El futuro incierto de las demostraciones

Filosofía científica. Teorías matemáticas. Platón. William Thurston. Thomas Kuhn. Wiles

  • Enviado por: Gonzalo Lázaro Fernández
  • Idioma: castellano
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EL FUTURO INCIERTO DE LAS DEMOSTRACIONES

No es extraño que tantos pensadores desde Platón a Kant llegaran a considerar que las Matemáticas ofrecen las verdades más puras que a los humanos les está permitido conocer.

Los matemáticos llevan milenios midiendo los avances de su ciencia por los teoremas que han sido demostrados, consistiendo las demostraciones en cadenas de razonamientos lógicos conducentes desde un sistema de axiomas hasta alguna conclusión irrefutable. Pero los matemáticos pueden verse obligados a aceptar lo que muchos científicos y filósofos han admitido ya, y es que sus asertos solo son verdaderos mientras no se demuestre lo contrario.

Las demostraciones son con frecuencia tan largas y complicadas que a veces resulta dificil evaluarlas, y esto acrecenta la incertidumbre.

Un importante elemento catalizador en el cambio que se está produciendo ha sido el ordenador, el cual está obligando a los matemáticos a preguntarse sobre la naturaleza misma de la demostración.

Los investigadores han propuesto una demostración computacional que ofrece solo la probabilidad de que un enunciado se verdadero, propuesta que muchos matemáticos no aceptan.

Al mismo tiempo, hay matemáticos que ponen en tela de juicio la idea de que el paradigma y epítome de la verdad ha de ser las demostraciones formales, y otros piensan que la validez de ciertas proposiciones puede quedar mejor establecida comparándola con experimentos realizados con ordenadores.

Davis Mumford, ganador de la medalla Fields en 1974, escribió que "a pesar de todas las exageraciones propagandísticas, la comunidad de la matemática sigue considerando a los ordenadores como invasores". Situación que está cambiando rapidamente, por ejemplo, el Centro de Geometría de Minnesota. Este centro es un vivero de la matemática experimental, en el cual los matemáticos verifican sus ideas representándolas graficamente y efectuando cálculos con ordenadores. Algunos de los profesores de este centro contribuyeron a crear la revista "Experimental Mathematics". El director de la revista, David B. A. recuerda que los métodos experimentales no son algo nuevo en las matemáticas, recordando que C. F. Gauss y otros grandes solian realizar cálculos experimentales antes de construir demostraciones formales.

Jean E. Taylor pasó dos décadas investigando superficies minimales, es decir, superficies que representan el área o volumen mínimo posible que una curva o superficies dadas limitan.

Es posible que las superficies minimales más simples sean las burbujas y películas jabonosas. En la actualidad es probable que modelice sus burbujas con un programa de gráficos computerizados.

Otro ejemplo de matemático que ha merodeado por el ciberespacio es David A. Hoffman. Entre sus superficies minimales favoritas están las catenoides y los helicoides, objetos que fueron descubiertos en el siglo XVIII. En 1992, Hoffman, Fusheng Wei y Hermann Karcher conjeturaron la existencia de una nueva clase de helicoides, los helicoides con asas. Lograron representar con éxito estas figuras y procedieron a realizar una demostración formal de su existencia.

No obstante, la popularidad basada en el grafismo informático ha producido reacciones contrarias.

Arthur Jaffe y Frank S. Quinn sostienen que para establecer la verdad, los experimentos con ordenadores y la concordancia con fenómenos naturales no pueden reemplazar las demostraciones. La mayoría de los matemáticos que se valen del grafismo informático y de otra técnicas experimentales admiten que ver no es creer y que sigue siendo necesaria la demostración formal de las conjeturas a las que se ha llegado por medio de los ordenadores.

Un posible inconveniente de los ordenadores es que todos sus cálculos se basan en la manipulación de números enteros, que son en el fonde ceros y unos. Los ordenadores solo pueden manejar aproximaciones de los números reales. Los errores debidos a programas complejos y refinados pueden ser complicados. En 1991, David R. Stoutemyer presentó 18 experimentos de cálculo algebraico que daban resultados incorrectos al ser realizados con programas matemáticos.

Stephen Wolfram, creador del "Mathematica" reconoce que "Efectivamente, hay fallos en las matemáticas experimentales. Lo mismo que todas las demás clases de experimentos, se pueden realizar mal". Pero tambien admite que los experimentos computacionales pueden proporcionar más resultados que el método de conjetura y demostración formal.

Los matamáticos puros pueden tenerlo más dificil para dejar de lado las opiniones de William P. Thurston, que es un entusiansta de las matemáticas experimentales y de la utilización de ordenadores en las matemáticas. A mediados del decenio de1970 señaló una profunda conexión entre dos ramas de la matemática hasta entonces separadas, la topología y la geometría. Por este trabajo consiguió la medalla Fields en 1982. Thurston recalca su convicción de que las verdaderas matemáticas son descubiertas y no inventadas. Pero sobre las demostraciones podríamos tenerle mas por discípulo de Thomas S. Kuhn que de Platón. Kuhnes el filósofo que en 1962 sostuvo en su libro "La estructura de las revoluciones científicas" que las teorias científicas son aceptadas no porque sean verdaderas en un sentido objetivo, sino por razones sociales.

En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, afirmaron haber demostrado la conjetura de los cuatro colores. La demostración consistía en una seria de pasos lógicos y analizables uno por uno que llevaban a la conclusión. Y la conclusión era que la conjetura podía quedar reducida a una predicción concerniente a unos 2000 mapas diferentes. Unas 1000 horas de cómputo más tarde, el ordenador concluyo que los dos mil mapas se comportaban de la manera prevista. El teorema era verdadero.

Ciertos matemáticos, como Pierre Deligne, no creen en las demostraciones por ordenador, tan solo creen en las demostraciones claras y que se pueden entender.

No faltan quienes adoptan un punto de vista más funcional y argumentan que el establecimiento de la verdad es más importante que el goce estético de los matemáticos. Estos matemáticos señalan que las demostraciones convencionales distan mucho de estar libres de error. A principios de siglo, la mayoría de los teoremas eren breves, podian ser estudiados en una sola sesión y estaban producidos por un solo autor.

En la actualidad, las demostraciones suelen prolongarse cientos de páginas o más y son tan complicadas que pueden pasar años antes de ser confirmadas por otros.

El debate sobre las demostraciones por ordenador ha cobrado mayor intensidad con el advenimiento de una técnica que ofrece no la certeza, sino solo la probabilidad estadística de que el resultado sea verdadero.

Tales demostraciones presentan algunos inconvenientes. Mario Szegedy reconoce que la transformación de una versión tradicional a la probabilística es complicada. Por ejemplo, una demostración de 1000 líneas podría inflarse facilmente hasta 10003 líneas.

Por el momento, al menos, los tradicionalistas pueden cerrar filas tras héroes como Wiles, el conquitador del último teorema de Fermat, quien rehuye de los ordenadores. Pero puede que el número de matemáticos como Wiles vaya en descenso. El futuro de las demostraciones es incierto.