MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de factorización se deben seguir los siguientes pasos:

• Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.

• Después en el primer factor se pone el signo del segundo término del trinomio.

• Mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.

• Ahora se deben encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den cómo resultado el tercer término. Estos números se pueden encontrar sacando el mínimo común múltiplo de 187.

• Una vez encontrados los números que, en donde los dos factores se están multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de los dos factores es 0, ya que cualquier numero multiplicado por 0, da como resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.

• Después se despeja X en los dos factores.

• Por lo que el resultado para X, es X1 y X2.

• Por ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

x2 - 28x + 187 = 0

(X ) (X ) = 0

(X - ) (X ) = 0

(X - ) (X - ) = 0

187 11

17 17

1

(X - 17) (X - 11) = 0

X - 17 = 0 X - 11 = 0

X1 = 17 X2= 11

FORMULA GENERAL

Para resolver una ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, por el método de formula general se deben seguir los siguientes pasos:

• En este método de resolución, sólo hay que seguir la formula general para poder llegar a la resolución. La formula es:

-b + b2 - 4 a c

2a

• Solo hay que sustituir los valores de a, b y c en la formula.

• Un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática por este método es el siguiente:

x2 - 28x + 187 = 0

a = 1 b = -28 c = 187

- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)

2 (1)

28+ 784 - 748

2

28+ 36

2

28+ 6

2

28+ 6 34 X1 = 17

2 2

28- 6 22 X2 =11 2 2

X1, y X2, son el resultado que se obtuvo de la ecuación, por tanto son las dos posibles soluciones para X.

COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación del tipo: X2 + bx + c = 0, podemos escribir esta ecuación del siguiente modo: X 2 + bx = -c. Si observamos el primer miembro veremos que al binomio X2 + bx le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2, o lo que es lo mismo b2/4.

En efecto, formamos así un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble producto de x por b/2; y su tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término (b/2)2 o sea b2/4. Para que no se altere la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.

Así tendremos: X2 + bx + (b2/4) = b2/4) - c. En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

Factoramos: (x+b/2)2 = b2/4 - c. Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros:

(x+b/2)2 = + b2/4 - c

x + b/2 = + b2/4 - c

X = - b/2 + b2/4 - c

Ahora resuelva la siguiente ecuación por este método:

X2 - 28x + 187

X = - (-28)/2+ (-28)2/4 - (187)

X = 14 + 196 - 187

X = 14 + 9

X = 14 + 3

X1 = 14 + 3 = 17

X2 = 14 - 3 = 11

MÉTODO GRÁFICO

Para poder llegar a la solución de una ecuación cuadrática por el método gráfico es necesario seguir los siguientes pasos:

• Se iguala la ecuación a Y.

• Se hace una tabla para poder encontrar los valores de Y, sustituyendo en la ecuación los valores que nosotros le demos a X. Los cuales son recomendables que sean números positivos y negativos.

• Una vez encontradas los valores de X y Y sé grafican.

• El resultado será aquellos puntos que toque el eje de las X.

Por ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el método gráfico.

x2 - 28x + 187 = 0

x2 - 28x + 187 = 0

Ahora se sustituyen en la ecuación los valores que le dimos a X, para poder encontrar los valores de Y.

(7)2 - 28(7) + 187 = 40

(8)2 - 28(8) + 187 =27

(9)2 - 28(9) + 187 =16

(10)2 - 28 (10) + 187 =7

(11)2 - 28 (11) + 187 =0

(12)2 - 28 (12) + 187 =-5

(13)2 - 28 (13) + 187 =-8

(14)2 - 28 (14) + 187 =-9

(15)2 - 28 (15) + 187 =-8

(16)2 - 28 (16) + 187 =-5

(17)2 - 28 (17) + 187 =0

(18)2 - 28 (18) + 187 =7

(19)2 - 28 (19) + 187 =16

(20)2 - 28 (20) + 187 =27

Ahora con estos valores se pasa a graficar para ver cuales son los valores que pasan por el eje de las x.

Como se puede ver los valores que cruzan el eje de las x es 11 y 17, por tanto X1 = 11 y X2 = 5.