0 la ecuación cuadrática se llama incompleta y se puede resolver de forma más sencilla que aplicando la fórmula anterior.

Graficación elemental de funciones de segundo grado

Si

Funciones cuadráticas

Entonces

a= -1

b= -2

c= 3

Conocemos la expresión

Funciones cuadráticas

que permite hallar las raíces en una función de este tipo.

(¿ Cómo se puede expresar esto de otra manera ? )

Entonces resulta:

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas

A continuación se halla el valor de x que determina el eje de simetría de la función:

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas

y el yv , reemplazando en la función:

Funciones cuadráticas

Luego observando la función tomamos el valor del término independiente:

Como la función es simétrica, sabemos que a la misma distancia del eje de simetría (en este caso a la derecha) se halla el otro valor de x con y= 3.

(determine este valor de x mediante una expresión matemática, es muy sencillo)

En resumen hallamos los siguientes puntos notables que nos permiten graficar:

I ( 1, 0 ) Raíz

II ( -3, 0 ) Raíz

III ( -1, 4 ) Vértice

IV ( 0, 3 ) Término independiente

V ( -2, 3 ) Simétrico del TI.

Ahora si graficamos:

Funciones cuadráticas

PROBLEMAS CON FUNCIONES CUADRÁTICAS.

Problema 1.- Las edades de Gaby y Cris suman 41 años el producto de ambas edades es de 414 años. Encuentra las edades de ambas.

Variables. Gaby: X

Cris Y

Ecuación 1: x+y=41

Ecuación 2: xy=414

Procedimiento (por sustitución)

X+y=41 Despejamos ecuación 1

X=41-y

Xy=414 Sustituimos en ecuación 2

(41-y)y=414

41y-y2-414=0 Ordenamos términos

y2-41y-414=0 Resolver por fòrmula general.

Y=-(-41)+- (-41)2 - 4(1)(414)

2(1)

=41+- 1681-1656

2

=41+- 25

2

=41+-5

2

y1=23 y2=18

Sustituimos para encontrar valores de X:

X+y=41

X+23=41 x+23-23=41-23 x=41-23

X+y=41 X+18-18041-18 x=41-18

Problema 2:Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el àrea del cuadrado.

Representaciones: lado del cuadrado: x

Área del cuadrado: x2

Diagonal del cuadrado: 23cm

X 23

X

Ecuación: x2 +x2 =23(al cuadrado) sumamos términos semejantes.

2x2: 529 dividios entre dos la ecuaciòn

X2: 264..5 sacamos raìz a ambos términos.

Gaby tiene 18 años y Cris tiene 23 años o la invetsa.

X1=18

x2=23

X= 16.26 (Por lo tanto la magnitud del lado es X=16.26cm y el àrea: x2: 262.5

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