Ecuaciones de Maxwell

Ley de Faraday. Ley Ampere. Fuentes del campo magnético y eléctrico. Densidad del campo eléctrico y de la corriente. Inducción magnética

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LAS ECUACIONES DE MAXWELL

 

Forma diferencial

1.- Ley de Faraday

rot H = G + ∂ ð ∂ t [D]

2.- Ley de Ampere

rot E = -∂ ð ∂ t [B]

3.- Ausencia de fuentes del campo magnético

div B = 0

4.- Presencia de fuentes del campo eléctrico

div D = ρ

 

Ecuaciones materiales

1.- Densidad del campo eléctrico

D = ð E

2.- Densidad de corriente

G = ð E

3.- Inducción magnética

B = ð H

 

Ecuaciones dependientes del espacio(1)

rot H = (ð + jwð )E

rot E = -jw B

div B = 0

div D = ρ

 

Ecuaciones telegráficas(2)

1.- Campo magnético

'Ecuaciones de Maxwell'

2.- Campo eléctrico

'Ecuaciones de Maxwell'

 

(1) Funciones Armónicas

F(r,t) = ð e { F(r)ejwt }

G(r,t) = ð e { G(t)ejwr }

F(r) es una función dependiente del espacio r, ejwt indica que la función F(r,t) es una función armónica en el tiempo. G(t) es una función dependiente del tiempo, ejwr indica que G(r,t) es armónica en el espacio.

 

(2) Para bajas frecuencias, el segundo término desprecia y se trabaja sólo con el primer término, mientras que, para altas frecuencias el primer término se desprecia y se usa el segundo término.

Ecuaciones de Maxwell

Hemos establecido previamente las ecuaciones del Campo Electromagnético, en las condiciones más generales posibles. Este conjunto de ecuaciones, denominado Ecuaciones de Maxwell, describe todos los fenómenos electromagnéticos, a nivel macroscópico.

Las relaciones generales entre los campos macroscópicos son

Para poder resolver las ecuaciones, se debe conocer las relaciones constitutivas, entre 'Ecuaciones de Maxwell'
y 'Ecuaciones de Maxwell'
, entre 'Ecuaciones de Maxwell'
y 'Ecuaciones de Maxwell'
, y entre 'Ecuaciones de Maxwell'
y 'Ecuaciones de Maxwell'
.

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío ( 'Ecuaciones de Maxwell'
, 'Ecuaciones de Maxwell'
, 'Ecuaciones de Maxwell'
, 'Ecuaciones de Maxwell'
) son:

Estas ecuaciones implican la existencia de `ondas electromagnéticas', que se propagan en el vació con velocidad 'Ecuaciones de Maxwell'
. Por el momento, tomemos c como una definición (es fácil ver que tiene las dimensiones de una velocidad), y tratemos de obtener una ecuación que involucre solamente a 'Ecuaciones de Maxwell'
. Para hacer esto último, tomemos el rotor de la 'ecuación de Faraday',

'Ecuaciones de Maxwell'

lo cual da,

'Ecuaciones de Maxwell'

Finalmente, se tiene

'Ecuaciones de Maxwell'

Esta es la llamada ecuación de ondas para el campo eléctrico. El campo magnético 'Ecuaciones de Maxwell'
satisface la misma ecuación de ondas.

'Ecuaciones de Maxwell'

El valor de 'Ecuaciones de Maxwell'
(km/s), representa la velocidad de propagación de los frentes de onda (en realidad es la 'velocidad de fase').

Hay varias preguntas que uno se puede hacer, y que responderemos a continuación. En primer lugar, ¿Cómo se produce una onda electromagnética?. La respuesta mas simple es que basta tener cargas en movimiento acelerado, o corrientes que varían en el tiempo.

 

Figure 9.1: El punto de emisión y recepción de una onda están separados por un tiempo 'Ecuaciones de Maxwell'
, en que d es la distancia entre los puntos.

'Ecuaciones de Maxwell'

Para dar una descripción matemática del proceso de emisión de una onda electromagnética, deberemos obtener los campos eléctrico y magnético, o bien los potenciales dinámicos, 'Ecuaciones de Maxwell'
y 'Ecuaciones de Maxwell'
. Observamos, en forma muy simple, que los potenciales anteriores satisfacen las ecuaciones de onda siguientes:

Recordamos que el potencial estático 'Ecuaciones de Maxwell'
satisface

'Ecuaciones de Maxwell'

Como éste potencial satisface una ecuación diferencial similar a la ecuación de ondas, suponemos que la forma del potencial es también similar. Hay una importante diferencia, la que ilustramos en la figura, pues cuando se detecta una onda en el punto 'Ecuaciones de Maxwell'
, en el instante t, ésta fué emitida en el instante anterior t', en un punto 'Ecuaciones de Maxwell'
, tal que t-t' = d/c, en que d es la distancia entre los puntos de emisión y recepción. Se dice entonces que el potencial es retardado. De esta forma, escribimos

'Ecuaciones de Maxwell'

en que 'Ecuaciones de Maxwell'
.

Hemos visto que, en las zonas sin cargas ni corrientes, las ecuaciones de Maxwell conducen a las ecuaciones de ondas para los campos 'Ecuaciones de Maxwell'
y 'Ecuaciones de Maxwell'
. En las zonas en que existen cargas y corrientes, es mejor buscar las ecuaciones para los potenciales. Tomemos primero el potencial magnético 'Ecuaciones de Maxwell'
, y reemplazamos en la ley de Faraday, obteniendo

'Ecuaciones de Maxwell'

Deeducimos entonces que

'Ecuaciones de Maxwell'

Tomamos ahora la ecuación para el campo 'Ecuaciones de Maxwell'
, y obtenemos

'Ecuaciones de Maxwell'

Tenemos entonces la siguiente ecuación para el potencial 'Ecuaciones de Maxwell'
,

'Ecuaciones de Maxwell'

Se impone usualmente la llamada condición de Lorentz, que establece que la cantidad entre paréntesis en al lado derecho de la ecuación anterior se anula idénticamente,

'Ecuaciones de Maxwell'

Con esto, es potencial 'Ecuaciones de Maxwell'
, satisface la ecuación de ondas clásica, con fuentes, que escribimos anteriormente. Reemplazando en la ley de Gauss, se obtiene también la ecuación de ondas para el potencial 'Ecuaciones de Maxwell'
. Hay que hacer notar que, como se dijo ya en magnetostatica, existe una ambiguedad en la definición del potencial 'Ecuaciones de Maxwell'
, que permite imponer una condición de 'gauge' como la condición de Lorentz.